1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 918.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:48:12 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
2．已知向量，，并且，则实数x的值为（ ）
A．10 B．-10 C． D．
3．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
4．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．向量，向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知，，其中，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
9．若与共线，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
11．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若空间中三点，，共线，则________．
14．已知点，，，若，，三点共线，则______.
15．已知点，，，则点的坐标为______．
16．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
三、解答题
17．已知向量，，，，与垂直，______.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答.
(1)求；
(2)求向量的坐标.
18．已知空间三点，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值
19．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.
20．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.
（1）设，，若，求向量；
（2）对于中的任意两个向量，，证明：；
（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.
21．如图所示的几何体中，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)若，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
2．B
根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.
【详解】
解：∵，
∴，
解得.
故选：B.
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.
3．B
根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.
【详解】
解得，
代入得，又向量夹角范围：
故的夹角为，则与的夹角，
当时为；时为.
故选：B.
本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.
4．B
直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．
【详解】
因为的顶点分别为，2，，，4，，，4，，
则，
，
．
所以．
所以的形状为直角三角形．
故选：B
本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．C
由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
6．B
根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，求出，，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，解得，
因此.
故选：B.
7．A
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
8．C
直接利用空间向量夹角的余弦公式即可求出结果．
【详解】
因为向量，，，
所以，解得或．
故选：C．
9．D
根据与共线，由求解.
【详解】
∴与共线，
∴，即，
∴，.
故选：D
10．A
先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.
【详解】
因为，，，
所以，，
因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内
所以设，
则有.
解得
故选：A
本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．B
过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
12．D
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.
【详解】
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、，设点，
，，
，，得，
由，得，得，
，
，当时，取得最大值.
故选：D.
本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.
13．7
由三点共线得，求出，，列方程求出p，q，由此能求出．
【详解】
∵空间中三点，，共线，
∴，
∴，，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：7．
14．
首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
15．##
先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】
点，，则
设点，则
由，则 ，即，
所以点的坐标为
故答案为：
16．
利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】
因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
17．(1)
(2)答案见解析
（1）算出的坐标即可；
（2）设，不管选择哪个条件，根据向量的坐标运算建立方程求解即可.
(1)
因为，，，
所以，所以
(2)
选择①.
设，由题意得，即，
解得，所以.
选择②.
设，由题意得，即，
解得，所以.
选择③.
设，由题意得，即，
解得或，所以或
18．（1）2；（2）.
（1）先根据点的坐标，分别求得向量，，再利用空间向量的数量积运算求解.
（2）根据，由求解.
【详解】
（1）因为，，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，.
因为，
所以，
解得.
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）
（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；
（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．
【详解】
解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，，
所以面，
又，可以建立以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，，
（1）证明：由题意，，，
因为，所以.
（2）解：，，
设为平面的法向量，则
，即，
不妨令，可得，
平面的一个法向量，
因此有，
由图可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
（3）解：（方法一）设，，
所以，因此，
令，即，
解得，即为的中点，
因为平面，平面，，
所以当为的中点时，平面平面，
此时即，
，
所以线段的长为.
（方法二）设，，
所以，因此，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
因为平面平面，所以，
解得：，
此时即，，
所以线段的长为.
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
20．（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.
【详解】
分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.
详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：
或；
（2）设，，，则
从而得证；
（3）设与的夹角为，则，
则，故最大值为.
点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.
21．（1）详见解析（2）
（1）在中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出，再由
，
得出平面ABE.，由线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得证；
（2）在以B为原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出面的法向量，由（1）得平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）在中，
由余弦定理可得
所以，所以所以是直角三角形，.
又，所以平面ABE.
因为平面ABE，所以，因为,
所以平面ABCD.
（2）由（1）知，平面ABE，所以平面平面AEB，在平面ABE中，过点B作，则平面BEC，如图，以B为原点，BE,BC所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,
因为，所以，易知,
设平面ADF的法向量为
则
即令则
所以为平面ADF的一个法向量，
由（1）知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.
设二面角的平面角为，
由图知为锐角，则
所以二面角的余弦值为.
本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
2．已知向量，，并且，则实数x的值为（ ）
A．10 B．-10 C． D．
3．已知空间向量，，则向量与（）的夹角为（ ）
A． B．或 C． D．或
4．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．向量，向量，若，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知，，其中，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
9．若与共线，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
10．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内，则实数x的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
11．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若空间中三点，，共线，则________．
14．已知点，，，若，，三点共线，则______.
15．已知点，，，则点的坐标为______．
16．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
三、解答题
17．已知向量，，，，与垂直，______.从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答.
(1)求；
(2)求向量的坐标.
18．已知空间三点，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值
19．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.
20．设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.
（1）设，，若，求向量；
（2）对于中的任意两个向量，，证明：；
（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.
21．如图所示的几何体中，．
(1)求证：平面ABCD；
(2)若，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
2．B
根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可.
【详解】
解：∵，
∴，
解得.
故选：B.
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于.
3．B
根据数量积运算，结合的正负，求解对应的两个夹角.
【详解】
解得，
代入得，又向量夹角范围：
故的夹角为，则与的夹角，
当时为；时为.
故选：B.
本题考查空间向量的数量积，以及向量夹角的求解，属基础题.
4．B
直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．
【详解】
因为的顶点分别为，2，，，4，，，4，，
则，
，
．
所以．
所以的形状为直角三角形．
故选：B
本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．C
由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
因为向量，向量，若，
则，解得：，
故选：C.
6．B
根据空间向量共线的坐标表示，由题中条件，求出，，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，解得，
因此.
故选：B.
7．A
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
8．C
直接利用空间向量夹角的余弦公式即可求出结果．
【详解】
因为向量，，，
所以，解得或．
故选：C．
9．D
根据与共线，由求解.
【详解】
∴与共线，
∴，即，
∴，.
故选：D
10．A
先由点的坐标确定三个向量，，，再根据三点在平面ABC内，则有成立求解.
【详解】
因为，，，
所以，，
因为空间三点坐标分别为，，，点在平面ABC内
所以设，
则有.
解得
故选：A
本题主要考查了四点共面问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．B
过点作，垂足为，然后在中求解.
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
12．D
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.
【详解】
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、，设点，
，，
，，得，
由，得，得，
，
，当时，取得最大值.
故选：D.
本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.
13．7
由三点共线得，求出，，列方程求出p，q，由此能求出．
【详解】
∵空间中三点，，共线，
∴，
∴，，
∴，
解得，，
∴．
故答案为：7．
14．
首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
15．##
先求出向量的坐标，设点，得出的坐标，根据条件得出方程组可得答案.
【详解】
点，，则
设点，则
由，则 ，即，
所以点的坐标为
故答案为：
16．
利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】
因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
17．(1)
(2)答案见解析
（1）算出的坐标即可；
（2）设，不管选择哪个条件，根据向量的坐标运算建立方程求解即可.
(1)
因为，，，
所以，所以
(2)
选择①.
设，由题意得，即，
解得，所以.
选择②.
设，由题意得，即，
解得，所以.
选择③.
设，由题意得，即，
解得或，所以或
18．（1）2；（2）.
（1）先根据点的坐标，分别求得向量，，再利用空间向量的数量积运算求解.
（2）根据，由求解.
【详解】
（1）因为，，
所以.
因为，，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，.
因为，
所以，
解得.
本题主要考查空间向量的数量积运算，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）
（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；
（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．
【详解】
解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，，
所以面，
又，可以建立以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，，
（1）证明：由题意，，，
因为，所以.
（2）解：，，
设为平面的法向量，则
，即，
不妨令，可得，
平面的一个法向量，
因此有，
由图可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
（3）解：（方法一）设，，
所以，因此，
令，即，
解得，即为的中点，
因为平面，平面，，
所以当为的中点时，平面平面，
此时即，
，
所以线段的长为.
（方法二）设，，
所以，因此，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
因为平面平面，所以，
解得：，
此时即，，
所以线段的长为.
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
20．（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.
【详解】
分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.
详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：
或；
（2）设，，，则
从而得证；
（3）设与的夹角为，则，
则，故最大值为.
点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.
21．（1）详见解析（2）
（1）在中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出，再由
，
得出平面ABE.，由线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得证；
（2）在以B为原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出面的法向量，由（1）得平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）在中，
由余弦定理可得
所以，所以所以是直角三角形，.
又，所以平面ABE.
因为平面ABE，所以，因为,
所以平面ABCD.
（2）由（1）知，平面ABE，所以平面平面AEB，在平面ABE中，过点B作，则平面BEC，如图，以B为原点，BE,BC所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,
因为，所以，易知,
设平面ADF的法向量为
则
即令则
所以为平面ADF的一个法向量，
由（1）知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.
设二面角的平面角为，
由图知为锐角，则
所以二面角的余弦值为.
本题考查线面垂直关系的证明和二面角的计算，属于中档题.
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