第 15 讲 带电粒子在复合场中的运动
知识点一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若 v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若 v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：(v⊥B)
典例分析
【例 1】两个电荷量相等的带电粒子，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．下列说法中
正确的是( )
A．若它们的运动周期相等，则它们的质量相等
B．若它们的运动周期相等，则它们的速度大小相等
C．若它们的轨迹半径相等，则它们的质量相等
D．若它们的轨迹半径相等，则它们的速度大小相等
举一反三
【变式训练 1】如图所示，在 x轴上方存在磁感，应强度为 B的匀强磁场，一个电子(质量为 m，电荷量为 q)
从 x轴上的 O点以速度 v 斜向上射入磁场中，速度方向与 x轴的夹角为 45°并与磁场方向垂直．电子在磁场
中运动一段时间后，从 x轴上的 P点射出磁场．则( )
A πm πm．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为
2qB qB
C．O P 2mv D 2mv、 两点间的距离为 ．O、P两点间的距离为
qB qB
1
4. “圆心”、“半径”、“运动时间”的确定
（1）“圆心”的确定
①已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的
直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)．
典例分析
【例 2】如图 1 所示，一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P（ a，0）点以速度 v，沿与 x 正方
向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强
度 B 和射出点的坐标。
【例 3】如图 3 所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向向里。一带正电荷
量为 q 的粒子，质量为 m，从 O 点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与 x、y 轴的交点 A、C 到 O 点的距
离分别为 a、b。试求：（1）初速度方向与 x轴夹角；（2）初速度的大小。
图 3
2
【例 4】如图 5所示，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B。在匀强磁场中做匀速圆周运动的一个
电子，动量为 P，电量为 e，在 A、C点，所受洛仑兹力的方向如图示，已知 AC＝d。求电子从 A到 C时
发生的偏转角。
图 5
【例 5】如图 7 所示，在 y 0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xOy 平面并指向纸面外，磁感应强
度为 B。一带正电的粒子以速度 v0从 O 点射入磁场，入射方向在 xy 平面内，与 x 轴正方向的夹角为 。若
粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L，求该粒子的电量和质量之比 q/m。
图 7
3
⑤带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
Ⅰ 直线边界(进出磁场具有对称性，如下图所示)
Ⅱ 平行边界(存在临界条件，如下图所示)
Ⅲ 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如右图所示)
（2）“半径”的确定
半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特
点：
①粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于 AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的
2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
②直角三角形的应用(勾股定理)．找到 AB的中点 C，连接 OC，则△AOC、△
BOC都是直角三角形．
（3）“运动时间”的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t α＝ T( t α T) t l或 ＝ ， ＝ (l为弧长)．
360° 2π v
【例 6】如图所示，在 xOy 平面内，y≥0 的区域有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，一质
量为 m、电荷量大小为 q 的粒子从原点 O 沿与 x 轴正方向成 60°角方向以速度 v0射入，粒子的重力不计，
求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置．
4
6.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般
包含下述几个方面．
（1）带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中
运动轨迹不同，导致多解．
如图所示，带电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，
若带正电，其轨迹为 a，若带负电，其轨迹为 b.
（2）磁场方向不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方
向不确定而导致的多解．
如图所示，带正电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，
若 B垂直纸面向里，其轨迹为 a，
若 B垂直纸面向外，其轨迹为 b.
（3）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，
因此，它可能穿过去了，也可能转过 180°从入射面边界反向飞出，
如图所示，于是形成了多解．
（4）运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，
从而形成多解．如右图所示．
（5）磁场周期性变化形成多解
带电粒子在磁感应强度周期性变化的磁场中运动时，运动往往具有往复性和周期性，从而形成多解．
5
【例 8】一圆筒的横截面如图所示，其圆心为 O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.圆筒
下面有相距为 d的平行金属板 M、N，其中 M板带正电荷，N板带等量负电荷．质量为 m、电荷量为 q的
带正电粒子自 M板边缘的 P处由静止释放，经 N板的小孔 S以速度 v沿半径 SO方向射入磁场中．粒子与
圆筒发生两次碰撞后仍从 S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计
重力的情况下，求：
(1)M、N间电场强度 E的大小；
(2)圆筒的半径 R；
(3) 2保持 M、N间电场强度 E不变，仅将 M板向上平移 d，粒子仍从 M板边缘的 P处由静止释放，粒子自
3
进入圆筒至从 S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数 n.
6
知识点二、带电粒子在磁场中的运动的应用
1．质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、匀强磁场和照相底片等构成．
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式
qU 1＝ mv2.
2
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿
v2
第二定律得关系式 qvB＝m .
r
由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比
荷．
r 1 2mU
2 2
＝ ，m qr B q 2U＝ ， ＝ .
B q 2U m B2r2
2.回旋加速器
(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过 D形盒
mv2 q2B2R2
缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会一次一次地加速，由 qvB＝ ，得 Ekm＝ ，可见粒
R 2m
子获得的最大动能由磁感应强度 B和 D形盒半径 R决定，与加速电压无关.
典例分析
【例 9】如图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相
互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B和 E．平板 S上有可让粒子通过的狭缝 P和记录粒子位置的
胶片 A1A2．平板 S下方有强度为 B0的匀强磁场．下列表述正确的是（ ）
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝 P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P，粒子的荷质比越小
7
【例 10】回旋加速器是加速带电粒子的装置，其主体部分是两个 D形金属盒．两金属盒处在垂直于盒底的
匀强磁场中，a、b分别与高频交流电源两极相连接，下列说法正确的是( )
A.离子从磁场中获得能量
B.带电粒子的运动周期是变化的
C.离子由加速器的中心附近进入加速器
D.增大金属盒的半径，粒子射出时的动能不变
知识点三、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为
如下四种情况：
①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁
场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运
动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同
的运动阶段组成．
8
3.带电粒子在复合场中的运动实例
装置 原理图 规律
速度选择
若 qv0B＝Eq E，即 v0＝ ，粒子做匀速直线运动
器 B
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负
磁流体发
电机 电，两极电压为 U
U
时稳定，q ＝qv0B，U＝v0Bd
d
电磁流量 Uq＝qvB U πDU所以 v＝ 所以 Q＝vS＝
计 D DB 4B
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流
霍尔效应
方向都垂直的方向上出现电势差
4.带电粒子在复合场中运动的分析思路
（1）带电粒子在复合场中运动的分析思路
（2）带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点
①受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
②运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的
条件．
③构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
9
典例分析
【例 11】某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图甲中由 B到 C的方向)，电
场变化如图乙中 E－t图象，磁感应强度变化如图丙中 B－t图象．在 A点，从 t＝1 s(即 1 s末)开始，每隔 2
s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿 AB方向(垂直于 BC)以速度 v 射出，恰能击中 C点，若 AC ＝2 BC
且粒子在 AB间运动的时间小于 1 s，求：
(1)图线上 E0和 B0的比值，磁感应强度 B的方向；
(2)若第 1个粒子击中 C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第 2个粒子击中 C点的时刻是多少？
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实战练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
1. + +（多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的离子 P 和 P3 ，经电压为 U的电场加速后，垂直进
入磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子 P+在磁
+
场中转过θ=30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子 P 和 P3+（ ）
A．在电场中的加速度之比为 1：1
B．在磁场中运动的半径之比为 ：1
C．在磁场中转过的角度之比为 1：2
D．离开电场区域时的动能之比为 1：3
2. （多选）（2016 上饶校级二模）如图所示，MN是纸面内的一条直线，其所在空间充满与纸面平行的匀
强电场或与纸面垂直的匀强磁场（场区都足够大），现有一个重力不计的带电粒子从MN上的 O点以水平初
速度 v0射入场区，下列判断正确的是（ ）
A．如果粒子回到MN上时速度增大，则该空间存在的场一定是电场
B．如果粒子回到MN上时速度大小不变，则该空间存在的场可能是电场
C．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到MN上时与其所成的锐角夹角不变，则该空间存在的场一
定是磁场
D．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到MN上所用的时间不变，则该空间存在的场一定是磁场
3. （多选）如图所示，a、b是一对平行的金属板，分别接到直流电源的两极上，右边有一挡板，正中间开
有一小孔 d，在较大范围内存在着匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，方向垂直纸面向里，且在 a、b两板
间还存在着匀强电场，从两板左侧中点 C处射入一束正离子，这些正离子都沿直线运动到右侧，从 d孔中
射出后分成三束，则这些正离子的（ ）
A．从 d点射出的速度相同 B．质量一定有三种不同的值
C．电量一定有三种不同的值 D．荷质比一定有三种不同的值
11
4. 真空中存在匀强电场和匀强磁场，电场沿图中所示的固定坐标系 Oxyz 的 z轴的正方向，磁场沿 x轴的正
方向，坐标系的 z轴竖直向上．现有一带正电荷的质点处于此电场和磁场中，在电场、磁场和重力的作用
下，（ ）
A．质点有可能沿 z轴负方向做匀速运动
B．质点有可能沿 y轴正方向做匀速运动
C．质点不可能静止不动
D．质点不可能沿 x轴正方向做匀速运动
5. 如图所示，长方形 abcd长 ad=0.6m，宽 ab=0.3m，O、e分别是 ad、bc的中点，以 ad为直径的半圆内有
垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度 B=0.25T．一群不计重力、质量 m=3 ﹣×10 7kg、电
荷量 q=+2×10﹣3C的带电粒子以速度 v=5×102m/s沿垂直 ad方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）
A．从 Od边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa边
B．从 aO边射入的粒子，出射点全部分布在 ab边
C．从 Od边射入的粒子，出射点分布在 Oa边和 ab边
D．从 aO边射入的粒子，出射点分布在 ab边和 bc边
6. （多选）如图所示，一带电小球在重力和匀强电场对它的作用力作用下，从 A点沿曲线运动到 B点，已
知小球带带电量满足 qE=mg，小球的在 A点的速度与水平方向 45°，则下列结论正确的是（ ）
A．此小球带负电
B．小球做匀加速曲线运动
C．电场力对小球做的总功等于零
D．小球的速度大小变为 A点的 倍
7. 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向里．许
多质量为 m带电量为+q的粒子，以相同的速率 v沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O射入磁场区域．不计
重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中 R=mv/qB．哪个图是正
确的？（ ）
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A． B．
C． D．
8. 如图甲所示，在 y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度 B随时间 t变化的规律如图乙
所示；与 x轴平行的虚线MN下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度 E= ×103N/C．在 y轴上放置一足
够大的挡板．t=0时刻，一个带正电粒子从 P点以 v=2×104m/s的速度沿+x方向射入磁场．已知电场边界
MN到 x轴的距离为 m，P点到坐标原点 O的距离为 1.1m，粒子的比荷 =106C/kg，不计粒子的重
力．求粒子：
（1）在磁场中运动时距 x轴的最大距离；
（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间；
（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点 O的
距离．
13
9. （2016 金华校级模拟）如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面
向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为 E=2×106N/C和 B1=0.1T，极板的长度 l= m，间
距足够大．在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆
心 O位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径 R= m．有一带正电的粒子以某速度沿极板的中线水
平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了 60°，
不计粒子的重力，粒子的比荷 =2×108C/kg．
（1）求粒子沿极板的中线飞入的初速度 v0；
（2）求圆形区域磁场的磁感应强度 B2的大小；
（3）在其他条件都不变的情况下，将极板间的磁场 B1撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁
场，求圆形区域的圆心 O离极板右边缘的水平距离 d应满足的条件．
14第 15 讲 带电粒子在复合场中的运动
知识点一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若 v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若 v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：(v⊥B)
典例分析
【例 1】两个电荷量相等的带电粒子，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动．下列说法中
正确的是( )
A．若它们的运动周期相等，则它们的质量相等
B．若它们的运动周期相等，则它们的速度大小相等
C．若它们的轨迹半径相等，则它们的质量相等
D．若它们的轨迹半径相等，则它们的速度大小相等
[答案]A．
举一反三
【变式训练 1】如图所示，在 x轴上方存在磁感，应强度为 B的匀强磁场，一个电子(质量为 m，电荷量为 q)
从 x轴上的 O点以速度 v 斜向上射入磁场中，速度方向与 x轴的夹角为 45°并与磁场方向垂直．电子在磁场
中运动一段时间后，从 x轴上的 P点射出磁场．则( )
A πm．电子在磁场中运动的时间为 B πm．电子在磁场中运动的时间为
2qB qB
C O P 2mv 2mv． 、 两点间的距离为 D．O、P两点间的距离为
qB qB
[答案] AC
1
4. “圆心”、“半径”、“运动时间”的确定
（1）“圆心”的确定
①已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的
直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)．
典例分析
【例 2】如图 1 所示，一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P（ a，0）点以速度 v，沿与 x 正方
向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强
度 B 和射出点的坐标。
解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点 O即为粒子做圆运
动的圆心，由图可以看出，轨道半径为 r a 2a ①
sin 60
3
2
洛仑兹力是向心力 qBv mv ②
r
由①②解得 r 2a , B 3mv .
3 2aq
射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r,因此射出点坐标为（0， 3a）。
②已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，
作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)．
【例 3】如图 3 所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向向里。一带正电荷
量为 q 的粒子，质量为 m，从 O 点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与 x、y 轴的交点 A、C 到 O 点的距
离分别为 a、b。试求：（1）初速度方向与 x轴夹角；（2）初速度的大小。
解析：（1）粒子垂直射入磁场，在 xOy 平面内做匀速圆周运动，如图 4所示，OA、OC 是圆周上的两条弦。
2
做两条弦的垂直平分线，交点O1即为圆轨迹的圆心，以O1为圆心，OO1 ＝R为半径画圆。正电荷在O点
所受的洛仑兹力 F的方向（与初速度垂直）和粒子的初速度 v的方向（与OO1 垂直斜向上），也在图上标出。
设初速度方向与 x轴的夹角为 ，由几何关系可知，∠O1OC＝ 。在直角三角形OO1D中，有
tan (a / 2) / (b / 2) a / b arctan(a / b)
（2）由直角三角形OO1D，粒子的轨道半径
R (a / 2) 2 (b / 2) 2 图 3
图 4
粒子在磁场中运动有 qvB mv 2 / R
由上述两式可得 v qB a2 b2 /(2m)
③由两洛仑兹力的延长线定圆心
【例 4】如图 5所示，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B。在匀强磁场中做匀速圆周运动的一个
电子，动量为 P，电量为 e，在 A、C点，所受洛仑兹力的方向如图示，已知 AC＝d。求电子从 A到 C时
发生的偏转角。
解析：如图 6 所示，A、C 为圆周上的两点，做洛仑兹力的延长
线，交点O为圆周轨迹的圆心。以O为圆心做电子从 A到 C的
运动轨迹。过 A、C画出速度的方向，则 角为偏转角。设粒子
的质量为m，速度为 v，则轨迹半径R mv /(eB ) P /(eB ) 图 5
图 6
由几何关系有 sin( / 2) (d / 2)/ R
联立以上二式解得 2 arcsin[deB /(2P )]
④综合定圆心
确定圆心，还可综合运用上述方法。一条切线，一条弦的垂直平分线，一条洛仑兹力的延长线，选其中任
两条都可找出圆心。
3
【例 5】如图 7 所示，在 y 0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 xOy 平面并指向纸面外，磁感应强
度为 B。一带正电的粒子以速度 v0从 O 点射入磁场，入射方向在 xy 平面内，与 x 轴正方向的夹角为 。若
粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L，求该粒子的电量和质量之比 q/m。
解析：如图 7所示，粒子进入磁场后，受洛仑兹力的作用，做匀速圆周运动，从 A点射出磁场。OA是圆
轨迹上一条弦，初速度 v0与圆周轨迹相切。做弦的垂直平分线和初速度 v的垂线，交点O1即为圆轨迹的圆
心。以O1为圆心，以O1到入射点O的距离 R（轨道半径）画出粒子圆周运动的轨迹。
由洛仑兹力公式和牛顿定律有
qv0B mv
2
0 / R
O1是弦OA的垂直平分线上的点，由几何关系有
L / 2 图 7 R sin
联立以上二式解得 q / m 2v0 sin /( LB )
⑤带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
Ⅰ 直线边界(进出磁场具有对称性，如下图所示)
Ⅱ 平行边界(存在临界条件，如下图所示)
Ⅲ 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如右图所示)
4
（2）“半径”的确定
半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特
点：
①粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于 AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的
2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
②直角三角形的应用(勾股定理)．找到 AB的中点 C，连接 OC，则△AOC、△
BOC都是直角三角形．
（3）“运动时间”的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：
t α α＝ T(或 t＝ T)，t l＝ (l为弧长)．
360° 2π v
【例 6】如图所示，在 xOy 平面内，y≥0 的区域有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，一质
量为 m、电荷量大小为 q 的粒子从原点 O 沿与 x 轴正方向成 60°角方向以速度 v0射入，粒子的重力不计，
求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置．
【解析】 当带电粒子带正电时，轨迹如图中 OAC，对粒子，由于洛伦兹
mv 2
力提供向心力，则qBv ；
r
mv 2πm
R＝ ； T＝
Bq qB
240° 4πm
故粒子在磁场中的运动时间 t1＝ T＝
360° 3qB
C OC 2Rsin 60 3mv0粒子在 点离开磁场， ＝ °＝
qB
3mv0
－ ，0
故离开磁场的位置为 qB .
120° 2πm
当带电粒子带负电时，轨迹如图中 ODE 所示，同理求得粒子在磁场中的运动时间 t2＝ T＝
360° 3qB
E OE 2Rsin 60 3mv0 ( 3mv0粒子在 点离开磁场， ＝ °＝ ，故离开磁场时的位置为 ，0)．
qB qB
4πm 3mv0 2πm 3mv0
【答案】 (－ ，0)或 ( ，0)
3qB qB 3qB qB
5
6.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般
包含下述几个方面．
（1）带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中
运动轨迹不同，导致多解．
如图所示，带电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，
若带正电，其轨迹为 a，若带负电，其轨迹为 b.
（2）磁场方向不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方
向不确定而导致的多解．
如图所示，带正电粒子以速率 v垂直进入匀强磁场，
若 B垂直纸面向里，其轨迹为 a，
若 B垂直纸面向外，其轨迹为 b.
（3）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，
因此，它可能穿过去了，也可能转过 180°从入射面边界反向飞出，
如图所示，于是形成了多解．
（4）运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，
从而形成多解．如右图所示．
（5）磁场周期性变化形成多解
带电粒子在磁感应强度周期性变化的磁场中运动时，运动往往具有往复性和周期性，从而形成多解．
6
【例 8】一圆筒的横截面如图所示，其圆心为 O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.圆筒
下面有相距为 d的平行金属板 M、N，其中 M板带正电荷，N板带等量负电荷．质量为 m、电荷量为 q的
带正电粒子自 M板边缘的 P处由静止释放，经 N板的小孔 S以速度 v沿半径 SO方向射入磁场中．粒子与
圆筒发生两次碰撞后仍从 S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计
重力的情况下，求：
(1)M、N间电场强度 E的大小；
(2)圆筒的半径 R；
(3) 2保持 M、N间电场强度 E不变，仅将 M板向上平移 d，粒子仍从 M板边缘的 P处由静止释放，粒子自
3
进入圆筒至从 S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数 n.
[解析] (1) 1设两板间的电压为 U，由动能定理得 qU＝ mv2 ①
2
由匀强电场中电势差与电场强度的关系得 U＝Ed ②
mv2
联立上式可得 E＝ ③
2qd
(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为 O′，圆半径为 r.设第一次碰撞点为 A，由于
π
粒子与圆筒发生两次碰撞又从 S孔射出，因此，SA弧所对的圆心角∠AO′S等于 .
3
π
由几何关系得 r＝Rtan . ④
3
v2
粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，得 qvB＝m ⑤
r
3mv
联立④⑤式得 R＝ ⑥
3qB
(3)保持 M、N间电场强度 E不变，
M 2板向上平移了 d后，
3
设板间电压为 U′，U′ Ed U＝ ＝ ⑦
3 3
U′ v′2
设粒子进入 S孔时的速度 v′，由①式看出 ＝
U v2
结合⑦式可得 v′ 3＝ v ⑧
3
3mv
设粒子做圆周运动的半径为 r′，则 r′＝ ⑨
3qB
设粒子从 S π到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到 r′＝R，可见θ＝ ⑩
2
粒子须经过四个这样的圆弧才能从 S孔射出，故 n＝3.
7
mv2[ ] (1) (2) 3mv答案 (3)3
2qd 3qB
知识点二、带电粒子在磁场中的运动的应用
1．质谱仪
(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、匀强磁场和照相底片等构成．
(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式
qU 1＝ mv2.
2
粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿
2
第二定律得关系式 qvB v＝m .
r
由两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比
荷．
r 1 2mU
2 2
m qr B q 2U＝ ， ＝ ， ＝ .
B q 2U m B2r2
2.回旋加速器
(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过 D形盒
mv2 q2B2R2
缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会一次一次地加速，由 qvB＝ ，得 Ekm＝ ，可见粒
R 2m
子获得的最大动能由磁感应强度 B和 D形盒半径 R决定，与加速电压无关.
典例分析
【例 9】如图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相
互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B和 E．平板 S上有可让粒子通过的狭缝 P和记录粒子位置的
胶片 A1A2．平板 S下方有强度为 B0的匀强磁场．下列表述正确的是（ ）
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择中的磁场方向垂直纸面向外
C．能通过狭缝 P的带电粒子的速率等于
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P，粒子的荷质比越小
【答案】ABC．
8
【例 10】回旋加速器是加速带电粒子的装置，其主体部分是两个 D形金属盒．两金属盒处在垂直于盒底的
匀强磁场中，a、b分别与高频交流电源两极相连接，下列说法正确的是( )
A.离子从磁场中获得能量
B.带电粒子的运动周期是变化的
C.离子由加速器的中心附近进入加速器
D.增大金属盒的半径，粒子射出时的动能不变
[解析] 离子在回旋加速器中从电场中获得能量，带电粒子的运动周期是不变化的，选项 A、B错误；离子
由加速器的中心附近进入加速器，增大金属盒的半径，粒子射出时的动能增大，选项 C正确D错误．
[答案] C
知识点三、带电粒子在复合场中的运动
1．复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为
如下四种情况：
①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场．
2．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁
场的平面内做匀速圆周运动．
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运
动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同
的运动阶段组成．
9
3.带电粒子在复合场中的运动实例
装置 原理图 规律
速度选择 E
若 qv0B＝Eq，即 v0＝ ，粒子做匀速直线运动
器 B
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负
磁流体发
U
电机 电，两极电压为 U时稳定，q ＝qv0B，U＝v0Bd
d
电磁流量 Uq＝qvB U所以 v＝ 所以 Q＝vS πDU＝
计 D DB 4B
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流
霍尔效应
方向都垂直的方向上出现电势差
4.带电粒子在复合场中运动的分析思路
（1）带电粒子在复合场中运动的分析思路
（2）带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点
①受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．
②运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的
条件．
③构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．
10
典例分析
【例 11】某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场，电场方向向右(如图甲中由 B到 C的方向)，电
场变化如图乙中 E－t图象，磁感应强度变化如图丙中 B－t图象．在 A点，从 t＝1 s(即 1 s末)开始，每隔 2
s，有一个相同的带电粒子(重力不计)沿 AB方向(垂直于 BC)以速度 v 射出，恰能击中 C点，若 AC ＝2 BC
且粒子在 AB间运动的时间小于 1 s，求：
(1)图线上 E0和 B0的比值，磁感应强度 B的方向；
(2)若第 1个粒子击中 C点的时刻已知为(1＋Δt) s，那么第 2个粒子击中 C点的时刻是多少？
[解析] 设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为 R.在第 2 秒内只有磁场．轨道如图所示．
(1)因为 AC ＝2 BC ＝2d 所以 R＝2d.
v2 v2
第 2秒内，仅有磁场：qvB0＝m ＝m .
R 2d
3d
1 qE
第 3 秒内，仅有电场：d＝ · 0· v 2.
2 m
E
所以 0
4
＝ v0.粒子带正电，故磁场方向垂直纸面向外．
B0 3
T 1 2πm π m π 2d 3d 3 3
(2)Δt＝ ＝ × ＝ · ＝ · ，Δt′＝ ＝ Δt.
6 6 qB 3 qB 3 v v 2π
3 3
2＋ Δt
故第 2 个粒子击中 C点的时刻为 2π s.
11
实战练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
1. + +（多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的离子 P 和 P3 ，经电压为 U的电场加速后，垂直进
入磁感应强度大小为 B +、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子 P 在磁
+ +
场中转过θ=30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子 P 和 P3（ ）
A．在电场中的加速度之比为 1：1
B．在磁场中运动的半径之比为 ：1
C．在磁场中转过的角度之比为 1：2
D．离开电场区域时的动能之比为 1：3
【答案】：BCD．
2. （多选）（2016 上饶校级二模）如图所示，MN是纸面内的一条直线，其所在空间充满与纸面平行的匀
强电场或与纸面垂直的匀强磁场（场区都足够大），现有一个重力不计的带电粒子从MN上的 O点以水平初
速度 v0射入场区，下列判断正确的是（ ）
A．如果粒子回到MN上时速度增大，则该空间存在的场一定是电场
B．如果粒子回到MN上时速度大小不变，则该空间存在的场可能是电场
C．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到MN上时与其所成的锐角夹角不变，则该空间存在的场一
定是磁场
D．若只改变粒子的初速度大小，发现粒子再回到MN上所用的时间不变，则该空间存在的场一定是磁场
【答案】：ABD．
3. （多选）如图所示，a、b是一对平行的金属板，分别接到直流电源的两极上，右边有一挡板，正中间开
有一小孔 d，在较大范围内存在着匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，方向垂直纸面向里，且在 a、b两板
间还存在着匀强电场，从两板左侧中点 C处射入一束正离子，这些正离子都沿直线运动到右侧，从 d孔中
射出后分成三束，则这些正离子的（ ）
A．从 d点射出的速度相同 B．质量一定有三种不同的值
C．电量一定有三种不同的值 D．荷质比一定有三种不同的值
【答案】AD
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4. 真空中存在匀强电场和匀强磁场，电场沿图中所示的固定坐标系 Oxyz 的 z轴的正方向，磁场沿 x轴的正
方向，坐标系的 z轴竖直向上．现有一带正电荷的质点处于此电场和磁场中，在电场、磁场和重力的作用
下，（ ）
A．质点有可能沿 z轴负方向做匀速运动
B．质点有可能沿 y轴正方向做匀速运动
C．质点不可能静止不动
D．质点不可能沿 x轴正方向做匀速运动
【答案】B．
5. 如图所示，长方形 abcd长 ad=0.6m，宽 ab=0.3m，O、e分别是 ad、bc的中点，以 ad为直径的半圆内有
垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度 B=0.25T．一群不计重力、质量 m=3×10﹣7kg、电
荷量 q=+2 ﹣×10 3C的带电粒子以速度 v=5×102m/s沿垂直 ad方向且垂直于磁场射入磁场区域（ ）
A．从 Od边射入的粒子，出射点全部分布在 Oa边
B．从 aO边射入的粒子，出射点全部分布在 ab边
C．从 Od边射入的粒子，出射点分布在 Oa边和 ab边
D．从 aO边射入的粒子，出射点分布在 ab边和 bc边
【答案】D．
6. （多选）如图所示，一带电小球在重力和匀强电场对它的作用力作用下，从 A点沿曲线运动到 B点，已
知小球带带电量满足 qE=mg，小球的在 A点的速度与水平方向 45°，则下列结论正确的是（ ）
A．此小球带负电
B．小球做匀加速曲线运动
C．电场力对小球做的总功等于零
D．小球的速度大小变为 A点的 倍
【答案】BCD．
7. 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于纸面向里．许
多质量为 m带电量为+q的粒子，以相同的速率 v沿位于纸面内的各个方向，由小孔 O射入磁场区域．不计
重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中 R=mv/qB．哪个图是正
确的？（ ）
13
A． B．
C． D．
【解答】解：所有粒子在磁场中半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的
粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认
为是以O点为圆心以 2R为半径转动；则可得出符合题意的范围应为 A；故选
A．
8. 如图甲所示，在 y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度 B随时间 t变化的规律如图乙
所示；与 x轴平行的虚线MN下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度 E= ×103N/C．在 y轴上放置一足
够大的挡板．t=0时刻，一个带正电粒子从 P点以 v=2×104m/s的速度沿+x方向射入磁场．已知电场边界
MN到 x轴的距离为 m，P点到坐标原点 O的距离为 1.1m，粒子的比荷 =106C/kg，不计粒子的重
力．求粒子：
（1）在磁场中运动时距 x轴的最大距离；
（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间；
（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点 O的
距离．
【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m ，解得：R=0.2m，
粒子在磁场中运动时，到 x轴的最大距离：ym=2R=0.4m；
（2）如答图甲所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期：T= = =2π×10﹣5s，
由磁场变化规律可知，它在 0﹣ ×10﹣5s（即 0﹣ T）时间内做匀速圆周运动至 A点，
14
接着沿﹣y方向做匀速直线运动直至电场边界 C点，用时：t ﹣52= = ×10 s= ，
进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿定律得：a= = ×109m/s2，
粒子从 C点减速至D再反向加速至 C所需的时间：t3= = = ×10
﹣5s= ，
接下来，粒子沿+y 轴方向匀速运动至 A所需时间仍为 t2，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从 A
做匀速圆周运动，
再经 ×10﹣5s 的时间，粒子将运动到 F点，此后将重复前面的运动过程．所以粒子连续通过电场边界
MN有两种可能：
第一种可能是，由 C点先沿﹣y方向到 D再返回经过 C，所需时间为：t=t = ×10﹣53 s；
第二种可能是，由 C点先沿+y 方向运动至 A点开始做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿﹣y 方向做匀速直
线运动至MN，
所需时间为：t′= + + =2T=4π×10﹣5s；
（3）由上问可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向﹣x方向平移 2R（即答图甲中所示从 P点移到 F点），
=1.1m=5.5R，故粒子打在挡板前的一次运动如答图乙所示，其中 I 是粒子开始做圆周运动的起点，
J 是粒子打在挡板上的位置，K是最后一段圆周运动的圆心，Q是 I 点与 K点连线与 y轴的交点．
由题意知： = ﹣5R=0.1m， =R﹣ =0.1m= ，则： = = R，
J 点到 O的距离： =R+ R= m≈0.37m；
答：（1）在磁场中运动时距 x轴的最大距离为 0.4m；
（2）连续两次通过电场边界MN所需的时间为 ×10﹣5s 或 4π×10﹣5s；
（3）最终打在挡板上的位置到坐标原点O的距离为 0.37m．
15
9. （2016 金华校级模拟）如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面
向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为 E=2×106N/C和 B1=0.1T，极板的长度 l= m，间
距足够大．在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆
心 O位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径 R= m．有一带正电的粒子以某速度沿极板的中线水
平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了 60°，
不计粒子的重力，粒子的比荷 =2×108C/kg．
（1）求粒子沿极板的中线飞入的初速度 v0；
（2）求圆形区域磁场的磁感应强度 B2的大小；
（3）在其他条件都不变的情况下，将极板间的磁场 B1撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁
场，求圆形区域的圆心 O离极板右边缘的水平距离 d应满足的条件．
【解答】解：（1）粒子在极板间匀速直线运动，则：qvB1=qE
代入数据解得：v=2×107m/s，
（2）设粒子在圆形区域磁场中做圆周运动的半径为 r，则 ，
粒子速度方向偏转了 60°，则 r=Rcot30°，
代入数据解得：B2=0.1T
（3）撤去磁场 B1后，粒子在极板间做平抛运动，设在板间运动时间为 t，运动的加速度为 a，飞出电场时
竖直方向的速度为 vy，速度的偏转角为θ，则 qE=ma，
l=vt，vy=at， ，
代入数据，联立解得 ，即θ=30°．
设粒子飞出电场后速度恰好与圆形区域的边界相切时，圆心 O离极板右边缘的水平距离为 d，如图所示，
则 d=
代入数据解得：d= ．
所以 d （或 ）
答：（1）粒子的初速度 v为 2×107m/s；（2）圆形区域磁场的磁感应强度 B2的大小为 0.1T；
（3）圆形区域的圆心 O离极板右边缘的水平距离 d应满足的条件为 d （或 ）
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