6.2排列与组合 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2 排列与组合 同步练习
一、单选题
1．通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（ ）
A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张
2．一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况.
A．288 B．864 C．1436 D．1728
3．已知，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
5．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
6．设，的个位数字为，十位数字为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．学校要求学生从物理 历史 化学 生物 政治 地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ）
A．5 B．12 C．20 D．120
8．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
9．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ）
A．11位 B．12位 C．13位 D．14位
10．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B．36 C．48 D．60
11．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
12．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
13．某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
14．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 （ ）
A． B． C． D．
15．某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）
A．10 B．30 C．60 D．125
二、填空题
16．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第秒末到达点的跳法共有______种．
17．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________．
18．我市大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．
三、解答题
19．4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为，，，，，）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的．
（1）求4位同学报了4个不同的项目的概率；
（2）求1位同学报了项目，剩余3位同学都报了项目的概率．
20．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
21．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4)其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5)若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
22．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
讨论后5位全部为数字、有一个字母、有两个字母三种情况，其中有两个字母再分两个字母相同、不同两种，结合分类分步计数方法求最多能发放的汽车号牌数即可.
【详解】
1、后5位全部为数字，共有张牌，
2、后5位有一个字母：共有张牌，
3、后5位有两个字母：当两个字母相同，有张牌；当两个字母不同，张牌；
综上，共有张牌.
故选：D
2．B
分别算出左边密码锁和右边密码锁的设置方式，再相乘即可得到.
【详解】
左边密码锁的四个数字共有种设法，右边密码锁的四个数字共有种设法，故密码设置的方法有种.
故选：B.
方法点睛：本题考查排列组合，解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件，解题时要细心、周全，做到不重不漏，考查学生的计算，属于基础题.
3．B
根据排列数的计算公式，进行计算即可.
【详解】
，
化简得，所以.
故选：B
4．D
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得,
故选：D
5．A
由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
6．A
根据，可得当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，从而可得的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，求出即可得解.
【详解】
解：因为，
所以当自然数n大于或等于10时，的个位数和十位数都是0，
所以的个位数字和十位数字即为的个位数字和十位数字，
，
所以的个位数字和十位数字分别为4和1，
所以，
所以.
故选：A.
7．B
先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案.
【详解】
从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种，
共有种.
故选：B.
8．C
根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.
【详解】
因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.
故选：C
本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
9．B
设参赛选手共有位，则总场次为，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n值，并判断n值的合理性即可.
【详解】
设参赛选手共有位，则总比赛场次为，即场，且，，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为分且为偶数，
∴当，得；当，无整数解；
∴(位).
故选：B.
关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.
10．A
根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.
【详解】
将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.
当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.
故选：A
11．B
根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算即可.
【详解】
解：根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B
此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题.
12．B
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有种方法，
或是两偶一奇，共有，共有种方法.
故选：B
13．B
分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.
【详解】
1、人脸识别方向不安排其它研究生，则种.
2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则种.
综上，共有360种分配.
故选：B
14．C
利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
根据八卦图可知：8个卦中含有两个以上阳爻的有1个，有两个阳爻的有3个，分别为离、巽、兑，有一个阳爻的有3个，分别为震、艮、坎，无阳爻的有1个，为坤，
选的两卦的六个爻中恰有两个阳爻，可以从有两个阳爻的离、巽、兑中选一个，另一个选坤，
这种选法有种；
也可以从有一个阳爻的震、艮、坎中选两个，这种选法有种，
从八卦中任取两卦的选法有种，
则从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为.
故选：.
15．C
先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.
【详解】
根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，
则有种选法；
故选：C.
本题主要考查排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
16．
要使质点从原点出发末到达点，则可能是向上跳次，向右跳次，向左跳次，或者向上跳次，向下跳次，向右跳次，然后利用组合数进行计算.
【详解】
分两类情况讨论：
第一类，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有种；
第二类，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有种，
根据分类计数原理得，共有种方法．
故答案为：.
17．16
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．
【详解】
根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，
所以不同的排课方法的种数是种，
故答案为：16．
18．
根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案
【详解】
根据题意，对于区域①②，可以在种颜色中任选种，有种选法；
对于区域③④⑤，可以在种颜色中任选种，有种选法，
则不同的摆放方式有种．
故答案为：.
【点评】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
19．（1）；（2）．
（1）根据分步乘法计数原理，排列及古典概型可得结果；
（2）安排一名同学报A科目有种，根据古典概型求解.
【详解】
（1）由题知，4位同学报6个项目共有种可能，
4位同学报了4个不同的项目共有种可能，
所以．
（2）由题知，4位同学报6个项目共有种可能，
1位同学报项目，剩余3位同学都报项目共有种可能，
所以．
20．(1)161700种；
(2)9506种；
(3)9604种.
(1)根据题意直接利用组合列式计算即可.
(2)利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可
(3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分类加法计数原理计算作答.
(1)
所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种)
所以有161700种不同的抽法.
(2)
从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)，
所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种.
(3)
抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，
由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种，
由分类加法计数原理得：(种)，
所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种.
21．(1)720
(2)1440
(3)144
(4)960
(5)840
小问1：我们可视排好的女同学为一整体有种排法，再与男同学排队即可；
小问2：先将男同学排好，共有种排法，再利用插空法即可；
小问3：根据分步乘法计数原理先排男生再排女生即可；
小问4：先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，再把甲、乙看一整体排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中即可；
小问5：从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生按身高排列有一种排法，即可求解．
(1)
3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，
再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共
有（种）不同的排法；
(2)
先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女
同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
(3)
3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
(4)
先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．
故总共有（种）不同的排法；
(5)
从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女
生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
22．(1)1225
(2)161700
(3)20
根据组合的性质，对每一小问逐一运算即可.
(1)
(2)
(3)
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页