2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 644.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:50:31 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
5．两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A．8 B．－8
C．9 D．－9
7．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．直线上与点的距离等于的点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
10．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
11．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A． B． C．2 D．3
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为__________．
14．在同一平面内，已知直线和直线，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．
15．已知中，，，点C在直线上，若的面积为10，则点C的坐标为______.
16．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.
三、解答题
17．已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是．
（1）求的值；
（2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程．
18．求点到直线的距离．
19．已知直线.
（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.
20．已知三角形的顶点为，，.
（1）求直线的方程；
（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.
①求点关于直线的对称点的坐标.
②若直线过点且与直线交于点，，求直线的方程.
21．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
2．A
由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得．
【详解】
由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为，
代入可得，此时没有两条直线重合．
故选：A.
3．B
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
4．D
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
5．B
先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
故选：B.
6．A
由x=－1，y=－2是方程2x＋3y＋a＝0与方程bx－y－1＝0的公共解求解.
【详解】
由题意得，
解得，
所以ab＝8.
故选：A
7．D
利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
8．C
设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案.
【详解】
设所求点的坐标为，有，且，
两式联立解得或.
故选：C
9．B
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
10．C
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
11．B
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
12．D
求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】
解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
13．
化简直线为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
14．或
由直线平行可设，根据距离之比即可得关于的方程，从而可求出直线l的方程.
【详解】
解：由题意知，直线的方程可转化为．易知，
所以可设直线l的方程为（且）．
由题意，可得，解得或．
故直线l的方程为或，
即或．
故答案为: 或.
本题考查了直线间的距离公式，属于基础题.设出适合的直线方程是解本题的关键.
15．或
求出的距离，利用三角形的面积求出到直线的距离，求出的方程，结合点在直线上，利用点到直线的距离公式求出的坐标.
【详解】
设点到直线的距离为，
由题意知：，
，
直线的方程为，即，
点在直线上，
设，
，
或，
的坐标为或，故答案为或.
本题主要考查点到直线距离公式以及直线的两点式方程的应用，意在考查计算能力以及函数与方程思想的应用，属于中档题.
16．和
先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为，求得该直线与直线所成角，然后结合直线的倾斜角为求解即可.
【详解】
解：由两平行直线的距离公式可得：
直线与的距离为，
又直线被两平行线与所截得的线段的长为，
即该直线与直线所成角，
又直线的倾斜角为，
则该直线的倾斜角大小为和，
故答案为：和.
本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.
17．（1）；（2）或．
（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：（1）即，
与的距离．
．
，．
（2）直线与的交点，由：，解得所以交点坐标．
当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：．
点到直线的距离为3，
可得：，
解得，
所求直线方程．
当直线的斜率不存在时，，满足题意．
所求直线方程为：或．
本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力，属于中档题．
18．
直接利用距离公式计算可得；
【详解】
解：点到直线的距离
19．（1）；（2）；（3）.
（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.
（2）根据直线，令得，再求解.
（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.
【详解】
（1）因为直线，
所以，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
解得.
（2）因为直线，
令得，，
解得.
（3）因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线，
两平行直线与之间的距离 .
本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）；（2）① ；②或.
(1)由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即直线的方程为：；
（2）问题①：
设的坐标为，则
解得:
点的坐标是；
问题②：
设的坐标为，
，
，
解得：或，
的坐标为或，
直线的方程为或.
方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
21．水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解.
【详解】
解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
5．两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A．8 B．－8
C．9 D．－9
7．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．直线上与点的距离等于的点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
10．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
11．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A． B． C．2 D．3
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为__________．
14．在同一平面内，已知直线和直线，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．
15．已知中，，，点C在直线上，若的面积为10，则点C的坐标为______.
16．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.
三、解答题
17．已知三条直线：，直线：和：，且与之间的距离是．
（1）求的值；
（2）求经过直线与的交点，且与点的距离为3的直线的方程．
18．求点到直线的距离．
19．已知直线.
（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；
（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.
20．已知三角形的顶点为，，.
（1）求直线的方程；
（2）从①、②这两个问题中选择一个作答.
①求点关于直线的对称点的坐标.
②若直线过点且与直线交于点，，求直线的方程.
21．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
2．A
由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得．
【详解】
由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为，
代入可得，此时没有两条直线重合．
故选：A.
3．B
直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】
点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
4．D
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
5．B
先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为：.
故选：B.
6．A
由x=－1，y=－2是方程2x＋3y＋a＝0与方程bx－y－1＝0的公共解求解.
【详解】
由题意得，
解得，
所以ab＝8.
故选：A
7．D
利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
8．C
设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案.
【详解】
设所求点的坐标为，有，且，
两式联立解得或.
故选：C
9．B
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
10．C
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】
设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
11．B
直接代入点到直线距离公式，即可得解.
【详解】
根据距离公式可得：
点到直线的距离，
故选：B.
12．D
求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】
解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
13．
化简直线为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
14．或
由直线平行可设，根据距离之比即可得关于的方程，从而可求出直线l的方程.
【详解】
解：由题意知，直线的方程可转化为．易知，
所以可设直线l的方程为（且）．
由题意，可得，解得或．
故直线l的方程为或，
即或．
故答案为: 或.
本题考查了直线间的距离公式，属于基础题.设出适合的直线方程是解本题的关键.
15．或
求出的距离，利用三角形的面积求出到直线的距离，求出的方程，结合点在直线上，利用点到直线的距离公式求出的坐标.
【详解】
设点到直线的距离为，
由题意知：，
，
直线的方程为，即，
点在直线上，
设，
，
或，
的坐标为或，故答案为或.
本题主要考查点到直线距离公式以及直线的两点式方程的应用，意在考查计算能力以及函数与方程思想的应用，属于中档题.
16．和
先由两平行直线的距离公式得直线与的距离为，再结合直线被两平行线所截得的线段的长为，求得该直线与直线所成角，然后结合直线的倾斜角为求解即可.
【详解】
解：由两平行直线的距离公式可得：
直线与的距离为，
又直线被两平行线与所截得的线段的长为，
即该直线与直线所成角，
又直线的倾斜角为，
则该直线的倾斜角大小为和，
故答案为：和.
本题考查了两平行直线的距离公式及直线的倾斜角，重点考查了运算能力，属基础题.
17．（1）；（2）或．
（1）由与的距离是，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于的方程，解方程即可求的值；
（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
解：（1）即，
与的距离．
．
，．
（2）直线与的交点，由：，解得所以交点坐标．
当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：，即：．
点到直线的距离为3，
可得：，
解得，
所求直线方程．
当直线的斜率不存在时，，满足题意．
所求直线方程为：或．
本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力，属于中档题．
18．
直接利用距离公式计算可得；
【详解】
解：点到直线的距离
19．（1）；（2）；（3）.
（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.
（2）根据直线，令得，再求解.
（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.
【详解】
（1）因为直线，
所以，
又因为直线的倾斜角为，
所以，
解得.
（2）因为直线，
令得，，
解得.
（3）因为直线与直线平行，
所以，解得，
所以直线，
两平行直线与之间的距离 .
本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）；（2）① ；②或.
(1)由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程；
(2)选①由对称点的性质即可求出；
选②设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程.
【详解】
解：（1）因为直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
即直线的方程为：；
（2）问题①：
设的坐标为，则
解得:
点的坐标是；
问题②：
设的坐标为，
，
，
解得：或，
的坐标为或，
直线的方程为或.
方法点睛：求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
21．水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解.
【详解】
解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.
答案第1页，共2页
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