5.3导数在研究函数中的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.3导数在研究函数中的应用
一、单选题
1．已知，则
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
2．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数在的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．函数在上的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
8．已知函数，若不等式的解集为，且，则函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
9．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
11．函数在区间上的最小值是（ ）
A．4 B．0 C．2 D．-2
12．已知函数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
17．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.
18．函数的减区间是____________.
三、解答题
19．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
20．已知，.
（1）讨论单调性；
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
21．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
求出导函数，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．
【详解】
由题意，当时，，递增，时，，　递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．
故选：C．
2．A
先求导数，令求解不等式可得答案.
【详解】
由题可知，由，解得.
所以单调递减区间为.
故选：A.
3．D
求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点.
【详解】
，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴函数在的极大值点为．
故选：D
4．D
求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.
【详解】
由可得
，
恒成立，为开口向上的抛物线，
若函数在上无极值，
则恒成立，所以，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
5．D
根据在上单调速增，由在上恒成立求解.
【详解】
因为函数在上单调速增，
所以在上恒成立，
即所以在上恒成立，
因为，
所以，经检验等号成立，
所以实数a的取值范围是，
故选：D
方法点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
6．C
利用导数的几何意义求出，从而可得，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值.
【详解】
函数，则
且，所以，
所以，解得，
所以，（）
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以.
故选：C
7．D
求出导数，由导数确定函数在上的单调性与极值，可得最小值．
【详解】
，所以时，，递减，时，，递增，
所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值．．
故选：D．
8．B
根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.
【详解】
为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式的解集为，且，故其具体图象为图1类，如下图：
，由于为的二重根，故可设，
，
令，解得：，或，且当或上，，当，，故是的极大值点，故极大值为.
故选：B
9．C
由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．
【详解】
解：对恒成立，
，，
令，
则，
当时，，当时，，
∴函数在上递减，在上递增，
所以
．
实数的取值范围是，．
故选：C．
10．D
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
11．D
先求得函数在区间上的极值，然后比较极值点和区间端点的函数值，由此求得函数在区间上的最大值.
【详解】
令，解得或.
，
故函数的最小值为，
故选：D
12．A
根据题意可得，则，令，利用导数求出函数的最小值即可得出答案.
【详解】
解：由函数，，，得，
则，
令，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在递增，
所以，即的最小值是.
故选：A.
13．D
令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】
令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
14．D
可看作的图象有2个交点，分别判断与单调性，画出图象，当与相切时，设切点为，利用，
，可得，从而，再利用图象平移可得答案.
【详解】
函数有两个不同的零点，则有两个解，
令，则与有2个交点，
，
当时，单调递减，当时，单调递增，
由得单调递增，
图象如下，
当与相切时，设切点为，，
同时，得，即，
，又，，
所以，此时，所以，
当时，可看作的图象向右平移，此时与必有2个交点，当时，图象向左平移二者必然无交点，
综上.
故选：D.
本题考查了函数的零点问题，解题关键点是看作的图象有2个交点，分别判断与单调性画出图象，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
15．C
令，可根据已知等式验证出为偶函数，同时根据导数得到的单调性；将所求不等式转化为，根据单调性可得到，解不等式求得结果.
【详解】
令，则，
，，，
为定义在上的偶函数；
当时，，在上单调递减，
又为偶函数，在上单调递增.
由得：
，即，
，解得：，即不等式的解集为.
故选：.
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小关系.
16．
由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】
解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
17．或
首先判断出函数的奇偶性和单调性，由此化简不等式并求得的取值范围.
【详解】
由，得，
所以是上的奇函数．
又，当且仅当时取等号，
所以在其定义域内单调递增．
因为，所以，
所以，即解得或，故实数的取值范围是或．
故答案为：或.
18．##
求出，然后由可得答案.
【详解】
由可得
所以由可得
所以函数的减区间是
故答案为：
19．（1）的减区间为，增区间为；（2）.
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
20．（1）答案见解析；（2）.
（1）求出导函数，对m讨论，得到单调性；
（2）当时，先求出，由题意，原不等式等价于，，利用导数求出，进而求出m的范围.
【详解】
（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；
（2）当时，，
根据题意，不等式等价于，，
对于，，，
所以在上单增，所以，
则有，
设，则，
在定义域内为减函数，
又，所以，
即的取值范围是.
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)恒（能）成立问题求参数的范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
21．20
设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，可求p＝0.006v3，由题可得航行1海里所需的费用总和为q=(0.006v3+96)=0.006v2+，再用导数求函数最值即可.
【详解】
设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，
那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，
由题知v＝10时，p＝6，
∴k==0.006，
则p＝0.006v3，
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是0.006v3+96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20，
因为当v＜20时，q′＜0，当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小.
22．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
答案第1页，共2页
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