中考复习专题--图形运动过程中的临界问题

图形运动过程中的临界问题
一、题型特点
1.图形位置不确定；
2.图形运动具有连续性；
3.多以求某一变量的取值范围或最值为主．
二、涉及的主要知识点
1.几何作图或画函数图象；
2.几何计算；
3.方程或不等式（组）；
三、主要解题思路
1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；
2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；
3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值．
四、例题讲解
例1 在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A＇处，折痕为PQ，当点A＇在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则BA＇的取值范围是 ．
分析：如图2，解题由画图开始．点A＇在BC边上移动，可首先使点A＇与点B重合，画出相应的图形，如图2所示；再使点A＇与点C重合，画出相应的图形，如图3所示，可知均不满足条件，进而可得出，点P、Q的位置决定BA＇的取值范围．当点P与点B重合时，如图4所示，BA＇值再大，当点Q与点D重合时，如图5所示，BA＇值再小，BA＇的取值范围可求．
解：如图4，当点P与点B重合时， BA＇=3．
如图5，当点Q与点D重合时， DA＇=5，CA＇=5，BA＇=1．
所以BA＇的取值范围是1≤BA＇≤3.
例2 已知二次函数y = x2+2x+c．
（1）当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
解：（1）略．
（2）分析：从已知入手，画出图形．由函数的解析式y = x2+2x+c可以得出二次项系数是1，函数图象的形状确定，因为一次项系数是2，所以函数图象的对称轴确定是直线x=-1,故而可知该函数的图象因常数项的变化而沿直线x=-1上下平移．又因为条件－2＜x＜1可知，该二次函数的图象如图1所示．确定一种运动方式，不妨确定为从下向上运动．函数图象与x轴的交点情况为0、1、2、1、0五种情况．确定临界位置分别如图2、图3、图4所示．分别把（1,0）、（-2,0）、（-1,0）代入函数的解析式可得出相应的c值，c的取值范围可求．
解：（2）由（1,0）得，0 = 12+2×1+c， c = -3；
由（-2,0）得，0 = （-2）2+2×（-2）+c， c = 0；
由（-1,0）得，0 = （-1）2+2×（-1）+c， c =1.
所以c的取值范围是－3＜c≤0或c =1.
例3如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F，求直径EF的范围.

分析：要求直径EF的范围，就是求出EF的最大值与最小值．因为图形位置不确定，找到图形运动的临界位置，画出相应的图形，化动为静．由已知条件“动圆D经过A、O，分别与两轴的正半轴交于点E、F”，可得出点E、F与点O重合是此题的两个临界位置（此时圆心D分别在x、y轴上）．画出对应的图形，如图2、图3所示．由已知条件动圆D经过A、O，可以确定圆心D在线段OA的垂直平分线上，以DO为半径依次画出规范的图形，如图4所示，观察EF的变化规律：当点F从图2中的位置向图3中的位置连续变化时，EF的大小变化是先由大变小，再由小变大，直观得出图3时最大，并猜想最小值在运动过程中的某处．进而猜想圆心D在线段OA上时，FE的值最小，如图5.此猜想的证明如图6，连接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，当OD+DA最小时，EF的值最小，又OD+DA≥OA，所以EF得最小值等于OA．

解：如图5，易知OA=5．如图3，求得EF=；如图4，求得EF=.所以5≤EF＜.
五、练习题
1．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，若射线BA绕点B按顺时针方向旋转至，若与⊙O有公共点，则旋转的角度（0° ＜＜180°）的范围是 ．
2．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．把二次函数y＝2x2＋4x－6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
3．已知二次函数和一次函数，设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围．
4.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
5.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
备用图
练习题参考答案:
1．60° ≤≤120°
2．
3．
4． ≤BE＜2
5．(1) (2)
说明:
例2是2012年北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷第22题 ；
22．已知二次函数．
（1）当c＝－3时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（2）若－2＜x＜1时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
22. 解：（1）由题意，得.
当时，.
解得，.
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为（－3,0），（1，0）.
（2）抛物线的对称轴为.
① 若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为（－1，0）.
有，解得.
② 若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有
当时， ≤0，
∴≤0，解得≤0.
当时，，
∴，解得.
∴≤0.
综上所述，c的取值范围是或≤0.
练习2是由2009年北京市中考数学试卷第23题改编
原题及答案
23．已知关于x的一元二次方程2x2＋4x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．
(1)求k的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2＋4x＋k－1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；
(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
第23题图
23．解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．
∵k为正整数，∴k＝1，2，3．
(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；
当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；
当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．
综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．
当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．
(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．
依题意翻折后的图象如图所示．
第23题答图
当直线经过A点时，可得；
当直线经过B点时，可得．
由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为．
练习3是由2012年北京中考数学试卷第23题改编
原题及答案
23．已知二次函数
在和时的函数值相等。
求二次函数的解析式；
若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；
设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。
23. 解：（1）由题意得.
解得.
二次函数的解析式为.
（2）点在二次函数的图象上，
.
点的坐标为.
点在一次函数的图象上，
.
（3）由题意，可得点的坐标分别为.
平移后，点的对应点分别为
.
将直线平移后得到直线
.
如图1，当直线经过
点时，图象（点除外）
在该直线右侧，可得；
如图2，当直线经过
点时，图象（点除外）
在该直线左侧，可得.
由图象可知，符合题意的的取值范围是.
练习5是2012年北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷第25题（有改动），原题及答案如下:
25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
备用图
25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB= ，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．
（2）① ∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP.
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．
② .