安徽省马鞍山市2013届高三上学期期末素质测试数学理

2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）.
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.
（1）已知集合，，为实数集，则
A. B. C. D.以上都不对
（2）复数（为虚数单位）的虚部是
A. B. C. D.
（3）已知平面上不共线的四点，若，则
A.3 B.4 C.5 D.6
（4）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是
A. B.
C. D.和均为的最大值
（5）在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为
A.-5 B.1 C.2 D.3
（6）设函数在定义域内可导，的图象如下左图所示，则导函数的图象可能是

（7）斜率为的直线与双曲线（a>0，b>0）恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是
A. B. C. D.
（8）已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.8 B.
C. D.
（9）袋中有大小相同的个红球和个白球，随机从袋中取个球，取后不放回，那么恰好在第次取完红球的概率是
A. B. C.　　　　 D.
（10）已知函数是以为周期的偶函数，当时，．若关于的方程（）在区间内有四个不同的实根，则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
（11）运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .

（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则 ．
（13）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．
（14）已知直线（是实数）与圆相交于两点，且（是坐标原点）是直角三角形，则点与点之间距离的最小值是 .
（15）函数的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
①图象关于直线对称；
②图象的所有对称中心都可以表示为；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向左平移个单位长度可以得到图象．
⑤函数在上的最小值是.
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）(本题满分12分) 在中，分别是角的对边，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求边的长.
（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；
（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望．
（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
（19）（本题满分12分）已知数列满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
（20）（本题满分13分）已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．
（21）（本题满分14分）设函数，且为的极值点．
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ) 若恰有两解，求实数的取值范围．
2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测
理科数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共50分
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答案
B
A
A
C
D
A
D
C
B
C
（1）B.【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题.
（2）A.【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.
（3）A.【命题意图】本题考查向量的运算，容易题.
（4）C.【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题.
（5）D.【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题.
（6）A.【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义，中等题.
（7）D.【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题.
（8）C.【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.
（9）B.【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.
（10）C.【命题意图】本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.
二、填空题：每小题5分，共25分
（11）运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 .

【答案】11.【命题意图】本题考查程序框图，容易题.
（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则 ．
【答案】12.【命题意图】本题考查统计知识，重要不等式，容易题.
（13）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是______．
【答案】45.【命题意图】本题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.
（14）已知直线（是实数）与圆相交于两点，且（是坐标原点）是直角三角形，则点与点之间距离的最小值是 .
【答案】.【命题意图】本题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.
（15）函数的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
①图象关于直线对称；
②图象的所有对称中心都可以表示为；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向左平移个单位长度可以得到图象．
⑤函数在上的最小值是.
【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，较难题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）(本题满分12分) 在中，分别是角的对边，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求边的长.
（16）【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．
解：（Ⅰ）∵，，∴.
∴，，
∴ .….……….….………6分
（Ⅱ）∵，∴；又由正弦定理，得，解得，，∴，，即边的长为5.…………………………………12分
（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；
（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望．
（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.
解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，则.
即这箱产品被用户接收的概率为．………………………………………………………4分
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3． ……5分
∵，， ，…… ………………8分
∴的概率分布列为：
1
2
3
……………10分
∴． …………………………………………………12分
（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
（18）【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.
解：(Ⅰ)证明：∵，∴； 又∵，是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形， ∴ . ∵平面，平面，∴平面. …………4分
(Ⅱ) 解法1：证明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 过作交于，则平面. ∵平面， ∴.
∵，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形， ∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴. ………………8分
解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴两两垂直. 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，；∴，，
∴，∴.………8分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为，
∵，
∴，∴，即，令,得.
设二面角的大小为，由法向量与的方向可知，，
∴，即二面角的余弦值为.………12分
（19）（本题满分12分）已知数列满足.
（Ⅰ）证明数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
（19）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.
解：（Ⅰ）由已知可得，所以，即，
∴数列是公差为1的等差数列. ……………………………….……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.….…………………7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
所以，
，
相减得 ，
∴.….……….………….…………….…………………………12分
（20）（本题满分13分）已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．
（20）【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，较难题.
解：（Ⅰ）设点的坐标分别为，则，
故，可得，………………………………………2分
所以，，……………………………4分
∴，所以椭圆的方程为．　…………………………………6分
（Ⅱ）设的坐标分别为，则，. 由，
可得，即， ……………………………………………………8分
又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，
即，也就是，令，
可得或，故圆必过定点和．　……………………………………………13分
（21）（本题满分14分）设函数，且为的极值点．
(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
(Ⅱ) 若恰有两解，求实数的取值范围．
（21）【命题意图】本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题.
解：，又，则，
所以且， …………………………………………………………3分
（Ⅰ）因为为的极大值点，所以.
令，得或；令，得.
所以的递增区间为，；递减区间为．………………………………6分
（Ⅱ）①若，则在上递减，在上递增.
若恰有两解，则，即，所以. ………………8分
②若，则，.
因为，则，
，从而只有一解；…………………………………10分
③若，则，
从而，
则只有一解. ………………………………………………………………12分
综上，使恰有两解的的范围为 …………………………………14分