第七章 复数 基础练习卷-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（word版含解析）

复数基础练习卷
单选题
1、“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　)
A. B．5
C． D．3
3、复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4、已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
5、设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
6、设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
7、若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
8．复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的集合是(　　)
A．直线 B．线段
C．圆 D．正方形
多选题
9、下面是关于复数z＝的四个命题，其中是真命题的是(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
10、已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值可以是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
11、设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
12、已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，则(　　)
A．复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cosθ
D.的实部为－
填空题
13、若复数z满足|z－i|≤ (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
14、已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
15、给出下列命题：
①若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
16、定义运算＝ad－bc(a，b，c，d∈C)，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.
解答题
17、已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z：
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
18、已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
19、设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
20、设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
21、已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
参考答案
一、单选题
1、“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
2、已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点对应复数z，则|z|＝(　　)
A. B．5
C． D．3
答案　A
解析　由题意可得A(6，－5)，B(－2,3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则|z|＝＝，故选A.
3、复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　∵z1－z2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
4、已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
[答案]　D
[解析]　因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，
所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
5、设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
答案　C
解析　∵z＝＝＝＝－i，∴|z|＝ ＝.故选C.
6、设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案　A
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴解得故z＝1＋i.故选A.
7、若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
答案　B
解析　因为1＋i是实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)·(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
8．复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的集合是(　　)
A．直线 B．线段
C．圆 D．正方形
答案　A
解析　由复数模的几何意义可知复数z对应点的集合是到点A(－1，0)，点B(0,1)距离相等的点的集合，即线段AB的垂直平分线，故选A.
多选题
9、下面是关于复数z＝的四个命题，其中是真命题的是(　　)
A．|z|＝2 B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1
答案　BD
解析　∵z＝＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD.
10、已知i为虚数单位，复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a的值可以是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
答案　BC
解析　因为复数z1＝a＋2i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，所以a2＋4＝4＋1，解得a＝±1.故选BC.
11、设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
答案　ABC
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2；对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2；对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2；对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z不正确．
12、已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(其中i为虚数单位)，则(　　)
A．复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限
B．z可能为实数
C．|z|＝2cosθ
D.的实部为－
答案　BC
解析　z＝1＋cos2θ＋isin2θ＝2cos2θ＋isin2θ，∵－<θ<，∴cos2θ>0，则复数z在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故A错误；当sin2θ＝0，θ＝0∈时，复数z是实数，故B正确；|z|＝＝＝2cosθ，故C正确；＝＝
＝，则的实部是＝，故D错误．
填空题
13、若复数z满足|z－i|≤ (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
答案　2π
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤ 可得≤ ，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
14、已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部的最大值为________，虚部的最大值为________．
答案　　
解析　z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)，实部cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，最大值为，虚部cosθ－sinθ＝cos≤，最大值为.
15、给出下列命题：
①若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
答案　③
解析　当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错误；两个虚数不能比较大小，故③正确．
16、定义运算＝ad－bc(a，b，c，d∈C)，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.
答案　3－i
解析　∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i.
解答题
17、已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z：
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
解　z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0，解得m＝3或m＝－2，
所以当m＝3或m＝－2时，z是实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，
所以当m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以当m＝－1时，z是纯虚数．
18、已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，
向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又因为＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝＝.
因为0所以S ABCD＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
19、设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解　由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，
所以z1＝＋i，z2＝－1＋i，
所以＝，＝(－1,1)，
所以·＝×(－1)＋1×1＝.
20、设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
解　设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋
＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，
即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是.
(2)证明：ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
21、已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解　(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，
∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，
∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝＋1＝2＋1.
解法二：∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，
∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|
＝
＝
＝ .
∴当sin＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为 ＝2＋1.