(共51张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第一课时 空间向量及其线性运算
课标要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算.
素养要求
在空间向量概念的形成和进行线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、空间向量的有关概念
1.思考 (1)平面向量的概念是什么？
提示 既有大小又有方向的量叫做向量.
2.填空 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有______和______的量叫做空间向量.
(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的______或____.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
大小
方向
长度
模
(4)特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做________，记为0
单位向量 ________的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度______而方向______的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量______，即对于任意向量a，都有0____a.
相等向量 方向______且模______的向量称为相等向量.在空间，______且______的有向线段表示同一向量或相等向量
零向量
模为1
相等
相反
互相平行或重合
平行
∥
同向
等长
相同
相等
温馨提醒 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.
3.做一做 判断正误
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|.( )
(2)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同. ( )
√
×
提示 两个向量的终点重合，起点不知如何，则其方向的关系不能确定.
(3)零向量与任意向量平行.( )
√
二、空间向量的加减运算
1.思考 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
2.填空
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行 四边形 法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法 运算 三角形 法则 语言叙述 共起点，连______，方向指向______向量
图形叙述
加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 终点
被减
温馨提醒 (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减).
(2)空间向量线性运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同.
A
三、空间向量的数乘运算
1.思考 由数乘λa＝0？可否得出λ＝0
提示 不能，λa＝0 λ＝0或a＝0.
2.填空
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的________倍
λ＜0 λa与向量a的方向______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 相同
相反
|λ|
温馨提醒 (1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
运算律 结合律 λ(μa)＝____________
分配律 (λ＋μ)a＝____________，
λ(a＋b)＝______________
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.做一做 化简5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝__________.
3a－2b
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一 空间向量的概念辨析
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
D
解析 A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小，故选D.
BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC.
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
思维升华
训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
题型二 空间向量的加减运算
AB
解析 法一(转化为加法运算)
0
法二(转化为减法运算)
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
思维升华
训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
题型三 空间向量的数乘运算
解 ∵P是C1D1的中点，
解 ∵N是BC的中点，
解 ∵M是AA1的中点，
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
思维升华
课堂小结
1.重要思想与方法
(1)空间向量的运算法则为三角形法则与平行四边形法则.
(2)本节应用的数学思想为类比、转化与化归.
2.易错易混点提醒
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.下列命题中为真命题的是( )
A
一、基础达标
解析 对于选项B，其终点构成一个球面，
对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；
对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，
故选A.
C
即四边形ABCD为平行四边形，
D
A.a＋b－c B.a－b＋c
C.b－a－c D.b－a＋c
C
5.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
ABC
解析 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′如图，
综上，正确的有ABC.
1
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
解 ∵F是正方形CDD1C1的中心，
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是( )
BCD
二、能力提升
解析 易知四边形EFGH为平行四边形，
6
∴x＋y＋z＝6.
13.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
解 如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，
使D′F＝2FC′，连接EF，
ABD
三、创新拓展
解析 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确.
本课结束1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第一课时 空间向量及其线性运算
课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算.
素养要求 在空间向量概念的形成和进行线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养.
一、空间向量的有关概念
1.思考 (1)平面向量的概念是什么？
提示 既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、在同一平面内吗？向量、、呢？
提示 向量、、在同一平面内，向量、、不在同一平面内.
2.填空 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
(4)特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
温馨提醒 (1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.
3.做一做 判断正误
(1)若a＝－b，则|a|＝|b|.(√)
(2)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同.(×)
提示 两个向量的终点重合，起点不知如何，则其方向的关系不能确定.
(3)零向量与任意向量平行.(√)
二、空间向量的加减运算
1.思考 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？
提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.
2.填空
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形 叙述
减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
温馨提醒 (1)求向量的和时，可以首尾相接(三角形法则)，也可以共起点(平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减).
(2)空间向量线性运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同.
3.做一做 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
答案 A
解析 ＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
(2)化简：＋－＝________.
答案
解析 ＋－＝－＋＝(＋)＋＝＋＝.
三、空间向量的数乘运算
1.思考 由数乘λa＝0？可否得出λ＝0
提示 不能，λa＝0 λ＝0或a＝0.
2.填空
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
温馨提醒 (1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(2)向量λa与向量a一定是共线向量.
3.做一做 化简5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝______.
答案 3a－2b
题型一 空间向量的概念辨析
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量，满足||>||，则>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中任意两个单位向量必相等
答案 (1)D (2)BC
解析 (1)A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小，故选D.
(2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以选BC.
思维升华 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个.
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝3.
题型二 空间向量的加减运算
例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是( )
A.－－ B.＋－
C.－－ D.－＋
答案 AB
解析 A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故选AB.
(2)化简(－)－(－)＝______.
答案 0
解析 法一(转化为加法运算)
(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋＝0.
法二(转化为减法运算)
(－)－(－)
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
思维升华 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
训练2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
(1)＋－；
(2)－－.
解 (1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
题型三 空间向量的数乘运算
例3 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋
＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋
＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思维升华 利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
训练3 如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值.
解 ∵＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
[课堂小结]
1.重要思想与方法
(1)空间向量的运算法则为三角形法则与平行四边形法则.
(2)本节应用的数学思想为类比、转化与化归.
2.易错易混点提醒
应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
一、基础达标
1.下列命题中为真命题的是( )
A.向量与的长度相等
B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
答案 A
解析 对于选项B，其终点构成一个球面，对于选项C，空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示，但不能说向量就是有向线段；对于选项D，向量a与向量b不相等，有可能它们的模相等，但方向不同，故选A.
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果不为向量的是( )
A.(＋)＋ B.(＋)＋
C.(－)－ D.(＋)＋
答案 C
解析 根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，(－)－＝－＝，故选C.
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案 D
解析 ∵＝，
∴||＝||，AB∥DC，
即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.故应选D.
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A.a＋b－c B.a－b＋c
C.b－a－c D.b－a＋c
答案 C
解析 ＝－＝(－)－，
∵＝＝c，
∴＝b－a－c.
5.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
A.－＝
B.＝＋＋
C.＝
D.＋＋＋＝
答案 ABC
解析 作出平行六面体ABCD－A′B′C′D′如图，
可得－＝＋＝，故A正确；
＋＋＝＋＋＝，故B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，故D不正确.
综上，正确的有ABC.
6.设A，B，C，D为空间任意四点，则－＋＝________.
答案
解析 －＋＝＋＋＝.
7.设M是△ABC的重心，记＝b，＝c，则＝________(用b，c表示).
答案 (c－b)
解析 如图，＝
＝×(＋)
＝(c－b).
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.
答案 1
解析 ＝＋＝＋＝＋(＋).
所以x＝1，y＝.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解 (1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，
所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝＋x＋y，求x，y的值.
解 ∵F是正方形CDD1C1的中心，
∴＝＝(＋)
＝(＋)，
∴＝＋＝＋＋.
又∵＝＋x＋y，
∴x＝，y＝.
二、能力提升
11.(多选)空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式中成立的是( )
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝2
D.－＋＋＝
答案 BCD
解析 易知四边形EFGH为平行四边形，
所以＋＋＋＝＋＋＝＋＝，故A不成立；＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B成立；＋＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C成立；－＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故D成立.
12.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝________.
答案 6
解析 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝＋＋，又＝x＋＋，
∴∴
∴x＋y＋z＝6.
13.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值.
解 (1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，则＝＋＋.
(2)因为＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
所以α＝，β＝，γ＝.
三、创新拓展
14.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝，＝，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.四边形EFGH是梯形
答案 ABD
解析 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
∴EH是△ABD的中位线，
则＝，
又由＝－＝
－＝(－)＝，故A正确；
＝＝×＝，故B正确；
显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确.第二课时 共线向量与共面向量
课标要求 1理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
素养要求 在理解向量共线、向量共面概念的过程中，提升学生数学抽象素养，在判定与证明向量共线、共面的过程中，发展学生逻辑推理、直观想象和数学运算素养.
一、空间向量共线的充要条件
1.思考 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
2.填空 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)直线的方向向量
①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
②直线可以由其上一点和它的方向向量表示.
温馨提醒 (1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.
3.做一做 设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案 －3
解析 因为＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
所以
解得m＝λ＝－3.
二、空间向量共面的充要条件
1.思考 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
提示 不一定，如图所示，空间中，，这三个向量不共面.
2.填空 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
(2)共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb
温馨提醒 向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
3.做一做 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
答案 C
解析 ∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴点M与点A，B，C必共面.
题型一 向量共线问题
角度1 共线向量的证明
例1 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？
解 法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴∥，即与共线.
法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴∥，即与共线.
思维升华 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝(－)
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
角度2 三点共线的证明
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线.
证明 连接GB，GD，GC1，
＝＋＋＝＋＋.
因为G为△BC1D的重心，所以＋＋＝0，
又＝＋，＝＋，
＝＋，
所以3＝＋＋，
即＝(＋＋)＝，
所以∥，即A1，G，C三点共线.
思维升华 证明三点共线的方法
(1)若＝λ，则P，A，B三点共线.
(2)对空间任意一点，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线.
训练2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线.
证明 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，
所以＝－
＝a－b－c＝(a－b－c).
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线.
题型二 向量共面问题
角度1 向量共面的证明
例3 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面.
证明 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝(＋)＋＋(＋)
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.
角度2 四点共面的证明
例4 (链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
证明 设＝ a，＝ b，＝ c，则＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，
∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2∶1，
∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋(c－a)
＝＋，
∴，，为共面向量.
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面.
思维升华 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
训练3 已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足＝3－4＋2，判断点P是否与点A，B，C共面.
解 若点P与点A，B，C共面，则存在唯一实数对x，y，使得＝x＋y，那么对空间任意一点O，有－＝x(－)＋y(－)，
即＝(1－x－y)＋x＋y.
与已知条件对比，得
即存在实数x＝－4，y＝2，
使得＝－4＋2，
所以向量，，共面，
又，，过同一点P，故点P与点A，B，C共面.
[课堂小结]
1.重要思想与方法
(1)应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等.
(2)本节应用的数学思想为类比，转化与化归.
2.易错易混点提醒
(1)混淆向量共线与线段共线、点共线.
(2)证明线面平行时混淆“线面平行”与“向量共线”.
一、基础达标
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
答案 A
解析 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量.
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案 A
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线.
3.若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A.P∈直线AB
B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)·＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，
所以与共线.
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
4.(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C.若与共线，则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|<|a＋b|，故B不正确；由向量平行知C不正确；D中只有x＋y＋z＝1时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确.故选BCD.
5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为( )
A. B.－
C. D.－
答案 A
解析 ＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
6.设e1，e2是不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________.
答案 －8
解析 因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A，B，D三点共线，
由向量共线的充要条件得＝，
所以k＝－8.
7.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________(填“平行”“相等”或“相反”).
答案 平行
解析 设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)，则＝＋＝＋
＝(＋)，
所以2＝＋，
从而∥(＋).
8.有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).
答案 ②③④
解析 根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.
故③正确；易知④也正确.
9.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
解 (1)∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，∴＝＋，
∴，，为共面向量，又，，过同一点P，
∴P与A，B，M共面.
(2)∵＝4－－，
∴＝2＋(－)＋(－)＝2＋＋，
根据空间向量共面的充要条件可知，点P位于平面ABM内的充要条件是＝＋x＋y，
∴P与A，B，M不共面.
10.如图，已知M，N分别为四面体ABCD中△BCD与△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋×(＋)
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)，
＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线.
二、能力提升
11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
答案 C
解析 ＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
因为11＋(－6)＋(－4)＝1，
于是M，B，A1，D1四点共面.
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
答案
解析 ∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k).
∴∴λ＝.
13.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.
证明 因为＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，＝k.
由于四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k
＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要条件知，，共面，
又，，过同一点E，
从而E，F，G，H四点共面.
三、创新拓展
14.已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不同为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________.
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k，使得＝k，
∵＝－，＝－，
∴－＝k(－)，
化简整理得－(k＋1)＋k＝0，
∵λ＋m＋n＝0，
∴①当k＝－1时，比较系数得m＝0且
λ＝－n，∴λ＋m＋n＝0；
②当k≠－1时，可得
＝＝，
得m＝(－k－1)λ，n＝kλ；
由此可得λ＋m＋n＝λ＋(－k－1)λ＋kλ＝0，
综上所述，λ＋m＋n＝0.(共51张PPT)
第二课时 共线向量与共面向量
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
课标要求
1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件，会证明空间三点共线、四点共面.
素养要求
在理解向量共线、向量共面概念的过程中，提升学生数学抽象素养，在判定与证明向量共线、共面的过程中，发展学生逻辑推理、直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材
必备知识探究
内容
索引
互动合作研析题型
关键能力提升
拓展延伸分层精练
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、空间向量共线的充要条件
1.思考 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
2.填空 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________.
a＝λb
②直线可以由其上一点和它的方向向量表示.
温馨提醒 (1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上.
(2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.
－3
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
解得m＝λ＝－3.
二、空间向量共面的充要条件
1.思考 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？
(2)共面向量
定义 平行于同一个______的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使_________________
平面
唯一
p＝xa＋yb
温馨提醒 向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立.
C
3.做一做 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一 向量共线问题
解 法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
角度1 共线向量的证明
判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
思维升华
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线.
证明 连接GB，GD，GC1，
角度2 三点共线的证明
思维升华
题型二 向量共面问题
角度1 向量共面的证明
例4 (链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面.
角度2 四点共面的证明
又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面.
思维升华
即存在实数x＝－4，y＝2，
课堂小结
1.重要思想与方法
(1)应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等.
(2)本节应用的数学思想为类比，转化与化归.
2.易错易混点提醒
(1)混淆向量共线与线段共线、点共线.
(2)证明线面平行时混淆“线面平行”与“向量共线”.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量
A
一、基础达标
解析 由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量.
A
∴A，B，D三点共线.
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
A
4.(多选)在以下命题中，不正确的命题是( )
BCD
A
－8
又A，B，D三点共线，
所以k＝－8.
平行
8.有下列命题：
②③④
9.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A，B，M一定共面.
10.如图，已知M，N分别为四面体ABCD中△BCD与△ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.
求证：B，G，N三点共线.
C
二、能力提升
因为11＋(－6)＋(－4)＝1，
于是M，B，A1，D1四点共面.
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝________.
解析 ∵a，b，c三向量共面，
∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k).
解析 ∵A，B，C三点共线，
0
三、创新拓展
本课结束
