4.1数列的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.1数列的概念 同步练习
一、单选题
1．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100，其余19人的年龄依次相差一岁，则这20位老人的年龄极差为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
2．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A．13 B．16 C．31 D．64
3．设是数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
4．已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知数列满足：，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A．55 B．58 C．60 D．62
7．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在数列中，，（，），则
A． B． C．2 D．6
9．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
10．已知数列的前n项和为，则数列前10项和是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
12．在等差数列中，若，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______.
14．已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为___________.
15．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
16．__________.
17．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则通项公式an=_____.
三、解答题
18．在数列中，，点在函数的图象上.
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的一个通项公式.
19．已知正项数列的前n项和满足：．数列满足且
（1）求
（2）令求数列的前项和
20．已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求
（3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值．
21．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为,根据其余19人的年龄依次相差一岁，得到，然后由最年长者的年龄大于90且不大于100求解.
【详解】
由题意可设年纪最大年龄为，年纪最小年龄为，
则有，
所以 ，
因为，
解得，，
所以，，
所以极差为29，
故选：B.
2．C
根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.
【详解】
，，
，，，，
，
所以解下6个环所需的最少移动次数为.
故选：C.
3．B
推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.
【详解】
在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
思路点睛：根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；
（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列.
4．C
根据递推关系先求出，即可求出.
【详解】
，
.
故选：C.
5．D
将代入递推式求出，再将代入递推式求出，以此类推求出
【详解】
将代入递推式得：，将代入递推式得：，将代入递推式得：，开始循环，所以
故选：D
6．A
表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.
【详解】
已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴，
又∵;
;
;
;
;
,
故选：A.
7．C
将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.
【详解】
由得：，
，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
由得：，又，且，
的最小值为.
故选：C.
关键点点睛：本题考查数列中的不等式的求解问题，解题关键是能够根据已知的递推关系式，构造出全新的等差数列，利用等差数列通项公式求得通项后，即可确定.
8．D
将代入递推公式可得，同理可得出和．
【详解】
，（，），，，则.
本题用将的值直接代入递推公式的方法求某一项，适用于所求项数低的题目，若求项数较高则需要求数列通项公式．
9．A
通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.
【详解】
，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：A.
本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.
10．C
先求通项，再裂项求和即可.
【详解】
，，
，
又，所以，
，
前10项的和.
故选：C.
11．A
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
12．A
将结合前项和公式全部表示成关于的表达式，化简可求解
【详解】
由得，整理得，即．
故选：A
13．
根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解.
【详解】
当时，，
则，
，
，，即，
，
所以，
所以当时，，
当时，，不满足上式，
故，
故答案为：
本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.
14．31
根据题意分两种情况讨论求出的值，即可求得的最小值.
【详解】
解：由题设，知：；
或中恰有一个成立；
或中恰有一个成立；
…
或中恰有一个成立；
则①，，，，
则，当时，的和为最小值为：31；
②，，，，
则，当时，的和为最小值为：32；
因此，的最小值为：31.
故答案为：31.
15．
由题意可得,当时，，又，两式相减可得，再利用累乘法，即可求出时数列的通项公式，注意当时,代入进行检验即可.
【详解】
由，可得当时，，
则，即，故，
所以.
当满足.
故数列的通项公式为.
故答案为：
易错点睛：本题考查已知数列的前项和求数列的通项公式，当时，，要注意当时,代入通项进行检验是否符合，考查学生的运算能力，属于一般题.
16．
正负号可用来调节，分式可整理为同分母的分数，以便观察总结规律.
【详解】
解：数列的各项可以顺次整理为：分母是项数加1，分子都是2，前面的正负号可用调节，
得到,
故答案为：。
本题根据数列的前几项观察归纳数列的通项公式，属基础题，注意将数列的各项适当整理变形，注意用调节正负号.
17．2+ln n
利用累加法求得数列的通项公式.
【详解】
解析：∵an+1=an+ln，
∴a2-a1=ln=ln 2，
a3-a2=ln=ln，
a4-a3=ln=ln，
……
an-an-1=ln=ln.
以上(n-1)个等式相加，得an-a1=ln 2+ln+…+ln=ln n.
∵a1=2，∴an=2+ln n.
∵a1=2+ln 1=2，
∴{an}的通项公式为2+ln n.
答案：2+ln n.
18．（1），，；（2）.
（1）由已知可得：，代入，即可求得，，的值；
（2）由前4项的值即可归纳.
【详解】
（1）因为点在函数的图象上，
所以，
又，所以，
，
.
（2）由（1）中数列的前4项的规律，
可归纳出数列的一个通项公式为.
19．（1），；（2）
（1）由，当时求出，当时，，两式作差即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出通项公式，由，可得，则是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和即可；
【详解】
解：（1）因为正项数列的前n项和满足：，当时，，解得或（舍去），
当时，，所以，即，即，，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，
因为且，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则
（2）因为，所以，所以①；
②；
①②得，
所以
所以
20．（1）；；（2）；（3）．
(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式.
(2)由错位相减法即可求出前项和.
(3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值.
【详解】
解：(1)设等差数列的公差为，
，，.
设等比数列公比为（其中），因为，
由，可得，解得或（舍去）；
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则①．
②
由①减去②得，
则，所以的前n项和.
（3）由(1)可知，，
则
恒成立，恒成立，
单调递增，时，，
最大值为.
方法点睛:
常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】
（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【整体点评】
（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；
方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；
答案第1页，共2页
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