1.1集合的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 1.1 集合的概念 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．N中最小的数是1
B．若，则
C．若，，则最小值是2
D．的实数解组成的集合中含有2个元素
2．集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
3．下列叙述正确的是（ ）
A．集合{x|x<3，x∈N}中只有两个元素
B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}
C．整数集可表示为{Z}
D．有理数集表示为{x|x为有理数集}
4．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．连江中全体老师 B．优秀艺术家
C．目前获得诺贝尔奖的公民 D．高中英语的必修课本
5．下列四组对象中能构成集合的是（ ）.
A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数 D．倒数等于本身的数
6．设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成集合A，则（ ）
A．2∈A B．3 A C．－1∈A D．1∈A
8．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．集合的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知集合，则有（ ）
A．且 B．但
C．但 D．且
11．设集合，．若，则 (　 　)
A． B． C． D．
12．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
13．已知集合，，若则实数的值为________
14．以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流
③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
15．已知集合，则实数的值为_________;
16．若为单元素集，则实数a的取值的集合为______．
三、解答题
17．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.
（1）到A、B两点距离相等的点的集合
（2）满足不等式的的集合
（3）全体偶数
（4）被5除余1的数
（5）20以内的质数
（6）
（7）方程的解集
18．集合
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来
（3）若A中至多一个元素，求a的范围
19．在数轴上表示集合或，并用区间表示该集合为______．
20．设集合，
（1）验证5和6是否属于集合M.
（2）关于集合M，还能得出什么结论吗？
21．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据集合中元素的特点判断ABC，解一元二次方程结合集合元素的互异性判断D.
【详解】
N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误；
当时，，且，故B错误；
若，则a的最小值是1，又，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，
取最小值2，故C正确；
的实数解为，故实数解组成的集合中含有1个元素，D是错误的.
故选：C
本题主要考查了集合中元素的互异性，以及元素与集合的关系，属于基础题.
2．D
解出不等式，确定出不等式的解集中的自然数即得．
【详解】
由得，又，所以集合表示为．
故选：D．
3．B
根据集合与元素的关系，以及集合的表示方法，判断选项.
【详解】
A.集合中元素有0，1，2，错；
B.，正确；
C.整数集表示为Z，错；
D.有理数集表示为{x|x为有理数}，错.
故选：B.
4．B
根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：
确定性、互异性和无序性，可构成集合；
而选项B中所述对象不满足确定性，因为什么样的艺术家才算“优秀”，
无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；
故选：B.
本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
5．D
根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.
【详解】
集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；
对于，符合集合的定义，正确.
故选：.
本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.
6．C
根据集合相等的定义判断选项.
【详解】
两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.
故选：C
7．C
先求出集合A，再对照四个选项一一验证.
【详解】
①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.
故选：C
8．B
直接求出集合C即可.
【详解】
集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，
所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.
故选：B.
9．C
利用，讨论， 可得答案.
【详解】
因为，，，所以
时；时；时；时；时，
共有5个元素，
故选：C.
10．B
化简集合，再判断1和4与集合的关系，得到答案.
【详解】
由，即集合A，
则，.
故选：B
本题考查了集合描述法的理解，二次函数的值域，元素与集合间的关系，属于基础题.
11．C
【详解】
∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
12．C
①②③都可以写成的形式，验证是否是有理数，④计算的平方验证，判断.
【详解】
①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
13．1
【详解】
由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．
14．②⑤
利用集合元素的基本特征判断.
【详解】
①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；
②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；
③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；
④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；
⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.
故答案为：②⑤
15．-3, 1
由题意得 =6，解方程组求出实数a的值．
【详解】
由题意得 =6，
解得 a=﹣3或a=1，
经检验均符合题意，
故答案为-3, 1．
本题考查交集、并集、补集的定义和运算，以及一元二次方程的解法．易错点注意检验所得是否适合题意.
16．
由方程只有一解可得，注意方程增根情形．
【详解】
由题意方程只有一解或两个相等的实根，
(*)，,，此时，方程的解为，满足题意，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，．
综上，的取值集合为．
故答案为：．
17．（1）集合点，无限集；
（2）集合，无限集；
（3）集合，无限集；
（4）集合，无限集；
（5）集合，有限集；
（6）集合，有限集；
（7）集合，有限集.
（1）由题意可知，点满足，用描述法表示该集合，即可.
（2）用描述法表示该集合，即可.
（3）由题意可知，偶数能被整除，用描述法表示该集合，即可.
（4）用描述法表示该集合，即可.
（5）由题意可知，20以内的质数有，，，，，，，，用列举法表示该集合，即可.
（6）由题意可知，方程的解为，，，，，用列举法表示该集合，即可.
（7）用描述法表示该集合，即可.
【详解】
（1）因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集.
（2）由题意可知，集合，无限集.
（3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集.
（4）由题意可知，集合，无限集.
（5）因为20以内的质数有，，，，，，，.
所以集合，有限集.
（6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集.
（7）由题意可知，集合，有限集.
本题考查集合的表示方法，属于较易题.
18．（1）；（2）或，当时，；时，；（3）
（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑和两种情况，计算得到答案.
（3）综合考虑（1）和（2）中的两种情况，求并集得到答案.
【详解】
（1），
当时，；
当时，需满足，解得.
综上所述：A是空集，a的取值范围是.
（2）当时，，满足；
当时，需满足，解得.
综上所述：A中只有一个元素，a的取值范围是，
当时，；时，；
（3）若A中至多一个元素，根据（1）和（2）知，
的范围为.
19． ；
答案见数轴，用区间表示出集合即可
【详解】
如图： ，表示成集合为：
20．（1）；；（2）答案见解析.
（1）元素是否属于集合，即看是否满足集合中的约束条件，即看，，是否有解；
（2）根据集合中的约束条件，对赋值，如可令，或，，得到相关的一些结论，答案不唯一.
【详解】
（1）∵，∴.
设，则，而，
则说明和中一个为偶数，另一个为奇数.另外，
又有是偶数，
这说明和必同为偶数或同为奇数，矛盾.故.
（2）可以得到下列结论：
①一切奇数属于集合M.因任一奇数，∴.
②形如的数也属于M.因，故.
③形如的偶数不属于.可模仿题（1）中的证明.
④属于M的两个整数的积也属于M.
设，
，∵.
本题考查了对集合描述法的理解，元素与集合的关系，对约束条件的分析与理解，属于中档题.
21．（1）详见解析；（2）；（3）或
（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.
【详解】
（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
答案第1页，共2页
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