4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3等比数列 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 631.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:38:36 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
2．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
4．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
5．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（ ）
A．里 B．里
C．里 D．里
6．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
7．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
8．等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
10．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
11．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
12．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A． B．G C． D．A
13．若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
14．已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
17．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
18．单调递增的等比数列满足，令，则的前10项和为________．
三、解答题
19．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
20．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
21．已知数列满足，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
22．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
2．D
利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值.
【详解】
由题意可得.
故选：D.
3．C
根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】
由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
4．A
先根据已知求出，即得的值.
【详解】
设数列的公比为，由题意可得，所以，
由题得.
故.
故选：A.
本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．C
建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，．
故选：C．
6．B
由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.
【详解】
设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，
且，即，解得，
则，即第二天走了96里.
故选：B.
7．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
8．B
设等比数列的公比为，计算出的值，由此可得出的值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，即，可得，
因此，.
故选：B.
9．D
由等比数列的通项公式计算．
【详解】
设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
10．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
11．B
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.
故选：B.
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
12．B
利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】
依题意可知.
由于满足，则，
所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，
所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.
故选：B.
本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
13．B
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，最后确定、、、的结论．
【详解】
解：数列的前项和为，且①，
当时，解得，
当时，②，
①②得：，
故，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．．
根据数列的通项公式和求和公式，整理得，，
由于，所以．
故正确，错误．
故选：．
14．A
依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
15．C
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
16．
由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论
【详解】
设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.
17．-8
【详解】
设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
18．
设单调递增的等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列方程求出和，可得和，根据裂项求和方法可求得结果.
【详解】
设单调递增的等比数列的公比为，则，
则，所以，
消去得，即，
解得或（舍），
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
关键点点睛：根据等比数列的通项公式列方程求出和是解题关键.
19．（1），；（2）．
（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求
【详解】
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，整理得，解得，
∴，．
（2），
∴
．
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；
（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.
【详解】
（1）是和的等比中项，
，即，
，，
则可解得，，
∴；
（2），
，
，.
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
21．(1)证明见解析；（2）.
(1)根据等比数列的定义证明为等比数列，(2)由(1)求出数列的通项公式，再利用分组求和法求其前n项和.
【详解】
解：(1)证明：，
又，∴
故数列是首项为4，公比为4的等比数列，
(2)由(1)可知，，
∴，
∴
故
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
本题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
2．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
4．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
5．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见首日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，恰好走了天到达目的地，则该人第一天走的路程为（ ）
A．里 B．里
C．里 D．里
6．《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（ ）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
7．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．或 D．
8．等比数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
10．某人于2020年6月1日去银行存款a元，存的是一年定期储蓄，2021年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
11．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
12．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 C D E F G A B C（八度）
A． B．G C． D．A
13．若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
14．已知在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
17．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
18．单调递增的等比数列满足，令，则的前10项和为________．
三、解答题
19．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
20．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
21．已知数列满足，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
22．设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
2．D
利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值.
【详解】
由题意可得.
故选：D.
3．C
根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】
由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
4．A
先根据已知求出，即得的值.
【详解】
设数列的公比为，由题意可得，所以，
由题得.
故.
故选：A.
本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．C
建立等比数列的模型，由等比数列的前项和公式求解．
【详解】
记第天走的路程为里，则是等比数列，，
，．
故选：C．
6．B
由题可知每天走的里数形成公比为的等比数列，且，求出即可.
【详解】
设每天走的里数形成数列，则由题可得是公比为的等比数列，
且，即，解得，
则，即第二天走了96里.
故选：B.
7．B
由等比数列性质可知，即可求解，进而求出．
【详解】
解：由等比数列性质可知，所以或，
但，可知，所以，则，
故选：B
8．B
设等比数列的公比为，计算出的值，由此可得出的值.
【详解】
设等比数列的公比为，则，即，可得，
因此，.
故选：B.
9．D
由等比数列的通项公式计算．
【详解】
设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
10．D
根据从2021年6月1日起，将到期存款的本息一起取出再加a元之后还存一年定期储蓄，即求解.
【详解】
设此人2020年6月1日存入银行的钱为元，2021年6月1日存入银行的钱为元，以此类推，
则2025年6月1日存入银行的钱为元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有元．
由题意，得，，，……，
，
所以．
故选：D．
11．B
利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】
因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.
故选：B.
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.本题由于自变量范围为正整数，所以采取逐一代入法较为简单.
12．B
利用对数与指数的转化，得到数列为等比数列，公比，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案.
【详解】
依题意可知.
由于满足，则，
所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，
所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.
故选：B.
本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.
13．B
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，最后确定、、、的结论．
【详解】
解：数列的前项和为，且①，
当时，解得，
当时，②，
①②得：，
故，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．．
根据数列的通项公式和求和公式，整理得，，
由于，所以．
故正确，错误．
故选：．
14．A
依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
15．C
讨论n=1和n≥2两种情况，当n≥2时，通过及等比数列的定义得到答案.
【详解】
时，,
时，，所以，
而，
所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
16．
由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论
【详解】
设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.
17．-8
【详解】
设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
18．
设单调递增的等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列方程求出和，可得和，根据裂项求和方法可求得结果.
【详解】
设单调递增的等比数列的公比为，则，
则，所以，
消去得，即，
解得或（舍），
所以，，，
所以，
所以.
故答案为：
关键点点睛：根据等比数列的通项公式列方程求出和是解题关键.
19．（1），；（2）．
（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；
（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求
【详解】
解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，整理得，解得，
∴，．
（2），
∴
．
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；
（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.
【详解】
（1）是和的等比中项，
，即，
，，
则可解得，，
∴；
（2），
，
，.
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
21．(1)证明见解析；（2）.
(1)根据等比数列的定义证明为等比数列，(2)由(1)求出数列的通项公式，再利用分组求和法求其前n项和.
【详解】
解：(1)证明：，
又，∴
故数列是首项为4，公比为4的等比数列，
(2)由(1)可知，，
∴，
∴
故
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
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本题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案第1页，共2页
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