7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征
一、单选题
1．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ）A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
2．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
3．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 (　　)
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A．16 B．11
C．2.2 D．2.3
4．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A． B． C． D．
5．组数、、、…、的平均数是，方差是，则另一组数、、、…、的平均数和方差分别是
A．，
B．，
C．，
D．，
6．从，，，，这组数据中，随机取出三个不同的数，用表示取出的数字的最小数，则随机变量的数学期望（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量的分布列如表：
若，则（ ）A． B． C． D．
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
9．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
10．设随机变量满足(为非零常数)，若，则和分别等于（ ）
A． B．
C． D．
11．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知随机变量满足，其中.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如下表：
1 2 3
？ ！ ？
尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定两个“？”处的数值相同，据此，_____．
14．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______.
15．设随机变量的方差，则的值为_____．
16．已知随机变量的分布列如表所示，则______．
17．若的方差为2，则，，…，的方差为______．
三、解答题
18．甲 乙 丙三人进行乒乓球挑战赛(其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判)，设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为，第一局甲当裁判.
（1）求第三局甲当裁判的概率；
（2）设X表示前4局乙当裁判次数，求X的分布列和数学期望.
19．某电子产品加工厂购买配件并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件，甲、乙两道工序处理的结果相互独立，且处理成功的概率分别为，，丙部门检修合格的概率为．
（1）求该工厂购买的任一配件可以进入市场销售的概率．
（2）已知配件的购买价格为元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为元/个，丙部门的检修成本为元个，若配件加工成型进入市场销售，售价可达元/个；若配件报废，要亏损购买成本以及加工成本．若市场大量需求配件的成型产品，试估计该工厂加工个配件的利润．（利润售价购买价格加工成本）
20．某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为，，，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.
(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；
(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过个项目，求的概率分布及数学期望.
21．某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】
∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，
D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴D(X1)故派甲运动员参加较好．
2．A
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
【详解】
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
3．A
【详解】
由表格可求，故，故选A．
4．B
列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解.
【详解】
由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，
，
，
则实验次数的分布列如下：


所以此人实验次数的期望是.
故选：B
5．B
根据均值与方差的性质，代入公式计算即可.
【详解】
解：由题意可知，，，，
根据数学期望与方差的公式得：，
，
故选：B.
均值与方差的性质：
（1）
（2）为常数).
6．A
由题设知的可能值为1,2,3，由古典概型的概率求、、，进而求期望即可.
【详解】
由题意知：的可能值为1,2,3，而随机取3个数的取法有种，
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
当时，取法有种，即；
∴.
故选：A.
7．A
根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数、的方程组，解出、的值，再利用方差公式可取得的值.
【详解】
由分布列的性质以及期望公式可得，解得.
.
故选：A.
8．C
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
9．A
根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】
且，则
即
解得
故答案选A
本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
10．B
利用满足线性关系的两随机变量的均值、方差关系的计算公式即可求得.
【详解】
因为随机变量满足，
所以，
；
.
故选：B.
若随机变量满足，他们的期望和方差分别满足：
11．B
利用随机变量的定义求解.
【详解】
因为取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．
所以取球次数可以是1，2，3， ，7．
故选：B．
12．B
先求出分布列，即可根据和概率和为1求出，进而求出方差.
【详解】
根据题意可得分布列如下：
0 1
，解得，
，解得，
.
故选：B.
13．2
根据概率之和为1结合均值计算公式求解.
【详解】
设，，则．
于是，．
故答案为：2.
14．
依题意画出数形图，即可求出的分布列，即可求出数学期望；
【详解】
解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：
则的分布列如下：
0 1 2 3
故.
故答案为：
本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图.
15．4
利用方差的运算性质即可求解
【详解】
.
故答案为：
16．
由分布列性质可计算求得，根据数学期望的计算公式和性质可求得结果.
【详解】
，，
，
.
故答案为：.
17．
根据方差的性质进行求解即可.
【详解】
因为的方差为2，
所以，，…，的方差为，
故答案为：
18．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
（1）根据两局的胜负列式求解即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，先求和，再由概率和为1可得，由期望公式求解即可.
【详解】
（1）第三局甲当裁判的概率为.
（2）X的可能取值为0，1，2，
当时，前三局乙均胜，故，
∵不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁判，故乙只能是第2 4局当裁判，故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉，故，∴.
其分布列为
X 0 1 2
P
.
求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
19．（1）；（2）万元．
（1）根据题意分析出哪种情形下配件可进入市场销售，利用相互独立事件的概率计算公式进行求解即可；
（2）先设工厂加工5000个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则，再求出的所有可能取值及其对应的概率，进而可得的期望，最后利用数学期望的性质即可得解．
【详解】
（1）记任一配件加工成型可进入市场销售为事件，甲、乙两道工序分别处理成功为事件，，丙部门检修合格为事件．
则．
（2）设该工厂加工个配件的利润为元，加工一个配件的利润为元，则．
由题可知的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
．
的分布列为
104 88
∴，
∴.
∴估计该工厂加工个配件的利润为万元．
关键点点睛：求解本题第（2）问的关键是准确求出离散型随机变量的所有取值及其对应的概率，并且在求出分布列后，注意运用分布列的两个性质（①，；②）检验所求的分布列是否正确；（2）在求出后，会利用期望的性质求．
20．(1)；
(2)分布列见解析，.
（1）根据给定条件，求出p值，并求出甲能通过项目选拔的概率，再由乘法公式计算作答.
（2）求出的所有可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答.
(1)
该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，，解得，
则甲在每个项目中通过的概率都为，设事件A为甲能进入到数学建模社团，
因甲在每个项目中通过的概率都为，且在每个项目中的成绩均相互独立，则有，
所以甲能进入到数学建模社团的概率为.
(2)
X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
则X的概率分布为：
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望.
21．投资项目一更合理，理由见解析
根据题意，写出两个项目的获利的分布列，再根据离散型分布列分别写出期望和，再求出两个项目的获利的方差和，比较两个项目的期望和方差，利用期望和方差的意义，即可得出结论.
【详解】
解：由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%，
且这两种情况发生的概率分别为和，
若按“项目一”投资，设获利万元，
的分布列为：
400 -100
（万元）；
而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，
且这三种情况发生的概率分别为，和，
若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：
500 -300 0
（万元）；
又，
，
，，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥，
综上所述，该投资公司投资项目一更合理.
本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，以及运用这些知识解决实际问题的能力，考查运算能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页