2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 499.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:49:47 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
3．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
4．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
6．下列说法正确的是（）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
7．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知直线与直线垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
9．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A． B．
C． D．
二、填空题
13．直线与垂直，则的值为_________.
14．若直线m被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于______.
15．已知直线l经过点，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为_____．
16．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
17．若函数的图象上存在两点，关于点对称，则直线的方程是______．
三、解答题
18．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
19．已知直线l过点.
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；
（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值.
20．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
21．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】
由中点坐标公式可得的中点为，
又直线的斜率，线段的垂直平分线的斜率，
所求直线的方程为：，即.
故选：B.
2．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
3．B
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
4．A
由直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】
由题意，直线的斜率，设倾斜角为，，则.
故选：A.
5．C
直接代入两点式方程，可求.
【详解】
代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
6．D
横纵截距都为的直线不可以用方程表示，可判断选项A，当时，方程
表示的是平行轴的直线，可判断选项B，倾斜角的直线方程不能写成，可判断选项C，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示，可判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】
对于选项A：横纵截距都为的直线不可以用方程表示，故选项A不正确；
对于选项B：当时，方程表示的是平行轴的直线，故选项B不正确；
对于选项C：当倾斜角时，无意义，斜率不存在，直线方程不能写成，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以直线的斜率存在，且斜率为，因此直线的方程可以写成，故选项D正确.
故选：D
7．C
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
8．D
根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.
【详解】
直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
9．D
根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
10．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
11．A
设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】
设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
12．C
为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】
为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
13．0
根据两条直线垂直，列式求解.
【详解】
由条件可知，解得：.
故答案为：0
14．
求出两平行线的距离，由这个距离和所截线段长得出直线与平行间的夹角，结合平行线的倾斜角可得直线的倾斜角．
【详解】
由两平行线间的距离为，直线m被两条平行线截得线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为.
由于两条平行线的倾斜角为，
故直线m的倾斜角为.
故答案为：.
本题考查求直线的倾斜角，考查两平行间距离公式，考查学生的分析解决问题的能力．属于基础题．
15．
设直线l与两坐标轴的交点为，，再根据点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点求解.
【详解】
设直线l与两坐标轴的交点为，，
由题意知，
，．
直线l的方程为，
即..
本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
16．
根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】
解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
本题考查直线的点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.
17．
首先根据方程形式，设出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求得两点坐标，再计算直线方程.
【详解】
根据题意，设，，
因为线段的中点是，
所以，整理得，
所以，为方程的根，解得，
所以，或，．
由两点式得直线的方程为．
故答案为：
18．（1）或；（2）或.
（1）由题可设直线在x轴上的截距，可得直线方程，结合条件即得；
（2）分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】
（1）设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
由题意可知且，
则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），
所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
19．（1）或；（2）最小值为4.
（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程；
（2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得．
【详解】
（1）当直线的截距为时，则
当截距不为时，设直线l的方程为，
把点代入可得，解得，
故直线l的方程为或.
（2）设直线l的方程为，把点P代入可得，
则，即，当，即，时取“”
故，
所以面积的最小值为.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
20．（1）；（2）；（3）；（4）
（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】
（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
21．（1）；（2）.
（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；
（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【详解】
解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，
∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴
本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
3．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
4．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
6．下列说法正确的是（）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
7．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知直线与直线垂直，则a＝（ ）
A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1
9．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为
A． B．
C． D．
二、填空题
13．直线与垂直，则的值为_________.
14．若直线m被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于______.
15．已知直线l经过点，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为_____．
16．已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的点斜式方程为________．
17．若函数的图象上存在两点，关于点对称，则直线的方程是______．
三、解答题
18．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
19．已知直线l过点.
（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l方程；
（2）若直线l交x轴正半轴，y轴正半轴分别于A，B两点，求面积的最小值.
20．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
21．已知三角形的三个顶点A( 5，0)，B(3， 3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可．
【详解】
由中点坐标公式可得的中点为，
又直线的斜率，线段的垂直平分线的斜率，
所求直线的方程为：，即.
故选：B.
2．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
3．B
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
4．A
由直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】
由题意，直线的斜率，设倾斜角为，，则.
故选：A.
5．C
直接代入两点式方程，可求.
【详解】
代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
6．D
横纵截距都为的直线不可以用方程表示，可判断选项A，当时，方程
表示的是平行轴的直线，可判断选项B，倾斜角的直线方程不能写成，可判断选项C，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示，可判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】
对于选项A：横纵截距都为的直线不可以用方程表示，故选项A不正确；
对于选项B：当时，方程表示的是平行轴的直线，故选项B不正确；
对于选项C：当倾斜角时，无意义，斜率不存在，直线方程不能写成，故选项C不正确；
对于选项D：因为，所以直线的斜率存在，且斜率为，因此直线的方程可以写成，故选项D正确.
故选：D
7．C
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
8．D
根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.
【详解】
直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
9．D
根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.
【详解】
将代入得，
将代入得，
所以A，B不在直线l上，
又上，
所以点p在线段AB上，
直线AB的方程为：，
由，解得，
直线方程，即为，
设直线的倾斜角为，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
即，
因为，
所以，
故选：D
关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解.
10．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
11．A
设的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得点的坐标.
【详解】
设，因为，，
由重心坐标公式得重心为，
代入欧拉线方程得： ①
的中点为，，
所以的中垂线方程为，
联立，解得
所以的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，、重合，舍去，
所以顶点的坐标是
故选：A.
本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
12．C
为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.
【详解】
为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选C.
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
13．0
根据两条直线垂直，列式求解.
【详解】
由条件可知，解得：.
故答案为：0
14．
求出两平行线的距离，由这个距离和所截线段长得出直线与平行间的夹角，结合平行线的倾斜角可得直线的倾斜角．
【详解】
由两平行线间的距离为，直线m被两条平行线截得线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为.
由于两条平行线的倾斜角为，
故直线m的倾斜角为.
故答案为：.
本题考查求直线的倾斜角，考查两平行间距离公式，考查学生的分析解决问题的能力．属于基础题．
15．
设直线l与两坐标轴的交点为，，再根据点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点求解.
【详解】
设直线l与两坐标轴的交点为，，
由题意知，
，．
直线l的方程为，
即..
本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.
16．
根据题意，设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，斜率为，则，由二倍角的正切公式即可求出，最后根据直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】
解：由直线，得斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
设直线的倾斜角为，斜率为，
则，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为．
故答案为：．
本题考查直线的点斜式方程的求法，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，以及二倍角的正切公式的应用，属于基础题.
17．
首先根据方程形式，设出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求得两点坐标，再计算直线方程.
【详解】
根据题意，设，，
因为线段的中点是，
所以，整理得，
所以，为方程的根，解得，
所以，或，．
由两点式得直线的方程为．
故答案为：
18．（1）或；（2）或.
（1）由题可设直线在x轴上的截距，可得直线方程，结合条件即得；
（2）分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】
（1）设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
由题意可知且，
则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），
所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
19．（1）或；（2）最小值为4.
（1）当直线的截距为时，直接求解；当截距不为时， 设直线方程的截距式：设直线l的方程为，将点代入，解出即得直线方程；
（2）同样设直线l的方程为，问题变为已知，要求的最小值，把已知条件利用基本不等式即得．
【详解】
（1）当直线的截距为时，则
当截距不为时，设直线l的方程为，
把点代入可得，解得，
故直线l的方程为或.
（2）设直线l的方程为，把点P代入可得，
则，即，当，即，时取“”
故，
所以面积的最小值为.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
20．（1）；（2）；（3）；（4）
（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】
（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
21．（1）；（2）.
（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；
（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【详解】
解：(1)∵ B(3， 3)，C(0，2)，
∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A( 5，0)，∴点A到直线BC的距离为：
∵ B(3， 3)，C(0，2)，∴
∴
本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
答案第1页，共2页
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