7.5正态分布 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第三册 7.5 正态分布 同步练习
一、单选题
1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：，则，）
A．2718 B．1359 C．340 D．906
2．“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布，且成绩在区间内的人数占总人数的，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）
A．10 B．32 C．34 D．37
3．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
4．已知随机变量，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．现有1000名学生参加数学测试，其中测试成绩近似服从正态分布试卷满分150分，统计结果显示测试成绩优秀（高于135分）的人数占总人数的，则此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
7．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为（ ）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
8．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
9．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布．若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
12．设这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
13．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：，若，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）
A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744
14．某校1000名学生的某次数学考试成绩服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩位于区间(51，69]的人数大约是（ ）
A．997 B．954 C．800 D．683
15．设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，则μ等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不确定
二、填空题
16．已知随机变量服从正态分布，若，则________.
17．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布，试卷满分150分.现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，若同学乙的数学成绩为120分，则他的学校排名约为___________名.
18．已知随机变量，若，则______.
三、解答题
19．某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
20．为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.
(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.
重量范围（单位：）
个数
为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
21．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则①；②；③．
22．某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
(1)由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
(2)已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据题中条件，由正态分布，求出阴影部分的面积，求出点落在阴影部分的概率，进而可得出结果.
【详解】
∵，
所以阴影部分的面积
，
则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为．
故选：C.
本题主要考查由正态分布求指定区间的概率，涉及与面积有关的几何概型的应用，属于常考题型.
2．B
设测试成绩为，则，先求出对应的概率，进而可求出结果.
【详解】
设测试成绩为，则，
又，
所以，
所以成绩不低于130分的职工人数大约为．
故选：B．
本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.
3．B
首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】
函数没有零点，即二次方程无实根，
，，又没有零点的概率是，
，由正态曲线的对称性知，，，，
，，，，
，，
所以，，
故选：B．
关键点点睛：本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据没有零点得到，再结合正态分布的图象的对称性得到值，然后再利用正态分布函数图象的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图象的对称性．
4．B
根据已知条件得出，且有，由此可求得结果.
【详解】
已知随机变量，，则，
根据正态密度曲线的对称性得出.
故选：B.
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
5．B
利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.
【详解】
因为随机变量，则.
故选：B.
6．B
根据正态分布的对称性进行求解.
【详解】
,
，
所以此次测试成绩在85分到110分之间的人数约为人.
故选：B
本题考查服从正态分布的随机变量在指定区间上的概率，属于基础题.
7．C
根据服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用在内取值的概率为0.6，求出成绩不高于80的概率，再利用相互独立事件的概率公式即可求得结论．
【详解】
解：服从正态分布
曲线的对称轴是直线，
在内取值的概率为0.6，
在内取值的概率为0.3，
在内取值的概率为．
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率
故选：C
8．B
结合正态密度函数的定义和解析式，即可求解.
【详解】
由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值，方差，即.
故选：B.
9．C
先求出，再求出这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率即得解.
【详解】
根据正态曲线的对称性，
每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率，
所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率，
故选：C．
10．C
分析可知个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
任取个数中有个阳数的概率，
任取个数中有个阳数的概率，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C．
11．C
首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为，所以对称轴方程为，
因为，
所以，解得，
故选：C.
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.
12．B
根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得的关系.
【详解】
由图可得：X的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左，
结合正态分布密度曲线性质可得：.
故选：B
此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.
13．C
根据正态曲线的对称性可求得结果.
【详解】
因为，所以根据正态曲线的对称性知，.
故选：C.
本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
14．D
由题图知，，其中，，∴，从而可求出成绩位于区间的人数.
【详解】
由题图知，，其中，，
∴，
∴人数大约为0.6827×1000≈683.
故选：D.
此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.
15．A
利用正态分布图象的对称性，确定对称轴，即可知均值μ.
【详解】
由题意，ξ < 1的概率是，则ξ > 1的概率也是，
∴正态分布的图象关于对称，即.
故选：A
16．
根据正态分布曲线的对称性，得到，即可求解.
【详解】
由题意，随机变量服从正态分布，可得对称轴，则，
因为，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：.
17．80
根据整体分布的意义与性质，可得，从而求出考试成绩大于或等于120分的人数即可得解.
【详解】
解：因为数学考试成绩X近似服从正态分布，
所以，
所以考试成绩大于或等于120分的人数有人，
所以同学乙的数学成绩为120分，则他的学校排名约为80名.
故答案为：80.
18．0.8
先根据正态分布对称性求，再求
【详解】
因为随机变量， ，
所以
因此
故答案为：0.8
本题考查利用正态分布对称性求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．（1）千元．；（2）①千元；②人．
(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
20．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望为.
（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
(1)
解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，
由正态分布的对称性可知，
，
所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.
(2)
解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，；，
所以，随机变量的分布列为：
所以.
21．（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可.
（2）依据，按公式计算即可.
（3）先得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.
【详解】
解：（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意知，
．
（3）由于，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
22．(1)；
(2)能，理由见解析.
（1）首先求出样本的平均数，然后根据正态分布求出质量指标k在区间之内的概率，从而得到质量指标k在区间之外的概率；然后根据二项分布即可求出答案.
（2）首先求出每件产品的平均利润，然后再求平均利润的最大值，从而可求出该生产线的年盈利的最大值，把年利润的最大值与进行比较即可得出答案.
(1)
由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
(2)
由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页