第十章概率 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第十章 概率 同步练习
一、单选题
1．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ）
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
2．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35岁以下 40 30 70
35-50岁 27 13 40
50岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（ ）A．该教职工具有本科学历的概率低于60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％
3．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）A． B． C． D．
4．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）
A． B． C． D．
6．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9
7．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
8．从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（ ）
A． B． C． D．
12．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为____________.
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.
15．若同时掷两颗骰子，则出现两颗骰子的点数之和大于9的概率为________
16．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．
三、解答题
17．某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示
（1）求实数m的值以及参加课外活动时间在[10，20）中的人数；
（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；
（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．
18．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．
19．国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
授课量（单位：小时）
频数
培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
课时量（单位：天）
频数
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.
20．某手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲 乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲 乙两车间各抽检了件配件，其检测结果：
等级 一等品 二等品 次品
甲车间配件频数
乙车间配件频数
其中一 二等品为正品.
（1）分别估计甲 乙车间生产出配件的正品的概率；
（2）该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的倍.已知每件配件的生产成本为元，根据环保要求，每件次品需要处理费用为元，厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于元，求二等品每件的出厂的最低价.
21．某工厂为生产一种标准长度为的精密器件，研发了一台生产该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为，“长度误差”为，只要“长度误差”不超过就认为合格．已知这台车床分昼、夜两个独立批次生产，每天每批次各生产件．已知每件产品的成本为元，每件合格品的利润为元．在昼、夜两个批次生产的产品中分别随机抽取件，检测其长度并绘制了如下茎叶图：
（1）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率；
（2）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.
【详解】
因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，
所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，
所以甲、乙两地都不下雨的概率为
故选：D
本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.
2．D
根据表中数据，用频率代替概率求解.
【详解】
A.该教职工具有本科学历的概率 ，故错误；
B.该教职工具有研究生学历的概率，故错误；
C.该教职工的年龄在50岁以上的概率，故错误；
D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率，故正确.
本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
3．D
由表中数据，用频率估计概率求解.
【详解】
由表中数据得：
估计这个人体重减轻的概率约为
故选：D
本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.
4．C
根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.
【详解】
记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，
则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，
所求概率.
故选：C.
5．B
先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．
【详解】
设事件A：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为，身体关节构造不合格的概率为，所以，故．
故选：B．
本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．
6．D
直接利用频率的公式求解.
【详解】
由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9，
所以此人中靶的频率是.
故选：D
7．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
8．C
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为.
故选：C
9．C
由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
10．D
先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】
如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
11．D
根据古典概型的概率公式直接计算.
【详解】
由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，
事件即为向上一面的点数为2或4或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，
所以，
故选：D.
12．D
利用列举法求解即可
【详解】
解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，
则从这5个国家中任取2个国家有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，
其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，
所以所求概率为.
故选：D.
13．
利用古典概型的随机数法求解.
【详解】
由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数，
所以恰好抽取三次就停止的概率约为，
故答案为：
14．
根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】
因为甲在每局比赛中获胜的概率为，
若甲前两局获胜，其概率为；
若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为,
所以本次比赛中甲获胜的概率为.
故答案为：.
15．
列举基本事件，直接套公式求概率.
【详解】
同时掷两颗骰子，有共36种情况；
而点数之和大于9包括共6种，
所以两颗骰子的点数之和大于9的概率为.
故答案为：.
16．
根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
17．（1）m=0.0125，5人；（2）34.75（分钟）；（3）．
（1）直接利用频率分布直方图的应用求出结果；
（2）利用平均值的算式的应用求出结果；
（3）利用古典概型公式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为所有小矩形面积之和等于1，
所以，
解得，
由于参加课外活动时间在，内的频率等于，
因此参加课外活动时间在，中的人数为人．
（2）依题意，参加课外活动时间在，，，，，，，，，中的人数分别为5人，8人，15人，7人，5人，
因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为：（分钟）．
（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为，，，，甲，
从中任选3人，可能的情况有：，，甲，，甲，甲，，甲，甲，甲，共10种，
设“其中的男生甲被选中”为事件，
则事件包括的情况有：甲，甲，甲，甲，甲，甲，共6种，
因此事件发生的概率为．
18．（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.
（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；
（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；
（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.
【详解】
解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），
则抽出两人的基本事件为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）
共15个基本事件，
其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.
记抽出两人都是高二学生为事件，则，
所以高二学生都在同一组的概率是.
（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，
因为20.5<23.5，
所以宣传节约粮食活动的效果很好.
法二：（茎叶图）画出茎叶图
因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，
所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.
19．（1）小时；（2）.
（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以可得出位老师暑假一日的授课量的平均数；
（2）设一位钢琴老师每年暑假天的授课天数为，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元求得的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.
【详解】
（1）估计位老师暑假一日的授课量的平均数为小时；
（2）设每年暑假天的授课天数为，则利润为.
由，得.
一位老师暑假利润不少于万元，即授课天数不低于天，
又天暑假内授课天数不低于天的频率为.
预测一位老师天暑假授课利润不少于万元的概率为.
本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
20．（1）甲车间生产出配件的正品的概率的估计值为，乙车间生产出配件的正品的概率估计值为；（2）元.
（1）根据数表，利用频率的定义求解；
（2）设二等品每件的出厂价为元，得到一等品每件的出厂价为元，根据每件配件的平均利润不低于元，由求解.
【详解】
（1）由数表可知，甲车间生产出配件的正品的频率为，
故甲车间生产出配件的正品的概率的估计值为.
乙车间生产出配件的正品的频率为，
故乙车间生产出配件的正品的概率估计值为.
（2）设二等品每件的出厂价为元，则一等品每件的出厂价为元.
由题意可知，，
整理得，，所以.
故二等品每件的出厂的最低价为元.
21．（1）昼、夜批次合格品概率估计值分别为、；（2）元.
（1）分别计算出昼、夜批次个样本中合格品的个数，据此可求得这两个批次中合格品的概率；
（2）分别计算出昼、夜批次件产品的利润，相加即可得出结果.
【详解】
（1）由样本数据可知，在昼批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此昼批次合格品概率估计值为.
在夜批次的个样本中有个不合格品，有个合格品，合格品的比率为，因此夜批次合格品概率估计值为；
（2）昼批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）；
夜批次合格品的概率为，不合格品的概率为，所以件产品中合格品的均值为
件，不合格品的均值为件，所以利润为（元）．
故这台车床一天的总利润的平均值为（元）.
本题考查茎叶图的应用，考查概率与平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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