(共60张PPT)
第2节 动量定理
第一章 安培力与洛伦兹力
学习目标要求 核心素养和关键能力
1.理解冲量的概念，知道冲量是矢量。
2.理解动量定理及其表达式。
3.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象。
4.能够利用动量定理进行有关计算。
1.核心素养
(1)冲量、动量定理的理解。
(2)动量定理的推导，用动量定理解释缓冲、碰撞等有关现象。
2.关键能力
理论联系实际、应用动量定理解决实际问题的能力。
知识点
随堂对点自测
目
录
CONTENTS
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课后巩固训练
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知识点二 动量定理及其应用
知识点一 冲量的理解与计算
知识点一 冲量的理解与计算
如图甲所示，让两只鸡蛋从相同高处自由落下，分别落在海绵垫上和塑料盘中，用力的传感器记录弹力随时间的变化关系，发现F－t 图线与坐标轴围成的图形的面积近似相等。
(1)这个面积表示什么？
(2)在碰撞过程中延长作用时间，作用力如何变化？
提示 (1)力对时间的积累效果。
(2)作用力将变小。
定义：力与力的作用时间的______叫作力的冲量，用字母I表示。
公式：I＝________。
单位：______，符号：________。
矢量性：方向与力的方向______。
物理意义：反映了力的作用对时间的__________。
乘积
FΔt
牛秒
N·s
相同
积累效应
1.冲量与功的比较
冲量 功
区别 公式 I＝FΔt W＝Fx
标、矢量 矢量 标量
意义 力对时间的积累，在F－t图像中可以用图线下的面积表示 力对位移的积累，在F－x图像中可以用图线下的面积表示
正、负 正、负表示与正方向相同或相反 正、负表示动力做功或阻力做功
作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能
2.冲量的求解方法
(1)恒力冲量的求解
用公式I＝FΔt计算，这时冲量的数值等于力的大小与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致。
(2)变力冲量的求解
②利用F－t图像中的“面积”求变力的冲量。面积大小表示冲量的大小，面积的正负表示冲量的方向。
某力F随时间t变化的图像(F－t图像)如图所示，则图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量。
【例1】 如图所示，在倾角θ＝37°的固定斜面上有一质量m＝5 kg的物体沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，物体下滑2 s的时间内，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(1)物体所受各力的冲量；
(2)物体所受合力的冲量。
解析 (1)重力的冲量
IG＝mgt＝100 N·s，方向竖直向下
支持力的冲量IN＝mgtcos 37°＝80 N·s，方向垂直斜面向上
摩擦力的冲量If＝μmgtcos 37°＝16 N·s，方向沿斜面向上。
(2)合力的冲量
I合＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)t＝44 N·s，方向沿斜面向下。
答案 (1)重力的冲量为100 N·s，方向竖直向下 支持力的冲量为80 N·s，方向垂直斜面向上 摩擦力的冲量为16 N·s，方向沿斜面向上
(2)44 N·s，方向沿斜面向下
【训练1】 (多选)如图所示，质量为m的物体在一个与水平方向成θ角的拉力F作用下，一直沿水平面向右匀速运动，重力加速度为g。关于物体在时间t内所受力的冲量，下列说法正确的是( )
A.重力的冲量大小为mgt
B.物体所受合力的冲量为0
C.拉力F的冲量大小为Ftcos θ
D.摩擦力的冲量大小为Ftsin θ
AB
解析 由冲量的定义可知重力的冲量大小IG＝mgt，A正确；物体做匀速直线运动，故合力为0，则合力的冲量为0，B正确；拉力F的冲量大小IF＝Ft，C错误；由平衡条件可得摩擦力的大小Ff＝Fcos θ，则摩擦力的冲量大小为If＝Fft＝Ftcos θ，D错误。
知识点二 动量定理及其应用
(1)在日常生活中，有不少这样的例子：跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要落在沙坑中，这样做的目的是什么？
提示 这样做可以延长作用的时间，以减小地面对人的冲击力。
(2)如图所示，一个质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，经过时间Δt，物体的速度从v变为v′，应用牛顿第二定律和运动学公式推导物体动量的改变量Δp与恒力F及作用时间t的关系。
根据牛顿第二定律F＝ma②
整理得FΔt＝m(v′－v)＝mv′－mv
即FΔt＝p′－p＝Δp。
内容：物体在一过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的____________。
公式：I＝p′－p＝______________。
动量变化量
mv′－mv
1.动量定理反映了合力的冲量是动量变化的原因。
2.动量定理的表达式FΔt＝mv′－mv是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
3.公式中的F是物体所受的合力，若合力是均匀变化的力，则F应是合力在作用时间内的平均值。
4.动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用于微观物体的高速运动。不论是变力还是恒力，不论几个力作用时间是同时还是不同时，不论物体的运动轨迹是直线还是曲线，动量定理都适用。
【例2】 篮球比赛时运动员通常伸出双手迎接传来的篮球，接球时，两手随球迅速收缩至胸前，这样做可以( )
A.减小球对手的冲量 B.减小球对手的冲击力
C.减小球的动量变化量 D.减小球的动能变化量
用动量定理定性分析实际问题
B
应用动量定理定性分析有关现象的方法
(1)物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。
(2)作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。
【训练2】 (2020·全国卷Ⅰ，14)行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A.增加了司机单位面积的受力大小
B.减少了碰撞前后司机动量的变化量
C.将司机的动能全部转换成汽车的动能
D.延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
D
解析 行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内安全气囊被弹出并瞬间充满气体，增大了司机的受力面积，减少了司机单位面积的受力大小，延长了司机的受力时间，A项错误，D项正确；碰撞前司机的动量等于其质量与速度的乘积，碰撞后司机的动量为零，所以安全气囊不能减少碰撞前后司机动量的变化量，B项错误；司机与气囊的碰撞有能量损失，司机的动能未完全转换成汽车的动能，C项错误。
1.动量定理I＝p′－p中，合力的冲量与动量变化量Δp大小相等，方向相同，常用于
(1)应用I＝Δp求变力的冲量。
(2)应用Δp＝FΔt求恒力作用下曲线运动中物体动量的变化。
(3)应用动量定理可以计算某一过程中的平均作用力，通常用于计算持续作用的变力的平均大小。
利用动量定理定量计算
2.应用动量定理计算的一般步骤
【例3】 (2022·河南郑州期中)如图所示为一强夯机，其夯锤质量为1.2×104 kg，夯锤最大提升高度为20 m，在一次夯实地面的过程中，夯锤从最大提升高度处开始做自由落体运动，与地面的作用时间是0.01 s，则：(g取10 m/s2)
(1)若不考虑夯锤所受重力，在夯锤与地面作用的时间内，地面受到夯锤的平均作用力是多少？
(2)若考虑夯锤所受重力，在夯锤与地面作用的时间内，地面受到夯锤的平均作用力是多少？
设在夯锤与地面作用的时间内，地面对夯锤的平均作用力大小为F，取竖直向上为正方向。
解得F＝2.4×107 N
由牛顿第三定律可知，地面受到夯锤的平均作用力大小F′＝F＝2.4×107 N，方向竖直向下。
解得F＝2.412×107 N
由牛顿第三定律可知，地面受到夯锤的平均作用力大小F′＝F＝2.412×107 N，方向竖直向下。
答案 (1)2.4×107 N，方向竖直向下 (2)2.412×107 N，方向竖直向下
用动量定理进行定量计算时的注意事项
(1)列方程前首先要选取正方向。
(2)分析速度时一定要选取同一参考系，一般是选地面为参考系。
(3)公式中的冲量应是合力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式，且要注意动量的变化量是末动量减去初动量。
【训练3】 (2018·全国卷Ⅱ，15)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )
A.10 N B.102 N C.103 N D.104 N
解析 根据自由落体运动规律和动量定理有v2＝2gh(h为25层楼的高度，
约70 m)和Ft＝mv，代入数据解得F≈1×103 N，所以C正确。
C
1.(冲量的理解)(多选)关于动量、冲量以及动量变化的说法正确的是( )
BCD
A.一个做曲线运动的物体，其动量的大小和方向变化，而在相等时间内物体受到的合外力的冲量不可能始终相等
B.一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，而在相等时间内合外力的冲量大小可能总相等
C.一个物体合外力冲量为零时，虽然其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大
D.一个运动物体，其动量越来越大，而其加速度可能越来越小
解析 物体做曲线运动，速度方向一定改变，速度大小可能改变，在相等时间内物体受到的合外力的冲量可能始终相等，如平抛运动，故A错误；一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，如果受到合外力的大小不变，则相等时间内合外力的冲量大小总相等，如匀速圆周运动，故B正确；物体合外力冲量为零时，根据动量定理，其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大，只要保证合力为零即可，故C正确；运动物体，其动量越来越大，说明速度越来越大，加速度可能越来越小，如从高空落下的雨滴，有收尾速度，故D正确。
2.(动量定理的理解与应用)(多选)(2022·重庆市渝中区月考)安全气囊是汽车安全保障的重要设施，它与座椅安全带配合使用，可以为乘员提供有效的防撞保护，在汽车相撞时，汽车安全气囊可使头部受伤率减少25%，面部受伤率减少80%左右。若某次汽车安全测试中，汽车发生剧烈碰撞时，安全气囊未打开，与安全气囊顺利打开相比，下列说法正确的是(设每次测试汽车速度相同)( )
BD
A.安全气囊未打开时，模拟乘员的动量变化量大
B.安全气囊打开时，模拟乘员的动量变化慢
C.安全气囊未打开时，模拟乘员受到撞击力的冲量大
D.安全气囊打开时，模拟乘员受到的撞击力小
解析 无论安全气囊是否打开，模拟乘员的初末动量不变，动量变化量不变，根据I＝Δp，受到撞击力的冲量不变，故A、C错误；安全气囊打开时，模拟乘员速度变化的时间增加，而动量变化量不变，则模拟乘员的动量变化慢，根据Ft＝Δp可知，模拟乘员受到的撞击力小，故B、D正确。
3.(动量定理的理解与应用)(多选)第二届进博会展出了一种乒乓球陪练机器人，如图所示。若乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，在空中运动一段时间后落到台面上，忽略空气阻力和乒乓球的旋转，下列说法正确的是( )
AD
A.击球过程合外力对乒乓球做功为零
B.击球过程合外力对乒乓球的冲量为零
C.乒乓球运动至最高点时，动量为零
D.乒乓球下落过程中，在相等时间内动量变化相同
解析 乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，可知乒乓球的动能不变，由动能定理可知，合外力对乒乓球做功为零，故A正确；乒乓球的速度变化量不为零，所以动量的变化量不为零，由动量定理可知，击球过程合外力对乒乓球的冲量不为零，故B错误；乒乓球运动至最高点时，还具有水平方向的速度，故在最高点动量不为零，故C错误；乒乓球下落过程中，只受重力作用，则在相等的时间内重力的冲量相等，由动量定理可知，在相等时间内动量变化相同，故D正确。
4.(动量定理的应用) (2022·北京海淀区期末)一个质量为2 kg的物体在合力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是( )
D
A.t＝1 s时物体的加速度是2 m/s2
B.t＝2 s时物体开始反向运动
C.t＝3 s时物体的动量大小是5 kg·m/s
D.t＝4 s时物体的速度大小是1 m/s
t＝2 s时物体的加速度开始反向，物体的速度达到最大，即将开始做匀减速运动，故B错误；
在3 s内，由动量定理可得F1t1＋F2t2＝p－0，代入数据解得p＝3 kg·m/s，故C错误；
在4 s内，由动量定理可得F1t1＋F2t3＝mv－0，代入数据解得v＝1 m/s，故D正确。
（限时：35分钟）
D
题组一 冲量的理解与计算
1.(2022·江苏如皋调研)下列关于动量和冲量的说法正确的是( )
A.物体动量变化时动能一定变化
B.物体所受合力冲量越大，它的动量也越大
C.当力与物体的位移垂直时，一段时间内该力的冲量为零
D.体操运动员落地总要屈腿，是为了延长作用时间以减小地面对运动员的作用力
解析 物体动量变化时，动能可能不变，比如匀速圆周运动，故A错误；物体所受合力冲量越大，它的动量变化量就越大，不是动量越大，故B错误；力的冲量I＝Ft，当力与物体的位移垂直时，该力的冲量不为零，故C错误；体操运动员在落地的过程中，动量的变化量是一定的，屈腿是延长时间，可以减小运动员所受到的平均作用力，故D正确。
2. (多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，经时间t，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
CD
A.重力对物体的冲量大小为mgtsin θ
B.支持力对物体的冲量大小为零
C.摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ
D.合力对物体的冲量大小为零
解析 根据冲量的定义知，重力对物体的冲量大小为mgt，A错误；
对物体进行受力分析可知支持力大小FN＝mgcos θ，则支持力对物体的冲量大小为mgcos θ·t，B错误；
摩擦力Ff＝mgsin θ，所以摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ，C正确；
因物体静止，合力为零，则合力对物体的冲量大小为零，D正确。
题组二 动量定理及其应用
3.(2022·重庆市万州一中期末)交通管理法规规定：骑摩托车必须戴好头盔，这样做的目的是保护交通安全事故中的车手，理由是( )
A.减小头部的冲量，起到安全作用
B.延长头部与硬物接触时间，从而减小冲力，起到保护作用
C.减小头部的速度变化使人安全
D.减小头部的动量变化量，起到安全作用
B
解析 戴和不戴头盔，头部的速度变化相同，则动量变化量相同，根据动量定理可知受到的冲量也相同，而戴头盔能够延长头部与硬物的接触时间，根据FΔt＝Δp可知，可以减小冲力，从而起到保护作用，故B正确，A、C、D错误。
4.(多选)质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小可能是(重力加速度为g)( )
BCD
5.(2022·江苏苏州期末)2021年某学校举行的元旦晚会上进行了“托球选表演者”的游戏。在互动环节，表演者将球抛向观众，假设质量约为3 kg的超大气球以2 m/s速度竖直下落到手面，某观众双手上推，使气球以原速度大小竖直向上反弹，作用时间为0.2 s，作用过程中忽略气球所受浮力及空气阻力，g取10 m/s2。则观众双手受到的压力为( )
C
A.30 N B.60 N
C.90 N D.120 N
解析 取竖直向下为正方向，对气球由动量定理有(mg－F)Δt＝mv′－mv，代入数据解得F＝90 N，由牛顿第三定律可知，观众双手受到的压力为90 N，故C正确。
6.(2021·广西防城港市防城中学期中)一辆轿车以30 m/s的速度行驶时，与另一辆迎面驶来的货车相撞，相撞后两车均停下来，已知作用时间t＝0.025 s。求：
(1)车祸中轿车内质量m＝60 kg的人受到的平均冲力的大小；
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s，则这种情况下人受到的平均冲力与不系安全带时人受到的平均冲力之比。
答案 (1)7.2×104 N (2)1∶40
解析 (1)设人受到的平均冲力大小为F，以轿车原来速度的方向为正方向
根据动量定理有－Ft＝0－mv0
解得F＝7.2×104 N。
(2)若人系有安全带，同理可得
则F′∶F＝1∶40。
7.如图所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面上的P点，若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为( )
B
A.仍在P点
B.在P点左侧
C.在P点右侧不远处
D.在P点右侧原水平位移的两倍处
解析 以速度2v抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间变短，而纸条对铁块的作用力相同，故与以速度v抽出相比，纸条对铁块的冲量I减小，铁块获得的动量减小，平抛的初速度减小，水平射程减小，故落在P点左侧，选项B正确。
8.(2021·北京卷)如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是( )
D
A.圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B.圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C.圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D.圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
解析 圆盘停止转动前，小物体所受的摩擦力方向指向转轴提供向心力，故A错误；由动量定理可知，圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为零，B错误；圆盘停止转动后，小物体沿运动轨迹的切线方向运动，C错误；由动量定理可知，整个滑动过程摩擦力的冲量大小I＝mωr，D正确。
9.如图所示，物体A、B用轻绳连接，挂在轻弹簧下静止。A的质量为m，B的质量为M。当连接A、B的轻绳突然断开后，物体A上升，经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为( )
D
A.mv B.mv－Mu
C.mv＋Mu D.mv＋mu
解析 以竖直向上为正方向，设经过的时间为t，弹簧对A的冲量为I，根据动量定理，对A有I－mgt＝mv，对B有－Mgt＝－Mu，联立以上两式得I＝mv＋mu，故D正确。
10.(2022·江苏苏州期中)质量为1 kg的物体做直线运动，其v－t图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是( )
D
A.10 N·s，10 N·s B.10 N·s，－10 N·s
C.0，10 N·s D.0，－10 N·s
解析 在前10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为5 m/s，根据动量定理得I合′＝Δp′知外力的冲量为0；在后10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为－5 m/s，根据动量定理得I合′＝Δp′＝mv2－mv1＝－1×5 kg·m/s－1×5 kg·m/s＝－10 kg·m/s＝－10 N·s，故D正确。
11.下雨是常见的自然现象，如果雨滴下落为自由落体运动，则雨滴落到地面时，对地表动植物危害极大，实际上，动植物都没有被雨滴砸伤，因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气的浮力和阻力，使得雨滴落地时不会因速度太大而将动植物砸伤。某次下暴雨，质量为m＝2.5×10－5 kg的雨滴，从高h＝2 000 m 的云层下落。(g取10 m/s2)
(1)如果不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面经Δt1＝1.0×10－5 s速度变为零，因为雨滴和地面作用时间极短，可认为在Δt1内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小；
(2)考虑到雨滴同时还受到空气浮力和阻力的作用，设雨滴落到地面的实际速度为8 m/s，落到地面上经时间Δt2＝3.0×10－4 s速度变为零，在Δt2内地面对雨滴的作用力不变且不考虑这段时间雨滴受到的重力、空气的浮力和阻力，求雨滴对地面的作用力大小。
解析 (1)不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面的速度为
代入数据解得F＝500 N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为500 N。
本节内容结束
THANKS第2节 动量定理
学习目标要求 核心素养和关键能力
1.理解冲量的概念，知道冲量是矢量。 2.理解动量定理及其表达式。 3.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象。 4.能够利用动量定理进行有关计算。 1.核心素养 (1)冲量、动量定理的理解。 (2)动量定理的推导，用动量定理解释缓冲、碰撞等有关现象。 2.关键能力 理论联系实际、应用动量定理解决实际问题的能力。
知识点一 冲量的理解与计算
如图甲所示，让两只鸡蛋从相同高处自由落下，分别落在海绵垫上和塑料盘中，用力的传感器记录弹力随时间的变化关系，发现F－t 图线与坐标轴围成的图形的面积近似相等。
(1)这个面积表示什么？
(2)在碰撞过程中延长作用时间，作用力如何变化？
提示 (1)力对时间的积累效果。
(2)作用力将变小。
定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量，用字母I表示。
公式：I＝FΔt。
单位：牛秒，符号：N·s。
矢量性：方向与力的方向相同。
物理意义：反映了力的作用对时间的积累效应。
1．冲量与功的比较
冲量 功
区别 公式 I＝FΔt W＝Fx
标、矢量 矢量 标量
意义 力对时间的积累，在F－t图像中可以用图线下的面积表示 力对位移的积累，在F－x图像中可以用图线下的面积表示
正、负 正、负表示与正方向相同或相反 正、负表示动力做功或阻力做功
作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能
2.冲量的求解方法
(1)恒力冲量的求解
用公式I＝FΔt计算，这时冲量的数值等于力的大小与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致。
(2)变力冲量的求解
①若力的方向不变且大小随时间均匀变化，则该力的冲量可以用平均力来计算，其公式为I＝Δt。
②利用F－t图像中的“面积”求变力的冲量。面积大小表示冲量的大小，面积的正负表示冲量的方向。
某力F随时间t变化的图像(F－t图像)如图所示，则图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量。
【例1】 如图所示，在倾角θ＝37°的固定斜面上有一质量m＝5 kg的物体沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，物体下滑2 s的时间内，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(1)物体所受各力的冲量；
(2)物体所受合力的冲量。
答案 (1)重力的冲量为100 N·s，方向竖直向下 支持力的冲量为80 N·s，方向垂直斜面向上 摩擦力的冲量为16 N·s，方向沿斜面向上
(2)44 N·s，方向沿斜面向下
解析 (1)重力的冲量
IG＝mgt＝100 N·s，方向竖直向下
支持力的冲量IN＝mgtcos 37°＝80 N·s，方向垂直斜面向上
摩擦力的冲量If＝μmgtcos 37°＝16 N·s，方向沿斜面向上。
(2)合力的冲量
I合＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)t＝44 N·s，方向沿斜面向下。
【训练1】 (多选)如图所示，质量为m的物体在一个与水平方向成θ角的拉力F作用下，一直沿水平面向右匀速运动，重力加速度为g。关于物体在时间t内所受力的冲量，下列说法正确的是( )
A．重力的冲量大小为mgt
B．物体所受合力的冲量为0
C．拉力F的冲量大小为Ftcos θ
D．摩擦力的冲量大小为Ftsin θ
答案 AB
解析 由冲量的定义可知重力的冲量大小IG＝mgt，A正确；物体做匀速直线运动，故合力为0，则合力的冲量为0，B正确；拉力F的冲量大小IF＝Ft，C错误；由平衡条件可得摩擦力的大小Ff＝Fcos θ，则摩擦力的冲量大小为If＝Fft＝Ftcos θ，D错误。
知识点二 动量定理及其应用
(1)在日常生活中，有不少这样的例子：跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要落在沙坑中，这样做的目的是什么？
提示 这样做可以延长作用的时间，以减小地面对人的冲击力。
(2)如图所示，一个质量为m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，经过时间Δt，物体的速度从v变为v′，应用牛顿第二定律和运动学公式推导物体动量的改变量Δp与恒力F及作用时间t的关系。
提示 物体在运动过程中的加速度
a＝①
根据牛顿第二定律
F＝ma②
由①②得F＝m
整理得FΔt＝m(v′－v)＝mv′－mv
即FΔt＝p′－p＝Δp。
内容：物体在一过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。
公式：I＝p′－p＝mv′－mv。
牛顿第二定律的另一种表述：作用在物体上的合力等于物体动量的变化率，即F＝。
1．动量定理反映了合力的冲量是动量变化的原因。
2．动量定理的表达式FΔt＝mv′－mv是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
3．公式中的F是物体所受的合力，若合力是均匀变化的力，则F应是合力在作用时间内的平均值。
4．动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用于微观物体的高速运动。不论是变力还是恒力，不论几个力作用时间是同时还是不同时，不论物体的运动轨迹是直线还是曲线，动量定理都适用。
用动量定理定性分析实际问题
【例2】 篮球比赛时运动员通常伸出双手迎接传来的篮球，接球时，两手随球迅速收缩至胸前，这样做可以( )
A．减小球对手的冲量 B．减小球对手的冲击力
C．减小球的动量变化量 D．减小球的动能变化量
答案 B
解析 先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球收缩至胸前，这样可以增加球与手接触的时间，根据动量定理得－Ft＝0－mv，解得F＝，当时间增大时，作用力就减小，而球对手的冲量I＝mv恒定不变，球的动量变化量Δp＝mv恒定不变，球的动能变化量ΔEk＝mv2恒定不变，所以B正确。
应用动量定理定性分析有关现象的方法
(1)物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小。
(2)作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小。
【训练2】 (2020·全国卷Ⅰ，14)行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A．增加了司机单位面积的受力大小
B．减少了碰撞前后司机动量的变化量
C．将司机的动能全部转换成汽车的动能
D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
答案 D
解析 行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内安全气囊被弹出并瞬间充满气体，增大了司机的受力面积，减少了司机单位面积的受力大小，延长了司机的受力时间，A项错误，D项正确；碰撞前司机的动量等于其质量与速度的乘积，碰撞后司机的动量为零，所以安全气囊不能减少碰撞前后司机动量的变化量，B项错误；司机与气囊的碰撞有能量损失，司机的动能未完全转换成汽车的动能，C项错误。
利用动量定理定量计算
1．动量定理I＝p′－p中，合力的冲量与动量变化量Δp大小相等，方向相同，常用于
(1)应用I＝Δp求变力的冲量。
(2)应用Δp＝FΔt求恒力作用下曲线运动中物体动量的变化。
(3)应用动量定理可以计算某一过程中的平均作用力，通常用于计算持续作用的变力的平均大小。
2．应用动量定理计算的一般步骤
→→
【例3】 (2022·河南郑州期中)如图所示为一强夯机，其夯锤质量为1.2×104 kg，夯锤最大提升高度为20 m，在一次夯实地面的过程中，夯锤从最大提升高度处开始做自由落体运动，与地面的作用时间是0.01 s，则：(g取10 m/s2)
(1)若不考虑夯锤所受重力，在夯锤与地面作用的时间内，地面受到夯锤的平均作用力是多少？
(2)若考虑夯锤所受重力，在夯锤与地面作用的时间内，地面受到夯锤的平均作用力是多少？
答案 (1)2.4×107 N，方向竖直向下
(2)2.412×107 N，方向竖直向下
解析 夯锤接触地面前做自由落体运动，末速度为v0＝＝20 m/s
设在夯锤与地面作用的时间内，地面对夯锤的平均作用力大小为F，取竖直向上为正方向。
(1)不考虑夯锤所受重力，由动量定理得FΔt＝0－m
解得F＝2.4×107 N
由牛顿第三定律可知，地面受到夯锤的平均作用力大小F′＝F＝2.4×107 N，方向竖直向下。
(2)考虑夯锤所受重力，由动量定理得
FΔt－mgΔt＝0－m
解得F＝2.412×107 N
由牛顿第三定律可知，地面受到夯锤的平均作用力大小F′＝F＝2.412×107 N，方向竖直向下。
用动量定理进行定量计算时的注意事项
(1)列方程前首先要选取正方向。
(2)分析速度时一定要选取同一参考系，一般是选地面为参考系。
(3)公式中的冲量应是合力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式，且要注意动量的变化量是末动量减去初动量。
【训练3】 (2018·全国卷Ⅱ，15)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2 ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为( )
A．10 N B．102 N
C．103 N D．104 N
答案 C
解析 根据自由落体运动规律和动量定理有v2＝2gh(h为25层楼的高度，约70 m)和Ft＝mv，代入数据解得F≈1×103 N，所以C正确。
1．(冲量的理解)(多选)关于动量、冲量以及动量变化的说法正确的是( )
A．一个做曲线运动的物体，其动量的大小和方向变化，而在相等时间内物体受到的合外力的冲量不可能始终相等
B．一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，而在相等时间内合外力的冲量大小可能总相等
C．一个物体合外力冲量为零时，虽然其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大
D．一个运动物体，其动量越来越大，而其加速度可能越来越小
答案 BCD
解析 物体做曲线运动，速度方向一定改变，速度大小可能改变，在相等时间内物体受到的合外力的冲量可能始终相等，如平抛运动，故A错误；一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，如果受到合外力的大小不变，则相等时间内合外力的冲量大小总相等，如匀速圆周运动，故B正确；物体合外力冲量为零时，根据动量定理，其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大，只要保证合力为零即可，故C正确；运动物体，其动量越来越大，说明速度越来越大，加速度可能越来越小，如从高空落下的雨滴，有收尾速度，故D正确。
2．(动量定理的理解与应用)(多选)(2022·重庆市渝中区月考)安全气囊是汽车安全保障的重要设施，它与座椅安全带配合使用，可以为乘员提供有效的防撞保护，在汽车相撞时，汽车安全气囊可使头部受伤率减少25%，面部受伤率减少80%左右。若某次汽车安全测试中，汽车发生剧烈碰撞时，安全气囊未打开，与安全气囊顺利打开相比，下列说法正确的是(设每次测试汽车速度相同)( )
A．安全气囊未打开时，模拟乘员的动量变化量大
B．安全气囊打开时，模拟乘员的动量变化慢
C．安全气囊未打开时，模拟乘员受到撞击力的冲量大
D．安全气囊打开时，模拟乘员受到的撞击力小
答案 BD
解析 无论安全气囊是否打开，模拟乘员的初末动量不变，动量变化量不变，根据I＝Δp，受到撞击力的冲量不变，故A、C错误；安全气囊打开时，模拟乘员速度变化的时间增加，而动量变化量不变，则模拟乘员的动量变化慢，根据Ft＝Δp可知，模拟乘员受到的撞击力小，故B、D正确。
3．(动量定理的理解与应用)(多选)第二届进博会展出了一种乒乓球陪练机器人，如图所示。若乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，在空中运动一段时间后落到台面上，忽略空气阻力和乒乓球的旋转，下列说法正确的是( )
A．击球过程合外力对乒乓球做功为零
B．击球过程合外力对乒乓球的冲量为零
C．乒乓球运动至最高点时，动量为零
D．乒乓球下落过程中，在相等时间内动量变化相同
答案 AD
解析 乒乓球被机器人以原速率斜向上击回，可知乒乓球的动能不变，由动能定理可知，合外力对乒乓球做功为零，故A正确；乒乓球的速度变化量不为零，所以动量的变化量不为零，由动量定理可知，击球过程合外力对乒乓球的冲量不为零，故B错误；乒乓球运动至最高点时，还具有水平方向的速度，故在最高点动量不为零，故C错误；乒乓球下落过程中，只受重力作用，则在相等的时间内重力的冲量相等，由动量定理可知，在相等时间内动量变化相同，故D正确。
4．(动量定理的应用) (2022·北京海淀区期末)一个质量为2 kg的物体在合力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．t＝1 s时物体的加速度是2 m/s2
B．t＝2 s时物体开始反向运动
C．t＝3 s时物体的动量大小是5 kg·m/s
D．t＝4 s时物体的速度大小是1 m/s
答案 D
解析 由图可知，t＝1 s时F＝2 N，由牛顿第二定律可得，物体的加速度为a＝＝ m/s2＝1 m/s2故A错误；t＝2 s时物体的加速度开始反向，物体的速度达到最大，即将开始做匀减速运动，故B错误；在3 s内，由动量定理可得F1t1＋F2t2＝p－0，代入数据解得p＝3 kg·m/s，故C错误；在4 s内，由动量定理可得F1t1＋F2t3＝mv－0，代入数据解得v＝1 m/s，故D正确。
题组一 冲量的理解与计算
1．(2022·江苏如皋调研)下列关于动量和冲量的说法正确的是( )
A．物体动量变化时动能一定变化
B．物体所受合力冲量越大，它的动量也越大
C．当力与物体的位移垂直时，一段时间内该力的冲量为零
D．体操运动员落地总要屈腿，是为了延长作用时间以减小地面对运动员的作用力
答案 D
解析 物体动量变化时，动能可能不变，比如匀速圆周运动，故A错误；物体所受合力冲量越大，它的动量变化量就越大，不是动量越大，故B错误；力的冲量I＝Ft，当力与物体的位移垂直时，该力的冲量不为零，故C错误；体操运动员在落地的过程中，动量的变化量是一定的，屈腿是延长时间，可以减小运动员所受到的平均作用力，故D正确。
2. (多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，经时间t，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．重力对物体的冲量大小为mgtsin θ
B．支持力对物体的冲量大小为零
C．摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ
D．合力对物体的冲量大小为零
答案 CD
解析 根据冲量的定义知，重力对物体的冲量大小为mgt，A错误；对物体进行受力分析可知支持力大小FN＝mgcos θ，则支持力对物体的冲量大小为mgcos θ·t，B错误；摩擦力Ff＝mgsin θ，所以摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ，C正确；因物体静止，合力为零，则合力对物体的冲量大小为零，D正确。
题组二 动量定理及其应用
3．(2022·重庆市万州一中期末)交通管理法规规定：骑摩托车必须戴好头盔，这样做的目的是保护交通安全事故中的车手，理由是( )
A．减小头部的冲量，起到安全作用
B．延长头部与硬物接触时间，从而减小冲力，起到保护作用
C．减小头部的速度变化使人安全
D．减小头部的动量变化量，起到安全作用
答案 B
解析 戴和不戴头盔，头部的速度变化相同，则动量变化量相同，根据动量定理可知受到的冲量也相同，而戴头盔能够延长头部与硬物的接触时间，根据FΔt＝Δp可知，可以减小冲力，从而起到保护作用，故B正确，A、C、D错误。
4．(多选)质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小可能是(重力加速度为g)( )
A．m(v－v0) B．mgt
C．m D．m
答案 BCD
解析 根据动量定理，物体动量的变化量应该等于初末动量的矢量差，而不是代数差，则A错误；由动量定理I合＝Δp知Δp＝mgt，则B正确；由公式Δp＝mΔv＝mvy＝m＝m，则C、D正确。
5．(2022·江苏苏州期末)2021年某学校举行的元旦晚会上进行了“托球选表演者”的游戏。在互动环节，表演者将球抛向观众，假设质量约为3 kg的超大气球以2 m/s速度竖直下落到手面，某观众双手上推，使气球以原速度大小竖直向上反弹，作用时间为0.2 s，作用过程中忽略气球所受浮力及空气阻力，g取10 m/s2。则观众双手受到的压力为( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
答案 C
解析 取竖直向下为正方向，对气球由动量定理有(mg－F)Δt＝mv′－mv，代入数据解得F＝90 N，由牛顿第三定律可知，观众双手受到的压力为90 N，故C正确。
6．(2021·广西防城港市防城中学期中)一辆轿车以30 m/s的速度行驶时，与另一辆迎面驶来的货车相撞，相撞后两车均停下来，已知作用时间t＝0.025 s。求：
(1)车祸中轿车内质量m＝60 kg的人受到的平均冲力的大小；
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1 s，则这种情况下人受到的平均冲力与不系安全带时人受到的平均冲力之比。
答案 (1)7.2×104 N (2)1∶40
解析 (1)设人受到的平均冲力大小为F，以轿车原来速度的方向为正方向
根据动量定理有－Ft＝0－mv0
解得F＝7.2×104 N。
(2)若人系有安全带，同理可得
F′＝＝1.8×103 N
则F′∶F＝1∶40。
7．如图所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面上的P点，若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为( )
A．仍在P点
B．在P点左侧
C．在P点右侧不远处
D．在P点右侧原水平位移的两倍处
答案 B
解析 以速度2v抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间变短，而纸条对铁块的作用力相同，故与以速度v抽出相比，纸条对铁块的冲量I减小，铁块获得的动量减小，平抛的初速度减小，水平射程减小，故落在P点左侧，选项B正确。
8．(2021·北京卷)如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是( )
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
答案 D
解析 圆盘停止转动前，小物体所受的摩擦力方向指向转轴提供向心力，故A错误；由动量定理可知，圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为零，B错误；圆盘停止转动后，小物体沿运动轨迹的切线方向运动，C错误；由动量定理可知，整个滑动过程摩擦力的冲量大小I＝mωr，D正确。
9．如图所示，物体A、B用轻绳连接，挂在轻弹簧下静止。A的质量为m，B的质量为M。当连接A、B的轻绳突然断开后，物体A上升，经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为( )
A．mv B．mv－Mu
C．mv＋Mu D．mv＋mu
答案 D
解析 以竖直向上为正方向，设经过的时间为t，弹簧对A的冲量为I，根据动量定理，对A有I－mgt＝mv，对B有－Mgt＝－Mu，联立以上两式得I＝mv＋mu，故D正确。
10．(2022·江苏苏州期中)质量为1 kg的物体做直线运动，其v－t图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是( )
A．10 N·s，10 N·s B．10 N·s，－10 N·s
C．0，10 N·s D．0，－10 N·s
答案 D
解析 在前10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为5 m/s，根据动量定理得
I合′＝Δp′知外力的冲量为0；在后10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为－5 m/s，根据动量定理得I合′＝Δp′＝mv2－mv1＝－1×5 kg·m/s－1×5 kg·m/s＝－10 kg·m/s＝－10 N·s，故D正确。
11．下雨是常见的自然现象，如果雨滴下落为自由落体运动，则雨滴落到地面时，对地表动植物危害极大，实际上，动植物都没有被雨滴砸伤，因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气的浮力和阻力，使得雨滴落地时不会因速度太大而将动植物砸伤。某次下暴雨，质量为m＝2.5×10－5 kg的雨滴，从高h＝2 000 m 的云层下落。(g取10 m/s2)
(1)如果不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面经Δt1＝1.0×
10－5 s速度变为零，因为雨滴和地面作用时间极短，可认为在Δt1内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小；
(2)考虑到雨滴同时还受到空气浮力和阻力的作用，设雨滴落到地面的实际速度为8 m/s，落到地面上经时间Δt2＝3.0×10－4 s速度变为零，在Δt2内地面对雨滴的作用力不变且不考虑这段时间雨滴受到的重力、空气的浮力和阻力，求雨滴对地面的作用力大小。
答案 (1)500 N (2) N
解析 (1)不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面的速度为
v＝＝200 m/s
取竖直向上为正方向，设地面对雨滴的作用力大小为F，对雨滴和地面的作用过程，运用动量定理得FΔt1＝0－
代入数据解得F＝500 N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为500 N。
(2)对雨滴和地面作用的过程，由动量定理得
F′Δt2＝0－
其中v′＝8 m/s
代入数据解得F′＝ N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为 N。
