4.3指数函数与对数函数的关系 教案

指数函数与对数函数的关系
教学重难点 教学目标 核心素养
反函数 了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系 数学抽象
指数、对数函数的图像与性质的应用 利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题 数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、新知初探
探究点1：
求反函数
例1：写出下列函数的反函数：
（1）y＝lgx；（2）y＝5x＋1；（3）y＝（）x；（4）y＝x2（x≤0）．
解：（1）y＝lgx的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x．
（2）由y＝5x＋1，得x＝，所以反函数为y＝（x∈R）．
（3）y＝（）x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx（x＞0）．
（4）由y＝x2得x＝±．
因为x≤0，所以x＝－．所以反函数为y＝－（x≥0）．
规律方法：
求反函数的一般步骤：
（1）求值域：由函数y＝f（x）求y的范围．
（2）解出x：由y＝f（x）解出x＝f－1（y）．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
（3）得反函数：将x，y互换得y＝f－1（x），注意定义域．
探究点2：
互为反函数的性质应用
例2：已知函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像过点（1，4），其反函数的图像过点（2，0），求a，b的值．
解：因为y＝ax＋b的图像过点（1，4），所以a＋b＝4．①
又因为y＝ax＋b的反函数图像过点（2，0），
所以点（0，2）在原函数y＝ax＋b的图像上．
所以a0＋b＝2．②
联立①②得a＝3，b＝1．
规律方法：
互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点（a，b）在函数y＝f（x）的图像上，则点（b，a）必在其反函数y＝f－1（x）的图像上．
探究点3：
指数、对数函数图像与性质的应用
例3：设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3．
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A（a，b），B（b，a）．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3（A点坐标代入），
或a＝－b＋3（B点坐标代入），故a＋b＝3．
规律方法：
形如ax＋kx＝b（a＞0且a≠0）或logax＋kx＝b（a＞0且a≠1）的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．
二、课堂总结
1．一般地，如果在函数y＝f（x）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f（x）的反函数．
2．一般地，函数y＝f（x）的反函数记作y＝f－1（x）．y＝f（x）的定义域与y＝f－1（x）的值域相同，y＝f（x）的值域与y＝f－1（x）的定义域相同，y＝f（x）与y＝f－1（x）的图像关于直线y＝x对称．
3．如果y＝f（x）是单调函数，那么它的反函数一定存在．如果y＝f（x）是增函数，则y＝f－1（x）也是增函数；如果y＝f（x）是减函数，则y＝f－1（x）也是减函数．
三、课堂检测
1．函数y＝logx（x＞0）的反函数是（　　）
A．y＝x，x＞0 B．y＝，x∈R
C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R
解析：选B．互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同．
2．若函数f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）等于（　　）
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
解析：选A．y＝ax的反函数f（x）＝logax，则1＝loga2，所以a＝2．所以f（x）＝log2x．
3．已知函数y＝ax与y＝logax（a＞0且a≠1），下列说法不正确的是（　　）
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像
解析：选D．由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确．
4．已知y＝的反函数为y＝f（x），若f（x0）＝－，则x0等于（　　）
A．－2 B．－1
C．2 D．
解析：选C．y＝的反函数是f（x）＝logx，所以f（x0）＝logx0＝－．
所以x0＝＝－＝2．
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