3.1椭圆 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 868.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-08 08:54:37 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1椭圆 同步练习
一、单选题
1．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A． B． C．± D．±
7．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
9．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
12．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
13．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
14．已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
16．椭圆两焦点之间的距离为______.
17．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的左 右焦点分别为，，点A在椭圆E上且在第一象限内，，直线与椭圆E相交于另一点B.求的周长.
20．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆：（）经过点，椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，，分别与直线分别交于，，记点，的纵坐标分别为，，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先由椭圆方程求出，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】
由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
2．A
由椭圆方程判断出焦点位置，求出，从而可得答案.
【详解】
因为椭圆的标准方程为，
所以其焦点在轴上，且，
则，
所以椭圆的焦点坐标是，
故选：A.
3．B
利用离心率与、的关系即可获解
【详解】
，得，得，即．
故选：B
4．B
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
5．C
由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案.
【详解】
解：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；
反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则
所以“”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件
故选：C
此题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题.
6．C
根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】
解：因为直线与椭圆相切，
所以已知直线与椭圆有且只有一个交点，
所以联立方程消去并整理，得，
所以，解得：.
故选：C
7．B
根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】
由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
8．C
依题意可得，根据等差中项的性质可得，即可求出、，从而求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上即可得到，再表示出根据二次函数的性质求出的最大值；
【详解】
解：焦点在轴上的椭圆．所以，
又，2，，成等差数列，所以，联立解得，所以椭圆方程为，左焦点，右顶点，
设，则，所以，
，
，
时．
故选：C．
9．A
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
10．D
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
11．C
由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】
解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
12．A
根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【详解】
解：由已知可得，得，
根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即
如图所示：，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.
13．C
设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
【详解】
解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0），
且∠F1PF2是钝角 （x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20
x2+5+y2＜10 x2+4（1﹣）＜5 x2＜．所以．
故选：C．
结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角．
14．D
根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由为的边的中线，可得，
由在椭圆上存在点满足，可得.
当椭圆的焦点在横轴上时，
，可得，即，
则，所以.
当椭圆的焦点在纵轴上时，
，可得，即，
则，所以.
故选：D
关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.
15．C
先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.
【详解】
由题得.
设，由题得，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
16．
求出椭圆的焦距即可.
【详解】
由题得.
故答案为：.
本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．9
根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】
∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
18．12
根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.
【详解】
由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
19．
根据椭圆方程，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长即可.
【详解】
设椭圆E：的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，.
∴的周长为.
20．（1）；（2）证明见解析，（0，2）.
（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.
【详解】
（1）由题意知，，∴
椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因为，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直线为：.
所以直线l过定点（0，2）.
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.
21．（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
（1）由椭圆所过点及离心率，列方程组，再求解即得；
（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；
（3）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理求得，，再结合为等边三角形的条件即可作答.
【详解】
（1）显然，半焦距c有，即，则，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，，，由(1)知，，
两式相减得，即，而弦的中点，则有，
所以；
（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知，设直线的方程为，
由得：，则，，
于是得，从而得点，，
因为等边三角形，即有，，
因此，，，
从而得，整理得，无解，
所以在y轴上不存在点，使得为等边三角形.
22．（1）；（2）12.
（1）代入点，结合，联立即得解；
（2）分别利用的坐标表示直线方程，然后表示，的纵坐标分别为，，借助韦达定理即得解
【详解】
（1）椭圆：（）过点且离心率
则所以，故椭圆的方程为.
（2）
直线的方程为，，
，得.
所以，
直线方程为：，令
直线方程为：，令
所以
即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C．4 D．
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左 右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（ ）
A． B． C．± D．±
7．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
9．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
12．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
13．椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
14．已知，分别是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
16．椭圆两焦点之间的距离为______.
17．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的左 右焦点分别为，，点A在椭圆E上且在第一象限内，，直线与椭圆E相交于另一点B.求的周长.
20．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆：（）经过点，椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，，分别与直线分别交于，，记点，的纵坐标分别为，，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
先由椭圆方程求出，再利用椭圆的定义进行求解.
【详解】
由椭圆，得：，
由题意可得的周长为:
.
故选：D.
2．A
由椭圆方程判断出焦点位置，求出，从而可得答案.
【详解】
因为椭圆的标准方程为，
所以其焦点在轴上，且，
则，
所以椭圆的焦点坐标是，
故选：A.
3．B
利用离心率与、的关系即可获解
【详解】
，得，得，即．
故选：B
4．B
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
5．C
由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案.
【详解】
解：若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；
反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则
所以“”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件
故选：C
此题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题.
6．C
根据题意，联立直线与椭圆方程，整理得，再根据，从而求出斜率的值.
【详解】
解：因为直线与椭圆相切，
所以已知直线与椭圆有且只有一个交点，
所以联立方程消去并整理，得，
所以，解得：.
故选：C
7．B
根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】
由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
8．C
依题意可得，根据等差中项的性质可得，即可求出、，从而求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上即可得到，再表示出根据二次函数的性质求出的最大值；
【详解】
解：焦点在轴上的椭圆．所以，
又，2，，成等差数列，所以，联立解得，所以椭圆方程为，左焦点，右顶点，
设，则，所以，
，
，
时．
故选：C．
9．A
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
10．D
根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.
【详解】
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
11．C
由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】
解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
12．A
根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【详解】
解：由已知可得，得，
根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即
如图所示：，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.
13．C
设P（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22代入P坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围．
【详解】
解：设P（x，y），由椭圆方程得椭圆焦点坐标为为F1（﹣，0），F2（，0），
且∠F1PF2是钝角 （x+）2+y2+（x﹣）2+y2＜20
x2+5+y2＜10 x2+4（1﹣）＜5 x2＜．所以．
故选：C．
结论点睛：本题考查椭圆的标准方程的应用，中，为锐角，为直角，为钝角．
14．D
根据平面向量加法的几何意义，结合椭圆的范围、离心率的公式进行求解即可.
【详解】
由为的边的中线，可得，
由在椭圆上存在点满足，可得.
当椭圆的焦点在横轴上时，
，可得，即，
则，所以.
当椭圆的焦点在纵轴上时，
，可得，即，
则，所以.
故选：D
关键点睛：利用平面向量加法的几何意义得到是解题的关键，椭圆的范围也是一个重要隐含条件.
15．C
先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.
【详解】
由题得.
设，由题得，
所以，
两式相减得，
所以，
所以，
所以.
故选：C
本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
16．
求出椭圆的焦距即可.
【详解】
由题得.
故答案为：.
本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．9
根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】
∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
18．12
根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.
【详解】
由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
19．
根据椭圆方程，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长即可.
【详解】
设椭圆E：的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，.
∴的周长为.
20．（1）；（2）证明见解析，（0，2）.
（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.
【详解】
（1）由题意知，，∴
椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因为，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直线为：.
所以直线l过定点（0，2）.
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.
21．（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.
（1）由椭圆所过点及离心率，列方程组，再求解即得；
（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；
（3）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理求得，，再结合为等边三角形的条件即可作答.
【详解】
（1）显然，半焦距c有，即，则，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，，，由(1)知，，
两式相减得，即，而弦的中点，则有，
所以；
（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知，设直线的方程为，
由得：，则，，
于是得，从而得点，，
因为等边三角形，即有，，
因此，，，
从而得，整理得，无解，
所以在y轴上不存在点，使得为等边三角形.
22．（1）；（2）12.
（1）代入点，结合，联立即得解；
（2）分别利用的坐标表示直线方程，然后表示，的纵坐标分别为，，借助韦达定理即得解
【详解】
（1）椭圆：（）过点且离心率
则所以，故椭圆的方程为.
（2）
直线的方程为，，
，得.
所以，
直线方程为：，令
直线方程为：，令
所以
即.
答案第1页，共2页
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