1.1.2 空间向量的数量积运算
课标要求 1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
素养要求 在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和数学运算素养.
一、空间向量的夹角
1.思考 在正△ABC中，平面向量与，与的夹角的大小分别为多少？
提示 60°，120°.
2.填空
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
温馨提醒 两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量).
3.做一做 判断正误
(1)向量与的夹角不等于向量与的夹角.(√)
(2)若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.(×)
提示 不一定，可能是α，也可能是π－α.
(3)对空间任意两个非零向量a，b，都有〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉.(√)
二、空间向量的数量积及性质
1.思考 (1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？
提示 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝(或b＝)
提示 不能.向量没有除法.
2.填空 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉.
(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0；
②a⊥b a·b＝0；
③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
温馨提醒 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
3.做一做 (1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( )
A.12 B.8＋
C.4 D.13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
(2)已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________.
答案
解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∴1－|b|×＝0，解得|b|＝.
三、向量a的投影
1.思考 在同一个平面内，向量a向向量b的投影有什么意义？
提示 向量a向向量b的投影为|a|cos θ·e，其中θ为向量a，b的夹角，e为b方向上的单位向量.
2.填空 (1)在空间，向量a向向量b投影：
如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a向直线l投影如图(2).
(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.
题型一 求空间向量的数量积
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
解 (1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 60°＝，
所以·＝.
(2)·＝·＝||·
||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]
＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝×＝－.
所以，·＝－.
思维升华 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－
＝－13.
题型二 利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)
＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
思维升华 (1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直.
(2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明.
训练2 如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
题型三 利用数量积求异面直线所成的角
例3 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值.
解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4·cos 135°－8×6·cos 120°
＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝
＝＝，
即异面直线OA与BC所成角的余弦值为.
思维升华 利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量；
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；
(3)利用数量积求角的大小.
训练3 已知四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.
答案
解析 由已知得＝(＋)，
＝－＝－，
因此||＝|＋|
＝＝，
||＝
＝＝.
又因为·＝(＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝
＝＝－.
故异面直线OE与BF所成角的余弦值为.
题型四 利用数量积求线段长度
例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
解 设＝a，＝b，＝c.
由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋
2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
思维升华 求线段长度的步骤如下：
(1)将线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝得所求长度.
训练4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解 因为＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×2·cos 90°＋1×3·cos 60°＋2×3·cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝
即AC1＝.
[课堂小结]
1.重要思想方法
(1)空间向量数量积的运算与平面向量数量积完全相同，可类比进行.
(2)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化的思想方法.
2.易错易混提醒
(1)当两量的夹角为锐角(钝角)时，a·b＞0(＜0)，但当a·b＞0(＜0)时，向量a与b夹角θ不一定是锐角(钝角)，也可能为0(π).
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
一、基础达标
1.下列命题中，不正确的有( )
①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a.
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
答案 D
解析 ①②③正确；④不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同.
2.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A.垂直 B.共线
C.不垂直 D.以上都可能
答案 A
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
3.已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案 B
解析 根据a与2b－a互相垂直，得a·(2b－a)＝0，
即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉＝45°，故选B.
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案 BCD
解析 因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；因为PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0；同理·＝0.所以选BCD.
5.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( )
A.·<· B.·＝·
C.·>· D.·与·的大小不能比较
答案 C
解析 因为·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝0，
·＝(＋)·
＝·＋·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos 120°－||·||·cos 120°＋||·||cos 120°＜0.
所以·＞·.故选C.
6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
答案 a2
解析 如图，＝－，
＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝0－0－0＋a2＝a2.
7.已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.
答案
解析 由|a－b|＝得(a－b)2＝7，
即a2－2a·b＋b2＝7，求得a·b＝，故cos〈a，b〉＝＝.
8.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于________.
答案 －
解析 ∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ·3×4·cos 135°＋3×4·cos 135°＋λ·16＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ，
又m⊥n，
∴m·n＝0＝6＋4λ，
∴λ＝－.
9.如图所示，正三棱锥A－BCD，试用向量法证明AD⊥BC.
证明 设＝a，＝b，＝c，
由题意知|a|＝|b|＝|c|且〈a，c〉＝〈b，c〉，
∴·＝·(－)
＝c·(b－a)
＝b·c－a·c
＝|b||c|cos〈b，c〉－|a||c|cos〈a，c〉
＝0，
∴⊥，即AD⊥BC.
10.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
解 ∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||·
cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，
∴||＝2，
故CD的长为2.
二、能力提升
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是( )
A.(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
答案 AB
解析 如图所示， (＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝(＋)·＝·＋·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.
综上可知，AB正确.
12.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是______三角形.
答案 锐角
解析 ·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理，·＞0，·＞0，∴△BCD的三个内角均为锐角.
∴△BCD为锐角三角形.
13.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
(1)证明 设＝a，＝b，＝c，
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·
＝·
＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，
即CE⊥A′D.
(2)解 ∵＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·
＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
三、创新拓展
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
(1)证明 设＝a，＝b，＝c.
依题意有|a|＝|b|，＝－＝a－b.
设，，的两两夹角均为θ，于是
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c|·|a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
∴CC1⊥BD.
(2)解 若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝(＋)·(－)＝(a＋b＋c)·(a－c)
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD.
∴当＝1时，A1C⊥平面C1BD.(共53张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
课标要求
1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
素养要求
在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、空间向量的夹角
提示 60°，120°.
2.填空
温馨提醒 两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量).
3.做一做 判断正误
×
√
提示 不一定，可能是α，也可能是π－α.
(3)对空间任意两个非零向量a，b，都有〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉.( )
√
提示 不能.向量没有除法.
二、空间向量的数量积及性质
1.思考 (1)平面向量的数量积a·b是如何定义的？
提示 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
2.填空 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝___________________.
(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为____；
②a⊥b a·b＝____；③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②a·b＝b·a；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
温馨提醒 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
(3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
|a||b|cos 〈a，b〉
0
0
D
3.做一做 (1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( )
(2)已知|a|＝1，且a－b与a垂直，a与b的夹角为45°，则|b|＝________.
解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0.
三、向量a的投影
1.思考 在同一个平面内，向量a向向量b的投影有什么意义？
提示 向量a向向量b的投影为|a|cos θ·e，其中θ为向量a，b的夹角，e为b方向上的单位向量.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一 求空间向量的数量积
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
思维升华
训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
－13
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
题型二 利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据直线的方向向量的数量积为0，证明线线垂直.
(2)证明直线与平面垂直则要利用直线和平面垂直的判定定理转化为直线和直线垂直证明.
思维升华
训练2 如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明 因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
题型三 利用数量积求异面直线所成的角
例3 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值.
利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量；
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题；
(3)利用数量积求角的大小.
思维升华
训练3 已知四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为________.
题型四 利用数量积求线段长度
例4 如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
思维升华
训练4 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
课堂小结
1.重要思想方法
(1)空间向量数量积的运算与平面向量数量积完全相同，可类比进行.
(2)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化的思想方法.
2.易错易混提醒
(1)当两量的夹角为锐角(钝角)时，a·b＞0(＜0)，但当a·b＞0(＜0)时，向量a与b夹角θ不一定是锐角(钝角)，也可能为0(π).
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.下列命题中，不正确的有( )
D
一、基础达标
解析 ①②③正确；④不正确，因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同.
2.已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
A
解析 根据a与2b－a互相垂直，得a·(2b－a)＝0，
即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
B
又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°，故选B.
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
BCD
解析 因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，
5.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么( )
C
a2
解析 ∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ，
又m⊥n，
∴m·n＝0＝6＋4λ，
9.如图所示，正三棱锥A－BCD，试用向量法证明AD⊥BC.
10.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是( )
AB
二、能力提升
锐角
13.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.
(1)求证：CE⊥A′D；
根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
三、创新拓展
本课结束
