1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为
3．已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能
4．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：
①异面直线与垂直；
②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；
③三棱锥的体积为
④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．
其中真命题的序号为（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
5．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
6．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（ ）
A． B． C．或 D．
7．已知三棱锥中，，，则异面直线，所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．直线的方向向量，平面的法向量，则有（ ）
A． B．或 C．与斜交 D．
9．已知正四棱锥，侧棱长是底面边长的2倍，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若平面，的法向量分别为，，则
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
11．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（　　）
A． B．
C． D．
12．已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．正三棱柱中，，E为棱的中点，F为线段上一点，且，则_____.
14．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__．
15．若两个平面，的法向量分别是，，则这两个平面所成的锐二面角的大小是______.
16．在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.
17．在直三棱柱中，以下向量可以作为平面法向量的是________．(填序号)
①； ②； ③； ④.
三、解答题
18．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．如图1，在等腰直角中，分别为的中点，将沿直线翻折，得到如图2所示的四棱锥，若二面角的大小为，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
21．如图，内接于，为的直径，，，，且平面，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)求点到平面的距离．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】
如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
2．B
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.
【详解】
在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，
则，，，，
所以，设，则，
因为， 所以
所以，即，
令，当时，；当时，；
取，，
连接，，，则，，
则，
，
所以，，
又，且平面，平面，
所以平面，
所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹为正三角形，故C错误；
因此点不可能是棱的中点，故A错误；
线段的最大值为，故B正确；
点轨迹的长度为，故D错误；
故选：B
3．A
通过计算可得知，也为平面的一个法向量，由此可得出平面与平面的位置关系.
【详解】
，，
，，，所以，也为平面的一个法向量，
又平面与平面不重合，所以平面与平面平行，
故选：A.
本题考查利用法向量判断平面与平面的位置关系，考查计算能力，属于基础题.
4．B
对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线， 所成的角，即可得出结果；
对于②：取 的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形 即为所求截面，即可得出结论；
对于③：利用等体积法求解即可；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
猜想出面 即为所求的截面，建立空间坐标证明推测，代入数值即可求出结论．
【详解】
解：对于①：取的三等分点为，使，又，
且，
四边形为平行四边形，
且，
四边形 为平行四边形，
，
则 为异面直线， 所成的角，
连接，由题意得：，
所以，
故①正确；
对于②：取 的三等分点为，使，又，
且，
四边形 为平行四边形，
则 且，
又由①得： 且，
于是且，
四边形 为平行四边形，
，
取的中点为，连接，
又，
，
则四边形 即为所求截面，
由题意知：，
则②不正确；
对于③：，
又面，，
所以，
故③正确；
对于④：取 的三等分点为，使，取 的三等分点为，使，
，
则面 即为所求的截面，
建立如图所示的空间坐标系，
则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，
，，，
所以面，
由已知条件得：
，
等腰梯形 的高为：
，
所以截面面积为：，
故④正确．
故选：．
本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题； 问题的关键是截面不容易找．
5．B
设，，，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论.
【详解】
设，，，
由题意知：，又，
，，
则，
与，共面，
平面，又平面平面，平面．
故选：B.
6．C
首先求的值，再根据法向量的夹角与二面角大小的关系，判断选项.
【详解】
，
所以，
又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，
所以二面角的大小可能是或.
故选：C
7．B
根据题意将图形补全成一个长、宽、高分别为1，1，的长方体，再利用向量法即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，在一个长、宽、高分别为1，1，的长方体中可以找到满足题意的三棱锥，以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
，，
，，
，
所以异面直线，所成角为.
故选：B.
8．D
根据向量的坐标关系可知，从而得出，即可得出直线与平面的位置关系.
【详解】
解：，，
，则，
所以.
故选：D.
9．C
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值．
【详解】
解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，所以
，，， ，， ．
．
与所成角的余弦值为．
故选：．
10．A
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】
解：因为平面，的法向量分别为，
即，所以
所以
故选：A
本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．
11．D
设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.
【详解】
设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴且为平面BDF的一个法向量.
由，，
可得平面BCF的一个法向量为
.故选：D
12．B
根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.
【详解】
,即,不一定有∥,也可能
“”是“∥”的不充分条件
∥,可以推出,
“”是“∥”是必要条件,
综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.
故选:B.
本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.
13．15
建立空间直角坐标系，利用即求.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，
则，，，设，
由知，
解得，
故.
故答案为：15.
14．1
利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值．
【详解】
由题意，点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），
所以,
若A，B，C三点共线，则，即，解得.
故答案为：1．
15．60°
利用向量夹角公式求得锐二面角的余弦值，进而求得其大小.
【详解】
设这两个平面所成的锐二面角为，
则，
所以所求锐二面角的大小是60°.
故答案为：60°
16．
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M是中点，再求三棱锥的外接球的半径，即得解.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=.
则A(2,0,0),B(,,设，
所以,所以.
所以，所以.
即点M是中点时，平面BDM.
设三棱锥的外接球的半径为R,设△MBD的外接圆半径为r,
则，
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．②③
根据平面的法向量的概念，结合直棱柱的特征，即可得出结果.
【详解】
因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，
即平面，平面，平面，
∴与可以作为平面的法向量；而与都是与平面平行的向量；
故答案为：②③
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；
（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【详解】
（1）证明：
在正方形中，，因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，平面平面，
所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以
因为，所以平面．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，设，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
［方法二］：定义法
如图2，因为平面，，所以平面．
在平面中，设．
在平面中，过P点作，交于F，连接．
因为平面平面，所以．
又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．
设，在中，易求．
由与相似，得，可得．
所以，当且仅当时等号成立．
［方法三］：等体积法
如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．
设，在三棱锥中，．
在三棱锥中，．
由得，
解得，
当且仅当时等号成立．
在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【整体点评】
（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；
方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）以线面垂直判定定理的要求去证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线与平面所成角的正弦值即可.
(1)
∵ ∴
设的中点为N，连接.
又∵M为的中点，∴，∴，∴ M，N，C，D四点共面
又
∴即为二面角的平面角，∴
又，∴ △为正三角形，∴
又，平面
∴平面.
(2)
以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，
则，，，，
∴，，
设为平面的法向量，则
即：
令，解得，则
设直线与平面所成的角为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为
20．（1）证明见解析；（2）；（3）2．
（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）求出平面CDP的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣P的正弦值．
（3）求出平面CDP的法向量，由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法能求出MD的长．
【详解】
（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，
AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），M（0，，），
＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），
设平面ACM的法向量，
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB 平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．
（3）设，（0≤λ≤1），
则，
∴，
，平面CDP的法向量，
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴| |＝＝＝，
解得λ＝，
∴．
21．(1)证明见解析；
(2)；
(3)﹒
(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面；
(2)利用向量法求得异面直线与所成的角；
(3)利用向量法求得点到平面的距离．
(1)
依题意是圆的直径，∴，
由于平面，∴，
以C为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
，
设是平面的法向量，
则，故可取．
，
设是平面的法向量，
则，故可取，
，∴平面平面．
(2)
，
设直线与直线所成角为，
则；
(3)
，平面的法向量为，
∴平面，∴到平面的距离为．
答案第1页，共2页
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