4.3指数函数与对数函数的关系 课件（共53张PPT）

(共53张PPT)
指数函数与对数函数的关系
1.反函数的定义
(1)定义：如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.
(2)记法：y=f-1(x).
【思考】
函数f(x)=有反函数吗？为什么？
提示：没有.若令y=f(x)=1，则x=±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义.
2.反函数的求法
对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y得到.
【思考】
什么样的函数一定有反函数？
提示：单调函数.
3.函数与其反函数的性质的关系
(1)图像：关于直线y=x对称；
(2)定义域、值域：原函数的定义域与其反函数的值域相同；原函数的值域与其反函数的定义域相同.
(3)单调性：原函数与其反函数的单调性相同.
【思考】
在不求反函数解析式的情况下，怎样求反函数的定义域、值域？
提示：分别求原函数的值域、定义域.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)一定有反函数. (　　)
(2)反比例函数y= (x≠0)一定有反函数. (　　)
(3)点(1，0)一定在指数函数y=ax反函数的图像上. (　　)
提示：(1)√.一次函数y=kx+b(k≠0)一定是单调函数，因此一定有反函数.
(2)√.对应值域中的任意一个y，x= 是唯一的，符合反函数的定义.
(3)√. 指数函数y=ax的反函数是对数函数，对数函数一定过点(1，0).
2.函数y=x的反函数是(　　)
A.y=-x　　　 B.y=3-x
C.y=3x D.y=-3x
【解析】选C.因为函数y=x，x>0，所以x=3y；
交换x，y的位置，得y=3x，
所以函数y=x的反函数是y=3x.
3.若函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)，则f-1(1)
=________.
【解析】令2x=1，则x=0，所以f-1(1)=0.
答案：0
类型一　判断函数是否有反函数
【典例】1.下列函数中，存在反函数的是(　　)
2.判断下列函数是否有反函数.
(1)f(x)= ；(2)g(x)=-2x.
【思维·引】根据反函数的定义判断.
【解析】1.选D.因为f(x)=1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；
因为g(x)=1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，
因此g(x)的反函数不存在；
因为h(x)=2时，x=2或x=5，即对应的x不唯一，
因此h(x)的反函数不存在；
因为l(x)的值域{-2，-1，0，3，4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在.
2.(1)令y=f(x)，因为y= ，是由反比例函数
y= 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在
(-∞，1)，(1，+∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.(2)令g(x)=3，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在.
【内化·悟】
怎样说明函数的反函数不存在？
提示：选取值域中的一个值y，求出对应的自变量的值x，当自变量的值不唯一时，函数的反函数不存在.
【类题·通】
判定函数存在反函数的方法
(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在.
(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在.
(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在.
【习练·破】
判断下列函数是否存在反函数.
(1)y= -2.
(2)y=-2+4x，x∈(1，+∞).
【解析】(1)y= -2是由函数y= 向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(-∞，-1)，(-1，+∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.
(2)y=-2+4x=-+2，对称轴为x=1，在(1，+∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.
【加练·固】
判断函数y=|x|的反函数是否存在.
【解析】y=1，即|x|=1，解得x=±1，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
类型二　求函数的反函数
【典例】1.函数y= +1(x≥1)的反函数是(　　)
A.y=-2x+2(x<1) B.y=-2x+2(x≥1)
C.y=-2x(x<1) D.y=-2x(x≥1)
2.函数f(x)= 的反函数是(　　)
【思维·引】按照求反函数的步骤求反函数.
【解析】1.选B.因为y= +1(x≥1)，所以y≥1，
对调其中的x和y，得x= +1，
解得y=-2x+2(x≥1).
2.选B.令y=f(x)=
当x≥0时，y=2x≥0，对调其中的x和y，
得x=2y，解得y= ，所以f-1(x)= ，x≥0；
当x<0时，y=-<0，对调其中的x和y，
得x=-，解得y=- ，
所以f-1(x)=- ，x<0.
综上，其反函数f-1(x)=
【内化·悟】
对调x，y后，求x时应注意什么？
提示：要注意x的范围.
【类题·通】
反函数的求法
(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域.
(2)对调原函数解析式中的x和y，解出y.
(3)写出反函数.
【习练·破】
函数f(x)= 的反函数f-1(x)=________.
【解析】令y= ，对调其中的x和y，
得x= ，解得y=+1，
函数f(x)的反函数为f-1(x)=+1.
答案：+1
【加练·固】
函数f(x)=(x≤-1)的反函数是f-1(x)=________.
【解析】令f(x)=y=(x≤-1)，则x=- ，y≥1，
x，y互换，得反函数f-1(x)=- ，x≥1.
答案：- ，x≥1
类型三　原函数与其反函数性质的应用
角度1　求值
【典例】若函数f(x)= ，则f-1(2)的值为 (　　)
A.5　　　　B.-5　　　　C. 　　　D. 4
【思维·引】反函数的自变量值即原函数的函数值.
【解析】选B.令 =2，所以x=-5，所以f-1(2)=-5.
【素养·探】
在利用反函数求值的过程中，常常用到核心素养中的逻辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值域之间的关系灵活求值，不用求出反函数.
本例的条件不变，试求f(f-1(2))，你能得出一个一般的结论吗？类比过程，你能直接求出f-1(f(2))吗？
【解析】f(f-1(2))=f(-5)= =2，
因为f(x)=1- ≠1，
可以得出f(f-1(x))=x，x≠1.
类比过程，f-1(f(2))=2.
角度2　求点
【典例】函数f(x)=(x-1)(a>0，a≠1)的反函数的图像过定点(　　)
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，3) D.(3，0)
【思维·引】利用原函数与反函数的图像关于y=x对称求点.
【解析】选A.函数f(x)=(x-1)恒过(2，0)，函数和它的反函数关于y=x对称，
那么(2，0)关于y=x的对称点是(0，2)，
即(0，2)为反函数图像上的定点.
【类题·通】
1.定义域、值域关系的应用
原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数.
2.图像的应用
原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x对称，点P(x，y)关于y=x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值.
【习练·破】
1.设函数f(x)=2lg(2x-1)，则f-1(0)的值为 (　　)
A.0 B.1
C.10 D.不存在
【解析】选B.令f(x)=0得：
2lg(2x-1)=0 x=1，所以f-1(0)=1.
2.设函数f(x)=(x+b)(a>0，a≠1)的图像过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，则a+b等于 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】选C.函数f(x)=(x+b)(a>0，a≠1)的
图像过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，
则
所以 a=3或a=-2(舍)，b=1，所以a+b=4.
【加练·固】
设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数
f-1(x)，若f(4)=0，则f-1(4)=(　　)
A.0　　　　B.4　　　　C.-2　　　　D.2
【解析】选C.根据题意可知点(4，0)在函数f(x)的图像上，结合图像的对称性，可知点(-2，4)在函数的图像上，所以有f(-2)=4，所以有f-1(4)=-2.
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