高二期末复习（一）
知识导图
知识点 1 库仑定律的理解及其应用
1．对库仑定律的两点理解
（1）F＝kq1q2，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球心间距。
r2
（2）当两个电荷间的距离 r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
2．应用库仑定律的四条提醒
（1）在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的绝对值计算库仑力的大小。
（2）作用力的方向判断根据：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。
1
（3）两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
（4）库仑力存在极大值，由公式 F＝k q1q2可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当 q
2 1r
＝q2时，F最大。
3．“三个自由点电荷平衡”的问题
（1）平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的
电场强度矢量和为零的位置。
（2）
4．共点力作用下的平衡问题
解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤：
库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了
电场力。具体步骤如下：
5．库仑力作用下的动力学问题
解决与电场力有关的动力学问题的一般思路：
（1）选择研究对象（多为一个带电体，也可以是几个带电体组成的系统）；
（2）对研究对象进行受力分析，包括电场力、重力（电子、质子、正负离子等基本粒子在没有明确指出
或暗示时一般不计重力，带电油滴、带电小球、带电尘埃等带电体一般计重力）；
（3）分析研究对象所处的状态是平衡状态（静止或匀速直线运动）还是非平衡状态（变速运动等）；
（4）根据平衡条件或牛顿第二定律列方程求解。
方法与技巧
【例题 1】如图所示，半径相同的两个金属球 A、B带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间相互吸
引力的大小是 F。今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与 A、B两球接触后移开。这时，A、B两
球之间的相互作用力的大小是（ ）
A.F B.F C.3F D..3F
8 4 8 4
2
举一反三
1. 如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径 R，在中心处固定一电荷量
为＋Q的点电荷。一质量为 m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最
高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
知识点 2 电场强度和电场线
1．电场强度三个表达式的比较
E F E Q U＝ ＝k E＝
q r2 d
真空中点电荷电场强 匀强电场中 E与 U的
公式意义 电场强度定义式
度的决定式 关系式
适用条件 一切电场 ①真空②点电荷 匀强电场
由场源电荷 Q和场源
由电场本身决定，与 由电场本身决定，d
决定因素 电荷到该点的距离 r
q无关 为沿电场方向的距离
共同决定
矢量，遵守平行四边形定则
相同点
单位：1 N/C＝1 V/m
2．电场强度的叠加
（1）叠加原理：多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
（2）运算法则：平行四边形定则。
3．计算电场强度常用的五种方法
（1）电场叠加合成法。（2）平衡条件求解法。（3）对称法。（4）补偿法。（5）等效法。
4．电场线的三个特点
（1）电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远或负电荷处；
（2）电场线在电场中不相交；
（3）在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
3
5．六种典型电场的电场线
6．两种等量点电荷的电场
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
沿连线先变小后变大
电荷连线上的电场强度
O点最小，但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于 O点对称位置的电场强 A与 A′、B与 B′、C与 C′
度 等大同向 等大反向
7．电场线的四个应用
正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场
判断电场线的方向
线在该点切向方向相反。
电 电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小
场判断电场强度的大小
线 和加速度的大小
的
应判断等势面的疏密 电场越强的地方，等差等势面越密集；电场越弱的地方，等差等势面越稀疏
用
判断电势的高低与电
沿电场线的方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向
势降低的快慢
4
方法与技巧
电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系
1．电场线与带电粒子运动轨迹重合的条件
一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重
合。
（1）电场线为直线；
（2）带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行；
（3）带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线平行。
2．电场线与轨迹问题判断方法
（1）“运动与力两线法”——画出“速度线”（运动轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的
切线方向），从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
（2）“三不知时要假设”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向中若已知
其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
【例题 2】 如图所示，Q1和 Q2是两个电荷量大小相等的点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连
线的中垂线，O是垂足。下列说法正确的是（ ）
A．若两电荷是异种电荷，则 OM的中点与 ON的中点电势一定相等
B．若两电荷是异种电荷，则 O点的电场强度大小，与 MN上各点相比是最小的，
而与 HG上各点相比是最大的
C．若两电荷是同种电荷，则 OM中点与 ON中点处的电场强度一定相同
D．若两电荷是同种电荷，则 O点的电场强度大小，与 MN上各点相比是最小的，与 HG上各点相比是最
大的
举一反三
2. 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中 M点以相同速度垂直于电场线方向飞出 a、b两
个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增加
C．a的加速度将减小，b的加速度将增大
D．两个粒子的动能一个增加一个减小
5
知识点 3 电势和电势差、电场中的功能关系
判断角度 判断方法
依据电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
电 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为
势依据场源电荷的正负
高 负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
低
的 U WAB判 根据 AB＝ ，将WAB、q的正负号代入，由 UAB的正负判断φA、
断依据电场力做功
q
φB的高低
依据电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
判断角度 判断方法
电场力做正功，电势能减小
做功判断法
电场力做负功，电势能增加
电
势 正电荷在电势高的地方电势能大
能电荷电势法
大 负电荷在电势低的地方电势能大
小
的 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式 Ep＝qφ，正 Ep的绝对值
判公式法
断 越大，电势能越大；负 Ep的绝对值越大，电势能越小
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，
能量守恒法
动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
电场 等势面（实线）图样 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
几
种
常
见
的
典点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
型
电
场
等
势
面
的等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上的电势为零
对
比
分
析 两点电荷连线上，中点电势最低，而在中垂
等量同种正点电荷的电场 线上，中点电势最高。关于中点左右对称或
上下对称的点电势相等
6
4．求电场力做功的四种方法
（1）定义式：WAB＝Flcos ＝qEdcos （适用于匀强电场）。
（2）电势的变化：W＝qUAB＝q（φA－φB）。
（3）动能定理：W 电＋W 其他＝ΔEk。
（4）电势能的变化：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB。
5．电场中的功能关系
（1）若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
（2）若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
（3）除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量。
（4）所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化。
方法与技巧
【例题 3】（多选）如图所示，两电荷量分别为 Q（Q＞0）和－Q的点电荷对称地放置在 x轴上原点 O的
两侧，a点位于 x轴上 O点与点电荷 Q之间，b点位于 y轴 O点上方，取无穷远处的电势为零。下列说法
正确的是（ ）
A．b点电势为零，电场强度也为零
B．正的试探电荷在 a点的电势能大于零，所受电场力方向向右
C．将正的试探电荷从 O点移到 a点，必须克服电场力做功
D．将同一正的试探电荷先后从 O、b两点移到 a点，后者电势能的变化较大
举一反三
3. 空间中 P、Q两点处各固定一个点电荷，其中 P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图
所示，a、b、c、d为电场中的 4个点，则（ ）
A．P、Q两点处的电荷为等量同种电荷
B．a点和 b点的电场强度相同
C．c点的电势低于 d点的电势
D．负电荷从 a到 c，电势能减少
7
知识点 4 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）UAB＝Ed，d为 A、B两点沿电场方向的距离。
（2）沿电场强度方向电势降落得最快。
（3）在匀强电场中 U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
C AB φ φA＋φB①如图甲， 点为线段 的中点，则有 C＝ 。
2
②如图乙，AB∥CD，且 AB＝CD，则 UAB＝UCD。
2 E U． ＝ 在非匀强电场中的三点妙用
d
（1）判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
（2）判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高
低。
3 φ x Δφ U（ ）利用 图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝ ＝ ＝Ex，斜率的大小表示电场强度的Δx d
大小，正负表示电场强度的方向。
方法与技巧
【例题 4】 如图所示，匀强电场中有 a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°，∠c＝90°。
电场方向与三角形所在平面平行。已知 a、b和 c点的电势分别为（2－ 3）V、（2＋ 3）V和 2 V。该三
角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）
A．（2－ 3）V、（2＋ 3）V B．0、4 V
4 3 4 3 C. 2 V、 2 V D．0、2 3 V
3 3
[思路点拨]
（1）匀强电场中两个等势点的连线为等势线。
（2）利用电场线与等势面垂直确定电场方向。
8
举一反三
4. （多选）如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为 10 cm的正六边形的六个顶点，A、
B、C三点电势分别为 1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是（ ）
A．通过 CD和 AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为 10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由 C指向 A
D．将一个电子由 E点移到 D点，电子的电势能将减少 1.6×10－19 J
知识点 5 带电体的力电综合问题的分析方法
解决力电综合问题的一般思路
方法与技巧
【例题 5】如图所示，一根长为L＝1.5 m的光滑绝缘细直杆MN竖直固定在电场强度大小为E＝1.0×105 N/C、
与水平方向成θ＝30°角的斜向上的匀强电场中，杆的下端 M固定一个带电小球 A，带电荷量为 Q＝＋4.5×10
－6 C；另一带电小球 B穿在杆上可自由滑动，带电荷量为 q＝＋1.0×10－6 C，质量为 m＝1.0×10－2 kg。现将
小球 B从杆的 N端由静止释放，小球 B开始运动。（静电力常量 k＝9.0×109 N·m2/C2，g＝10 m/s2）
（1）求小球 B开始运动时的加速度 a；
（2）当小球 B的速度最大时，求小球距 M端的高度 h1；
（3）若小球 B从 N端运动到距 M端的高度为 h2＝0.61 m 时，速度 v＝1.0 m/s，求此过程中
小球 B电势能的改变量ΔEp。
9
举一反三
5. 如图所示，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为 m，电量为 q，现加一水平的匀强电场，
平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为θ。
（1）试求这个匀强电场的场强 E大小；
（2）如果将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为 E′后，小球平衡时，绝缘细线仍与竖直方向夹角为θ，则 E′
的大小又是多少？
知识点 6 平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器动态变化的两种情况
（1）电容器始终与电源相连时，两极板间的电势差 U保持不变。
（2）充电后与电源断开时，电容器所带的电荷量 Q保持不变。
2．平行板电容器动态问题的分析思路
3．平行板电容器问题的一个常用结论
电容器充电后断开电源，在电容器所带电荷量保持不变的情况下，电场强度与极板间的距离无关。
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方法与技巧
解决电容器问题的两个常用技巧[]
1. U Q 4πkQ在电荷量保持不变的情况下，由 E＝ ＝ ＝ 知，电场强度与板间距离无关。
d Cd εrS
2.对平行板电容器的有关物理量 Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，
ε S
在变量中哪些是自变量，哪些是因变量，抓住 C r＝ 、Q＝CU U和 E＝ 进行判定即可。
4πkd d
【例题 6】电容式加速度传感器的原理结构如图所示，质量块右侧连接轻质弹簧，左侧连接电介质，弹簧
与电容器固定在外框上。质量块可带动电介质移动改变电容。则（ ）
A．电介质插入极板间越深，电容器电容越小
B．当传感器以恒定加速度运动时，电路中有恒定电流
C．若传感器原来向右匀速运动，突然减速时弹簧会伸长
D．当传感器由静止突然向右加速瞬间，电路中有顺时针方向电流
举一反三
6. （多选）美国物理学家密立根通过研究平行板间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷
量。如图所示，平行板电容器两极板M、N相距 d，两极板分别与电压为 U的恒定电源两极连接，极板M
带正电。现有一质量为 m的带电油滴在极板中央处于静止状态，且此时极板带电荷量与油滴带电荷量的比
值为 k，则（ ）
A．油滴带负电
B mg．油滴带电荷量为
Ud
C kmgd．电容器的电容为
U2
D．将极板 N向下缓慢移动一小段距离，油滴将向上运动
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知识点 7 带电粒子在电场中的运动
★带电粒子在电场中的直线运动
1．带电粒子在电场中运动时重力的处理
（1）基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并
不忽略质量）。
（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。
2．解决带电粒子在电场中的直线运动问题的两种思路
（1）根据带电粒子受到的电场力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的运动情
况。此方法只适用于匀强电场。
（2）根据电场力对带电粒子所做的功等于带电粒子动能的变化求解。此方法既适用于匀强电场，也适用
于非匀强电场。
★带电粒子在匀强电场中的偏转
1．基本规律
设粒子带电荷量为 q，质量为 m，两平行金属板间的电压为 U，板长为 l，板间距离为 d（忽略重力影响）,
则有
1 a F qE qU（ ）加速度： ＝ ＝ ＝ 。
m m md
（2）在电场中的运动时间：t l＝ 。
v0
vx＝v0
（3）速度 v qUly＝at＝
mv0d
v v vy qUl＝ x2＋vy2，tan θ＝ ＝ 。
vx mv02d
l＝v0t
（4）位移 2y 1＝ at2 qUl＝
2 2mv02d
2．两个结论
（1）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的。
1
证明：由 qU0＝ mv02及 tan φ qUl Ul＝ 得 tan φ＝
2 mv02d 2U0d
（2）粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点 O为粒子水平位移的中点，即 O到
l
电场边缘的距离为
2
12
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
1 1 U
当讨论带电粒子的末速度 v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝ mv2－ mv02，其中 Uy＝ y，指初、末
2 2 d
位置间的电势差。
方法与技巧
1.带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法
2.分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键
（1）条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度 v0与电场方向垂直，则带电粒子将在电场中只受电场力
作用做类平抛运动。
（2）运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运
动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。
【例题 7】如图所示，在 A点固定一正电荷，电荷量为 Q，在离 A高度为 H的 C处由静止释放某带同种
电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好为重力加速度 g。已知静电力常量为 k，两电荷均可看成点
电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠的比荷；
（2）液珠速度最大时离 A点的距离 h；
（3）若已知在点电荷 Q kQ的电场中，某点的电势可表示成φ＝ ，其中 r为该点到 Q的距离（选无限远的
r
电势为零）。求液珠能到达的最高点 B离 A点的高度 rB。
13
举一反三
7. （多选）如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场
E1，之后进入电场线竖直向下的匀强电场 E2发生偏转，最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重
力及其相互作用，那么（ ）
A．偏转电场 E2对三种粒子做功一样多
B．三种粒子打到屏上时的速度一样大
C．三种粒子运动到屏上所用时间相同
D．三种粒子一定打到屏上的同一位置
知识点 8 欧姆定律、电阻定律和焦耳定律
★欧姆定律与伏安特性曲线的理解和应用
1．图甲为线性元件的伏安特性曲线，图乙为非线性元件的伏安特性曲线。
2．图象的斜率表示电阻的倒数，斜率越大，电阻越小，故 Ra3 I U U I U I U．用 （或 ）图线来描述导体和半导体的伏安特性时，曲线上每一点对应一组 、 值， 为该状
I
态下的电阻值，UI为该状态下的电功率。在曲线上某点切线的斜率不是电阻的倒数。
★电阻、电阻定律的理解与应用
1．电阻与电阻率的区别
（1）电阻反映了导体对电流阻碍作用的大小，而电阻率则反映制作导体的材料导电性能的好坏。
（2）导体的电阻大，电阻率不一定大，它的导电性能不一定差；导体的电阻率小，电阻不一定小，即它
对电流的阻碍作用不一定小。
（3）导体的电阻、电阻率均与温度有关。
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2．电阻的决定式和定义式的比较
决定式 定义式
公式
R l U＝ρ R＝
S I
提供了一种测定电阻的方法，电阻与 U和 I
指明了电阻的决定因素
无关
区别
适用于粗细均匀的金属导体
适用于任何纯电阻导体
和分布均匀的导电介质
相同点 都不能反映电阻的实质（要用微观理论解释）
★电功、电功率及焦耳定律
1．纯电阻电路与非纯电阻电路的比较
U2 U2
用电器纯电阻 W＝QW＝UIt＝I2Rt＝ tP＝UI＝ I2R＝ 如电阻、电炉子、白炽灯等非纯电阻 W>QW＝UIt
R R
＝I2Rt＋W 其他P＝UI＝I2R＋P 其他如电风扇、电动机、电解槽等
2．关于非纯电阻电路的两点提醒
2
（1 U）在非纯电阻电路中， t既不能表示电功也不能表示电热，因为欧姆定律不再成立。
R
（2）不要认为有电动机的电路一定是非纯电阻电路，当电动机不转动时，仍为纯电阻电路，欧姆定律仍
适用，电能全部转化为内能。只有在电动机转动时为非纯电阻电路，U>IR，欧姆定律不再适用，大部分电
能转化为机械能。
3．额定功率与实际功率
（1）用电器在额定电压下正常工作,用电器的实际功率等于额定功率，即 P 实＝P 额。
（2）用电器的工作电压不一定等于额定电压，用电器的实际功率不一定等于额定功率，若 U 实>U 额，则 P
实>P 额，用电器可能被烧坏。
方法与技巧
导体变形后电阻的分析方法
某一导体的形状改变后，讨论其电阻变化应抓住以下三点：
（1）导体的电阻率不变。
（2）导体的体积不变，由 V＝lS可知 l与 S成反比。
（3）在ρ l、l、S都确定之后，应用电阻定律 R＝ρ 求解。
S
15
【例题 8】有一小型直流电动机，把它接入 U1＝0.3 V的电路中时，电动机不转，测得流过电动机的电流
为 I1＝0.6 A；若把电动机接入 U2＝3.0 V的电路中时，电动机正常工作，工作电流是 I2＝1.0 A，求：
（1）电动机正常工作时的输出功率是多少？
（2）如果电动机正常工作时，转子突然被卡住，此时电动机的发热功率是多大？
举一反三
8. （多选）如图甲所示电路，小灯泡通电后其两端电压 U随所通过的电流 I变化的图线如图乙所示，P
为图线上一点，PN为图线的切线，PM为 U轴的垂线，PQ为 I轴的垂线，下列说法中正确的是（ ）
A．随着所通电流的增大，小灯泡的电阻增大
B U．对应 P点，小灯泡的电阻为 R＝ 1
I2
C．在电路中灯泡 L两端的电压为 U1时，电阻 R两端的电压为 I1R
D．对应 P点，小灯泡的功率为图中矩形 PQOM所围的“面积”
知识点 9 闭合电路的欧姆定律
★电阻的串、并联
1．串、并联电路的特点
电路
串联电路 并联电路
特点
I＝I1＋I2＋…＋In
电流 I＝I1＝I2＝…＝In
I1R1＝I2R2＝…＝InRn
U1 U2 … U＝ ＝ ＝ n电压 U ＝U ＝…＝U
R1 R R
1 2 n
2 n
1 1 1 1
总电阻 R 总＝R1＋R2＋…＋Rn ＝ ＋ ＋…＋R 总 R1 R2 Rn
P1 P2 P
功率分配 ＝ ＝…＝ n P1R1＝P2RR R R 2
＝…＝PnRn
1 2 n
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2．几个有用的结论
（1）串联电路的总电阻大于电路中任意一个电阻，电路中任意一个电阻变大时，总电阻变大。
（2）并联电路的总电阻小于电路中任意一个电阻，任意一个电阻变大时，总电阻变大。
（3）某电路中无论电阻怎样连接，该电路消耗的电功率 P总等于各个电阻消耗的电功率之和。
★电压表、电流表的改装
改装为大量程电压表 改装为大量程电流表
原理 串联电阻分压 并联电阻分流
改装原理图
分压电阻或
U U＝IgR＋IgRg，所以 R＝ －Rg IgRg＝（I－I
IgRg
g）R，所以 R＝
分流电阻 Ig I－Ig
改装后的 RRg
RV＝R＋Rg>Rg RA＝ 电表内阻 R＋Rg
方法与技巧
【例题 9】（多选）如图所示，甲、乙两电路都是由一个灵敏电流表 G和一个变阻器 R组成的，下列说法
正确的是（ ）
A．甲表是电流表，R增大时量程增大
B．甲表是电流表，R增大时量程减小
C．乙表是电压表，R增大时量程增大
D．乙表是电压表，R增大时量程减小
举一反三
9. （多选）一个 T形电路如图所示，电路中的电阻 R1＝10 Ω，R2＝120 Ω，R3＝40 Ω。另有一测试电
源，电动势为 100 V，内阻忽略不计。则（ ）
A．当 cd端短路时，a、b之间的等效电阻是 40 Ω
B．当 ab端短路时，c、d之间的等效电阻是 40 Ω
C．当 ab两端接通测试电源时，cd两端的电压为 80 V
D．当 cd两端接通测试电源时，ab两端的电压为 80 V
17
知识点 10 电路动态变化的分析
1.判定总电阻变化情况的规律
①当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小）；
②若开关的通、断使串联的用电器增多时，电路的总电阻增大；若开关的通、断使并联的支路增多时，电
路的总电阻减小；
③在如图所示分压电路中，滑动变阻器可视为由两段电阻构成，其中一段 R 并与用电器并联，另一段 R 串
与并联部分串联。A、B两端的总电阻与 R 串的变化趋势一致。
2.分析思路
★电路的动态分析常用方法
1．程序法：
确定局部 分析总 分析总电流、
电阻的 电阻的 路端电压的 固定支路 并联分流 串联分压 变化支路
变化 变化 变化
2．“串反并同”结论法：
（1）所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小，
反之则增大。
（2）所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，
反之则减小。
U 串↓ U 并↑
即： I ↓ ←R↑→串 I 并↑
P 串↓ P 并↑
3．极限法：因变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将变阻器的滑片分别滑至两个极端，让电阻最大
或电阻为零去讨论。
18
方法与技巧
电路的动态分析技巧
（1）遵循“部分→整体→部分”的程序，逐一判断。
（2）先分析串联电阻，后分析并联电阻；先分析定值电阻，后分析可变电阻。
（3）分析每一电阻的电压和电流的变化情况。
【例题 10】如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关 S闭合后，在变阻器 R0的滑动端向下滑动的过程中
（ ）
A．电压表与电流表的示数都减小
B．电压表与电流表的示数都增大
C．电压表的示数增大，电流表的示数减小
D．电压表的示数减小，电流表的示数增大
举一反三
10. （多选）如图所示，图中的四个电表均为理想电表，当滑动变阻器滑片 P向右端移动时，下面说法中
正确的是（ ）
A．电压表 V1的读数减小，电流表 A1的读数增大
B．电压表 V1的读数增大，电流表 A1的读数减小
C．电压表 V2的读数减小，电流表 A2的读数增大
D．电压表 V2的读数增大，电流表 A2的读数减小
知识点 11 闭合电路中的功率及效率问题
任意电路：P 总＝EI＝P 出＋P 内
电源总功率 2
纯电阻电路：P 总＝I2（R
E
＋r）＝
R＋r
电源内部
P ＝I2内 r＝P 总－P 出
消耗的功率
任意电路：P 出＝UI＝P 总－P 内
电源的
E2R
输出功率 纯电阻电路：P 出＝I2R＝ R＋r 2
19
P 出与外电阻
R的关系
任意电路：η P 出 U＝ ×100%＝ ×100%
P 总 E
电源的效率
R
纯电阻电路：η＝ ×100%
R＋r
由 P 出与外电阻 R的关系图像可知
2
①当 R＝r E时，电源的输出功率最大为 Pm＝ 。
4r
②当 R＞r时，随着 R的增大输出功率越来越小。
③当 R＜r时，随着 R的增大输出功率越来越大。
④当 P 出＜Pm时，每个输出功率对应两个外电阻 R1和 R2，且 R1R2＝r2。
★两类 U I图线的比较与应用
两种图像的比较
电源 U I图像 电阻 U I图像
图形
电源的路端电压随电路电流的变 电阻中的电流随电阻两端电压的
物理意义
化关系 变化关系
与纵轴交点表示电源电动势 E，
过坐标轴原点，表示没有电压时
截距 E
与横轴交点表示电源短路电流 电流为零
r
坐标 U、I
表示电源的输出功率 表示电阻消耗的功率
的乘积
坐标 U、I 表示外电阻的大小，不同点对应 每一点对应的比值均等大，表示
的比值 的外电阻大小不同 此电阻的大小
斜率
电源电阻 r 电阻大小
（绝对值）
20
方法与技巧
（1）电源 U I图线的纵坐标 U不以零开始的话，横轴的截距小于短路电流，但直线的斜率的绝对值仍为
电源的内阻。
（2）电源和电阻的 U I图线的交点表示该电源与电阻组成回路的该电阻的工作电压和工作电流。
【例题 11】如图所示，已知电源电动势为 6 V，内阻为 1 Ω，保护电阻 R0＝0.5 Ω，求：当电阻箱 R读数为
多少时，保护电阻 R0消耗的电功率最大，并求这个最大值。
举一反三
1. 例题中条件不变，求当电阻箱 R读数为多少时，电阻箱 R消耗的功率 PR最大，并求这个最大值。
2. 在例题中，若电阻箱 R的最大值为 3 Ω，R0＝5 Ω，求：当电阻箱 R读数为多少时，电阻箱 R的功率
最大，并求这个最大值。
3. 例题中条件不变，求电源的最大输出功率。
4. 如图所示，电源电动势 E＝2 V，内阻 r＝1 Ω，电阻 R0＝2 Ω，可变电阻的阻值范围为 0～10 Ω。求可
变电阻为多大时，R上消耗的功率最大，最大值为多少？
21
5. （多选）在如图所示的图象中，直线Ⅰ为某一电源的路端电压与电流的关系图象，直线Ⅱ为某一电阻
R的伏安特性曲线。用该电源直接与电阻 R相连组成闭合电路。由图象可知（ ）[]
A．电源的电动势为 3 V，内阻为 0.5 Ω
B．电阻 R的阻值为 1 Ω
C．电源的输出功率为 4 W
D．电源的效率为 50%
知识点 12 电路故障分析及含电容器电路分析
★电路故障的分析与判断
（1）故障特点
①断路特点：表现为路端电压不为零而电流为零；
②短路特点：用电器或电阻发生短路，表现为有电流通过电路但用电器或电阻两端电压为零。
（2）检查方法
①电压表检测：如果电压表示数为零，则说明可能在并联路段之外有断路，或并联路段短路；
②电流表检测：当电路中接有电源时，可用电流表测量各部分电路上的电流，通过对电流值的分析，可以
确定故障的位置。在运用电流表检测时，一定要注意电流表的极性和量程；
③欧姆表检测：当测量值很大时，表示该处断路，当测量值很小或为零时，表示该处短路。在运用欧姆表
检测时，电路一定要切断电源；
④假设法：将整个电路划分为若干部分，然后逐一假设某部分电路发生某种故障，运用闭合电路或部分电
路的欧姆定律进行推理。
★含电容器的电路
1．电路的简化
不分析电容器的充、放电过程时，把电容器所处的支路视为断路，简化电路时可以去掉，求电荷量时再在
相应位置补上。
2．电路稳定时电容器的处理方法
电容器所在的支路中没有电流，同支路的电阻相当于导线，即电阻不降低电压，是等势体。电容器两端的
电压等于与之并联的支路两端的电压。
22
3．电容器所带电荷量及其变化的计算
（1）利用 Q＝UC计算电容器所带的电荷量；
（2）如果变化前后极板带电的电性相同，那么通过所连导线的电荷量等于初、末状态电容器所带电荷量
之差；
（3）如果变化前后极板带电的电性相反，那么通过所连导线的电荷量等于初、末状态电容器所带电荷量
之和。
方法与技巧
含容电路问题的解题思路
第一步 理清电路的串并联关系
确定电容器两极板间的电压。在电容器充电和放电的过程中，欧姆定律等电路规
律不适用，但对于充电或放电完毕的电路，电容器的存在与否不再影响原电路，
第二步
电容器接在某一支路两端，可根据欧姆定律及串、并联规律求解该支路两端的电
压 U。[]
分析电容器所带的电荷量。针对某一状态，由电容器两端的电压 U求电容器所带
第三步 的电荷量 Q＝CU，由电路规律分析两极板电势的高低，高电势板带正电，低电势
板带负电。
【例题 12】（多选）如图所示，C1＝6 μF，C2＝3 μF，R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，电源电动势 E＝18 V，内阻不计。
下列说法正确的是（ ）
A．开关 S断开时，a、b两点电势相等
B．开关 S闭合后，a、b两点间的电流是 2 A
C．开关 S断开时 C1带的电荷量比开关 S闭合后 C1带的电荷量大
D．不论开关 S断开还是闭合，C1带的电荷量总比 C2带的电荷量大
举一反三
12. 如图所示的电路中，电源的电动势为 6 V，当开关 S接通后，灯泡 L1、L2都不亮，用电压表测得各部
分的电压是 Uab＝6 V，Uad＝0 V，Ucd＝6 V，由此可判定（ ）
A．L1和 L2的灯丝都烧断了
B．L1的灯丝烧断了
C．L2的灯丝烧断了
D．变阻器 R断路
23高二期末复习（一）
知识导图
知识点 1 库仑定律的理解及其应用
1．对库仑定律的两点理解
（1）F＝kq1q2，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球心间距。
r2
（2）当两个电荷间的距离 r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
2．应用库仑定律的四条提醒
（1）在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的绝对值计算库仑力的大小。
（2）作用力的方向判断根据：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。
1
（3）两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
（4）库仑力存在极大值，由公式 F＝k q1q2可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当 q
2 1r
＝q2时，F最大。
3．“三个自由点电荷平衡”的问题
（1）平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的
电场强度矢量和为零的位置。
（2）
4．共点力作用下的平衡问题
解决库仑力作用下平衡问题的方法步骤：
库仑力作用下平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了
电场力。具体步骤如下：
5．库仑力作用下的动力学问题
解决与电场力有关的动力学问题的一般思路：
（1）选择研究对象（多为一个带电体，也可以是几个带电体组成的系统）；
（2）对研究对象进行受力分析，包括电场力、重力（电子、质子、正负离子等基本粒子在没有明确指出
或暗示时一般不计重力，带电油滴、带电小球、带电尘埃等带电体一般计重力）；
（3）分析研究对象所处的状态是平衡状态（静止或匀速直线运动）还是非平衡状态（变速运动等）；
（4）根据平衡条件或牛顿第二定律列方程求解。
方法与技巧
【例题 1】如图所示，半径相同的两个金属球 A、B带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间相互吸
引力的大小是 F。今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与 A、B两球接触后移开。这时，A、B两
球之间的相互作用力的大小是（ ）
A.F B.F C.3F D..3F
8 4 8 4
【答案】A
2
举一反三
1. 如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径 R，在中心处固定一电荷量
为＋Q的点电荷。一质量为 m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最
高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
【答案】6mg
知识点 2 电场强度和电场线
1．电场强度三个表达式的比较
E F＝ E＝kQ E U＝
q r2 d
真空中点电荷电场强 匀强电场中 E与 U的
公式意义 电场强度定义式
度的决定式 关系式
适用条件 一切电场 ①真空②点电荷 匀强电场
由场源电荷 Q和场源
由电场本身决定，与 由电场本身决定，d
决定因素 电荷到该点的距离 r
q无关 为沿电场方向的距离
共同决定
矢量，遵守平行四边形定则
相同点
单位：1 N/C＝1 V/m
2．电场强度的叠加
（1）叠加原理：多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
（2）运算法则：平行四边形定则。
3．计算电场强度常用的五种方法
（1）电场叠加合成法。（2）平衡条件求解法。（3）对称法。（4）补偿法。（5）等效法。
4．电场线的三个特点
（1）电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远或负电荷处；
（2）电场线在电场中不相交；
（3）在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
3
5．六种典型电场的电场线
6．两种等量点电荷的电场
比较 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
沿连线先变小后变大
电荷连线上的电场强度
O点最小，但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于 O点对称位置的电场强 A与 A′、B与 B′、C与 C′
度 等大同向 等大反向
7．电场线的四个应用
正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场
判断电场线的方向
线在该点切向方向相反。
电 电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小
场判断电场强度的大小
线 和加速度的大小
的
应判断等势面的疏密 电场越强的地方，等差等势面越密集；电场越弱的地方，等差等势面越稀疏
用
判断电势的高低与电
沿电场线的方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向
势降低的快慢
4
方法与技巧
电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的关系
1．电场线与带电粒子运动轨迹重合的条件
一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重
合。
（1）电场线为直线；
（2）带电粒子初速度为零，或速度方向与电场线平行；
（3）带电粒子仅受电场力或所受其他力的合力方向与电场线平行。
2．电场线与轨迹问题判断方法
（1）“运动与力两线法”——画出“速度线”（运动轨迹在初始位置的切线）与“力线”（在初始位置电场线的
切线方向），从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况。
（2）“三不知时要假设”——电荷的正负、电场强度的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向中若已知
其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
【例题 2】 如图所示，Q1和 Q2是两个电荷量大小相等的点电荷，MN是两电荷的连线，HG是两电荷连
线的中垂线，O是垂足。下列说法正确的是（ ）
A．若两电荷是异种电荷，则 OM的中点与 ON的中点电势一定相等
B．若两电荷是异种电荷，则 O点的电场强度大小，与 MN上各点相比是最小的，
而与 HG上各点相比是最大的
C．若两电荷是同种电荷，则 OM中点与 ON中点处的电场强度一定相同
D．若两电荷是同种电荷，则 O点的电场强度大小，与 MN上各点相比是最小的，与 HG上各点相比是最
大的
【答案】B
举一反三
2. 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中 M点以相同速度垂直于电场线方向飞出 a、b两
个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示，则（ ）
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增加
C．a的加速度将减小，b的加速度将增大
D．两个粒子的动能一个增加一个减小
【答案】C
5
知识点 3 电势和电势差、电场中的功能关系
判断角度 判断方法
依据电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
电 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为
势依据场源电荷的正负
高 负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
低
的 U WAB判 根据 AB＝ ，将WAB、q的正负号代入，由 UAB的正负判断φA、
断依据电场力做功
q
φB的高低
依据电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
判断角度 判断方法
电场力做正功，电势能减小
做功判断法
电场力做负功，电势能增加
电
势 正电荷在电势高的地方电势能大
能电荷电势法
大 负电荷在电势低的地方电势能大
小
的 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式 Ep＝qφ，正 Ep的绝对值
判公式法
断 越大，电势能越大；负 Ep的绝对值越大，电势能越小
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，
能量守恒法
动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
电场 等势面（实线）图样 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
几
种
常
见
的
典点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
型
电
场
等
势
面
的等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上的电势为零
对
比
分
析 两点电荷连线上，中点电势最低，而在中垂
等量同种正点电荷的电场 线上，中点电势最高。关于中点左右对称或
上下对称的点电势相等
6
4．求电场力做功的四种方法
（1）定义式：WAB＝Flcos ＝qEdcos （适用于匀强电场）。
（2）电势的变化：W＝qUAB＝q（φA－φB）。
（3）动能定理：W 电＋W 其他＝ΔEk。
（4）电势能的变化：WAB＝－ΔEpBA＝EpA－EpB。
5．电场中的功能关系
（1）若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变。
（2）若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。
（3）除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量。
（4）所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化。
方法与技巧
【例题 3】（多选）如图所示，两电荷量分别为 Q（Q＞0）和－Q的点电荷对称地放置在 x轴上原点 O的
两侧，a点位于 x轴上 O点与点电荷 Q之间，b点位于 y轴 O点上方，取无穷远处的电势为零。下列说法
正确的是（ ）
A．b点电势为零，电场强度也为零
B．正的试探电荷在 a点的电势能大于零，所受电场力方向向右
C．将正的试探电荷从 O点移到 a点，必须克服电场力做功
D．将同一正的试探电荷先后从 O、b两点移到 a点，后者电势能的变化较大
【答案】BC
举一反三
3. 空间中 P、Q两点处各固定一个点电荷，其中 P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图
所示，a、b、c、d为电场中的 4个点，则（ ）
A．P、Q两点处的电荷为等量同种电荷
B．a点和 b点的电场强度相同
C．c点的电势低于 d点的电势
D．负电荷从 a到 c，电势能减少
【答案】D
7
知识点 4 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）UAB＝Ed，d为 A、B两点沿电场方向的距离。
（2）沿电场强度方向电势降落得最快。
（3）在匀强电场中 U＝Ed，即在沿电场线方向上，U∝d。推论如下：
C AB φ φA＋φB①如图甲， 点为线段 的中点，则有 C＝ 。
2
②如图乙，AB∥CD，且 AB＝CD，则 UAB＝UCD。
2 E U． ＝ 在非匀强电场中的三点妙用
d
（1）判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。
（2）判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高
低。
（3）利用φ x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k Δφ U＝ ＝ ＝Ex，斜率的大小表示电场强度的Δx d
大小，正负表示电场强度的方向。
方法与技巧
【例题 4】 如图所示，匀强电场中有 a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°，∠c＝90°。
电场方向与三角形所在平面平行。已知 a、b和 c点的电势分别为（2－ 3）V、（2＋ 3）V和 2 V。该三
角形的外接圆上最低、最高电势分别为（ ）
A．（2－ 3）V、（2＋ 3）V B．0、4 V
4 3
C. 2 V、 2
4 3
V D．0、2 3 V
3 3
[思路点拨]
（1）匀强电场中两个等势点的连线为等势线。
（2）利用电场线与等势面垂直确定电场方向。
【答案】B
8
举一反三
4. （多选）如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为 10 cm的正六边形的六个顶点，A、
B、C三点电势分别为 1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是（ ）
A．通过 CD和 AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为 10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由 C指向 A
D．将一个电子由 E点移到 D点，电子的电势能将减少 1.6×10－19 J
【答案】ACD
知识点 5 带电体的力电综合问题的分析方法
解决力电综合问题的一般思路
方法与技巧
【例题 5】如图所示，一根长为L＝1.5 m的光滑绝缘细直杆MN竖直固定在电场强度大小为E＝1.0×105 N/C、
与水平方向成θ＝30°角的斜向上的匀强电场中，杆的下端 M固定一个带电小球 A，带电荷量为 Q＝＋4.5×10
－6 C；另一带电小球 B穿在杆上可自由滑动，带电荷量为 q＝＋1.0×10－6 C，质量为 m＝1.0×10－2 kg。现将
小球 B从杆的 N端由静止释放，小球 B开始运动。（静电力常量 k＝9.0×109 N·m2/C2，g＝10 m/s2）
（1）求小球 B开始运动时的加速度 a；
（2）当小球 B的速度最大时，求小球距 M端的高度 h1；
（3）若小球 B从 N端运动到距 M端的高度为 h2＝0.61 m 时，速度 v＝1.0 m/s，求此过程中
小球 B电势能的改变量ΔEp。
9
[思路点拨]
（1）试画出小球 B运动前的受力示意图。
提示：
（2）试描述 B球的运动情景。
提示：B球释放后先向下加速运动，然后向下减速运动，速度最大时，所受合力为零，加速度为零。
（3）第（1）问求加速度 a 时，应对 B球在N位置时利用牛顿第二定律求解；小球速度最大时，a＝0，要
利用平衡条件求解；电势能的变化对应电场力做功，应通过动能定理求解。
【答案】（1）3.2 m/s2，竖直向下 （2）0.9 m （3）8.4×10－2 J
举一反三
5. 如图所示，用一根绝缘细线悬挂一个带电小球，小球的质量为 m，电量为 q，现加一水平的匀强电场，
平衡时绝缘细线与竖直方向夹角为θ。
（1）试求这个匀强电场的场强 E大小；
（2）如果将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为 E′后，小球平衡时，绝缘细线仍与竖直方向夹角为θ，则 E′
的大小又是多少？
mgtan θ mgsin θ
【答案】（1） （2）
q q
【解析】（1）对小球受力分析，受到重力、电场力和细线的拉力，如图甲所示。由
平衡条件得：mgtan θ＝qE
mgtan θ
解得：E＝ 。
q
（2）将电场方向顺时针旋转θ角、大小变为 E′后，电场力方向也顺时针
转过θ角，大小为 F′＝qE′，此时电场力与细线垂直，如图乙所示。
根据平衡条件得：mgsin θ＝qE′
mgsin θ
则得：E′＝ 。
q
10
知识点 6 平行板电容器的动态分析
1．平行板电容器动态变化的两种情况
（1）电容器始终与电源相连时，两极板间的电势差 U保持不变。
（2）充电后与电源断开时，电容器所带的电荷量 Q保持不变。
2．平行板电容器动态问题的分析思路
3．平行板电容器问题的一个常用结论
电容器充电后断开电源，在电容器所带电荷量保持不变的情况下，电场强度与极板间的距离无关。
方法与技巧
解决电容器问题的两个常用技巧[]
1. U Q 4πkQ在电荷量保持不变的情况下，由 E＝ ＝ ＝ 知，电场强度与板间距离无关。
d Cd εrS
2.对平行板电容器的有关物理量 Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，
εrS U
在变量中哪些是自变量，哪些是因变量，抓住 C＝ 、Q＝CU和 E＝ 进行判定即可。
4πkd d
【例题 6】电容式加速度传感器的原理结构如图所示，质量块右侧连接轻质弹簧，左侧连接电介质，弹簧
与电容器固定在外框上。质量块可带动电介质移动改变电容。则（ ）
A．电介质插入极板间越深，电容器电容越小
B．当传感器以恒定加速度运动时，电路中有恒定电流
C．若传感器原来向右匀速运动，突然减速时弹簧会伸长
D．当传感器由静止突然向右加速瞬间，电路中有顺时针方向电流
【答案】D
11
举一反三
6. （多选）美国物理学家密立根通过研究平行板间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷
量。如图所示，平行板电容器两极板M、N相距 d，两极板分别与电压为 U的恒定电源两极连接，极板M
带正电。现有一质量为 m的带电油滴在极板中央处于静止状态，且此时极板带电荷量与油滴带电荷量的比
值为 k，则（ ）
A．油滴带负电
B mg．油滴带电荷量为
Ud
C kmgd．电容器的电容为
U2
D．将极板 N向下缓慢移动一小段距离，油滴将向上运动
【答案】AC
知识点 7 带电粒子在电场中的运动
★带电粒子在电场中的直线运动
1．带电粒子在电场中运动时重力的处理
（1）基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并
不忽略质量）。
（2）带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。
2．解决带电粒子在电场中的直线运动问题的两种思路
（1）根据带电粒子受到的电场力，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的运动情
况。此方法只适用于匀强电场。
（2）根据电场力对带电粒子所做的功等于带电粒子动能的变化求解。此方法既适用于匀强电场，也适用
于非匀强电场。
★带电粒子在匀强电场中的偏转
1．基本规律
设粒子带电荷量为 q，质量为 m，两平行金属板间的电压为 U，板长为 l，板间距离为 d（忽略重力影响）,
则有
1 a F qE qU（ ）加速度： ＝ ＝ ＝ 。
m m md
l
（2）在电场中的运动时间：t＝ 。
v0
12
vx＝v0
（3）速度 v qUly＝at＝
mv0d
v v qUl＝ v 2＋v 2，tan θ＝ yx y ＝ 。
vx mv02d
l＝v0t
（4）位移 y 1
2
＝ at2 qUl＝
2 2mv02d
2．两个结论
（1）不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的。
1 qUl Ul
证明：由 qU0＝ mv02及 tan φ＝ 得 tan φ＝
2 mv02d 2U0d
（2）粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点 O为粒子水平位移的中点，即 O到
l
电场边缘的距离为
2
3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
1 1 U
当讨论带电粒子的末速度 v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝ mv2－ mv02，其中 Uy＝ y，指初、末
2 2 d
位置间的电势差。
方法与技巧
1.带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法
2.分析带电粒子在匀强电场中的偏转问题的关键
（1）条件分析：不计重力，且带电粒子的初速度 v0与电场方向垂直，则带电粒子将在电场中只受电场力
作用做类平抛运动。
（2）运动分析：一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运
动和垂直电场力方向上的匀速直线运动。
13
【例题 7】如图所示，在 A点固定一正电荷，电荷量为 Q，在离 A高度为 H的 C处由静止释放某带同种
电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好为重力加速度 g。已知静电力常量为 k，两电荷均可看成点
电荷，不计空气阻力。求：
（1）液珠的比荷；
（2）液珠速度最大时离 A点的距离 h；
（3）若已知在点电荷 Q kQ的电场中，某点的电势可表示成φ＝ ，其中 r为该点到 Q的距离（选无限远的
r
电势为零）。求液珠能到达的最高点 B离 A点的高度 rB。
[审题流程]
1 2gH
2
【答案】（ ） （2） 2H （3）2H
kQ
举一反三
7. （多选）如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场
E1，之后进入电场线竖直向下的匀强电场 E2发生偏转，最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重
力及其相互作用，那么（ ）
A．偏转电场 E2对三种粒子做功一样多
B．三种粒子打到屏上时的速度一样大
C．三种粒子运动到屏上所用时间相同
D．三种粒子一定打到屏上的同一位置
[审题指导]
（1）氕、氘、氚核三种粒子的质量之比为 1∶2∶3，电荷量之比为 1∶1∶1。
（2）三粒子在加速电场中做匀加速直线运动，在偏转电场中做类平抛运动，在偏转电场与屏之间粒子做
匀速直线运动。
【答案】AD
14
知识点 8 欧姆定律、电阻定律和焦耳定律
★欧姆定律与伏安特性曲线的理解和应用
1．图甲为线性元件的伏安特性曲线，图乙为非线性元件的伏安特性曲线。
2．图象的斜率表示电阻的倒数，斜率越大，电阻越小，故 Ra3．用 I U（或 U I U）图线来描述导体和半导体的伏安特性时，曲线上每一点对应一组 U、I值， 为该状
I
态下的电阻值，UI为该状态下的电功率。在曲线上某点切线的斜率不是电阻的倒数。
★电阻、电阻定律的理解与应用
1．电阻与电阻率的区别
（1）电阻反映了导体对电流阻碍作用的大小，而电阻率则反映制作导体的材料导电性能的好坏。
（2）导体的电阻大，电阻率不一定大，它的导电性能不一定差；导体的电阻率小，电阻不一定小，即它
对电流的阻碍作用不一定小。
（3）导体的电阻、电阻率均与温度有关。
2．电阻的决定式和定义式的比较
决定式 定义式
公式
R l＝ρ R U＝
S I
提供了一种测定电阻的方法，电阻与 U和 I
指明了电阻的决定因素
无关
区别
适用于粗细均匀的金属导体
适用于任何纯电阻导体
和分布均匀的导电介质
相同点 都不能反映电阻的实质（要用微观理论解释）
★电功、电功率及焦耳定律
1．纯电阻电路与非纯电阻电路的比较
2 2
用电器纯电阻 W＝QW＝UIt＝I2Rt U＝ tP＝UI＝ I2R U＝ 如电阻、电炉子、白炽灯等非纯电阻 W>QW＝UIt
R R
＝I2Rt＋W 其他P＝UI＝I2R＋P 其他如电风扇、电动机、电解槽等
15
2．关于非纯电阻电路的两点提醒
2
（1 U）在非纯电阻电路中， t既不能表示电功也不能表示电热，因为欧姆定律不再成立。
R
（2）不要认为有电动机的电路一定是非纯电阻电路，当电动机不转动时，仍为纯电阻电路，欧姆定律仍
适用，电能全部转化为内能。只有在电动机转动时为非纯电阻电路，U>IR，欧姆定律不再适用，大部分电
能转化为机械能。
3．额定功率与实际功率
（1）用电器在额定电压下正常工作,用电器的实际功率等于额定功率，即 P 实＝P 额。
（2）用电器的工作电压不一定等于额定电压，用电器的实际功率不一定等于额定功率，若 U 实>U 额，则 P
实>P 额，用电器可能被烧坏。
方法与技巧
导体变形后电阻的分析方法
某一导体的形状改变后，讨论其电阻变化应抓住以下三点：
（1）导体的电阻率不变。
（2）导体的体积不变，由 V＝lS可知 l与 S成反比。
l
（3）在ρ、l、S都确定之后，应用电阻定律 R＝ρ 求解。
S
【例题 8】有一小型直流电动机，把它接入 U1＝0.3 V的电路中时，电动机不转，测得流过电动机的电流
为 I1＝0.6 A；若把电动机接入 U2＝3.0 V的电路中时，电动机正常工作，工作电流是 I2＝1.0 A，求：
（1）电动机正常工作时的输出功率是多少？
（2）如果电动机正常工作时，转子突然被卡住，此时电动机的发热功率是多大？
[审题指导]
（1）当电动机不转时，可视为纯电阻，由________定律求其内电阻。
提示：欧姆
（2）当电动机正常工作时，转子突然被卡住，其电流不等于 I2＝1.0 A，此时发热功率由________计算。
U2
提示：P＝
r
【答案】（1）2.5 W （2）18 W
16
举一反三
8. （多选）如图甲所示电路，小灯泡通电后其两端电压 U随所通过的电流 I变化的图线如图乙所示，P
为图线上一点，PN为图线的切线，PM为 U轴的垂线，PQ为 I轴的垂线，下列说法中正确的是（ ）
A．随着所通电流的增大，小灯泡的电阻增大
B．对应 P U点，小灯泡的电阻为 R＝ 1
I2
C．在电路中灯泡 L两端的电压为 U1时，电阻 R两端的电压为 I1R
D．对应 P点，小灯泡的功率为图中矩形 PQOM所围的“面积”
【答案】ABD
【解析】由欧姆定律知，U I 图中任意一点的电阻为该点与坐标原点O点的连线的斜率，随着所加电流的
U
增大，小灯泡的电阻增大，选项 A正确；对应 P点，小灯泡的电阻为O、P连线的斜率，即 R＝ 1，选项
I2
B 正确；对应 P点，小灯泡的功率为 P＝U1I2，即图中矩形 PQOM所围的“面积”，选项D正确；在电路
中灯泡 L两端的电压为U1时，通过电阻 R的电流为 I2，其两端的电压为 I2R，选项 C错误。
知识点 9 闭合电路的欧姆定律
★电阻的串、并联
1．串、并联电路的特点
电路
串联电路 并联电路
特点
I＝I1＋I2＋…＋In
电流 I＝I1＝I2＝…＝In
I1R1＝I2R2＝…＝InRn
U1 U2
电压 ＝ ＝…
U
＝ n U1＝U2＝…＝UR1 R2 R
n
n
1 1 1 1
总电阻 R 总＝R1＋R2＋…＋Rn ＝ ＋ ＋…＋R 总 R1 R2 Rn
P1 P2 Pn
功率分配 ＝ ＝…＝ P1R1＝P2R2＝…＝PnRR R R n1 2 n
2．几个有用的结论
（1）串联电路的总电阻大于电路中任意一个电阻，电路中任意一个电阻变大时，总电阻变大。
（2）并联电路的总电阻小于电路中任意一个电阻，任意一个电阻变大时，总电阻变大。
（3）某电路中无论电阻怎样连接，该电路消耗的电功率 P总等于各个电阻消耗的电功率之和。
17
★电压表、电流表的改装
改装为大量程电压表 改装为大量程电流表
原理 串联电阻分压 并联电阻分流
改装原理图
分压电阻或
U I R I R U IgRg＝ g ＋ g g，所以 R＝ －Rg IgRg＝（I－Ig）R，所以 R＝
分流电阻 Ig I－Ig
改装后的 RRg
RV＝R＋Rg>Rg RA＝ 电表内阻 R＋Rg
方法与技巧
【例题 9】（多选）如图所示，甲、乙两电路都是由一个灵敏电流表 G和一个变阻器 R组成的，下列说法
正确的是（ ）
A．甲表是电流表，R增大时量程增大
B．甲表是电流表，R增大时量程减小
C．乙表是电压表，R增大时量程增大
D．乙表是电压表，R增大时量程减小
【答案】BC
举一反三
9. （多选）一个 T形电路如图所示，电路中的电阻 R1＝10 Ω，R2＝120 Ω，R3＝40 Ω。另有一测试电
源，电动势为 100 V，内阻忽略不计。则（ ）
A．当 cd端短路时，a、b之间的等效电阻是 40 Ω
B．当 ab端短路时，c、d之间的等效电阻是 40 Ω
C．当 ab两端接通测试电源时，cd两端的电压为 80 V
D．当 cd两端接通测试电源时，ab两端的电压为 80 V
【答案】AC
18
知识点 10 电路动态变化的分析
1.判定总电阻变化情况的规律
①当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小）；
②若开关的通、断使串联的用电器增多时，电路的总电阻增大；若开关的通、断使并联的支路增多时，电
路的总电阻减小；
③在如图所示分压电路中，滑动变阻器可视为由两段电阻构成，其中一段 R 并与用电器并联，另一段 R 串
与并联部分串联。A、B两端的总电阻与 R 串的变化趋势一致。
2.分析思路
★电路的动态分析常用方法
1．程序法：
确定局部 分析总 分析总电流、
电阻的 电阻的 路端电压的 固定支路 并联分流 串联分压 变化支路
变化 变化 变化
2．“串反并同”结论法：
（1）所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小，
反之则增大。
（2）所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，
反之则减小。
U 串↓ U 并↑
即： I ↓ ←R↑→串 I 并↑
P 串↓ P 并↑
3．极限法：因变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将变阻器的滑片分别滑至两个极端，让电阻最大
或电阻为零去讨论。
19
方法与技巧
电路的动态分析技巧
（1）遵循“部分→整体→部分”的程序，逐一判断。
（2）先分析串联电阻，后分析并联电阻；先分析定值电阻，后分析可变电阻。
（3）分析每一电阻的电压和电流的变化情况。
【例题 10】如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关 S闭合后，在变阻器 R0的滑动端向下滑动的过程中
（ ）
A．电压表与电流表的示数都减小
B．电压表与电流表的示数都增大
C．电压表的示数增大，电流表的示数减小
D．电压表的示数减小，电流表的示数增大
【答案】A
举一反三
10. （多选）如图所示，图中的四个电表均为理想电表，当滑动变阻器滑片 P向右端移动时，下面说法中
正确的是（ ）
A．电压表 V1的读数减小，电流表 A1的读数增大
B．电压表 V1的读数增大，电流表 A1的读数减小
C．电压表 V2的读数减小，电流表 A2的读数增大
D．电压表 V2的读数增大，电流表 A2的读数减小
【答案】AD
知识点 11 闭合电路中的功率及效率问题
任意电路：P 总＝EI＝P 出＋P 内
电源总功率 E2
纯电阻电路：P 总＝I2（R＋r）＝R＋r
电源内部
P 内＝I2r＝P 总－P 出
消耗的功率
电源的 任意电路：P 出＝UI＝P 总－P 内
20
输出功率 2P I2R E R纯电阻电路： 出＝ ＝ R＋r 2
P 出与外电阻
R的关系
P 出
任意电路：η＝ ×100% U＝ ×100%
P 总 E
电源的效率
R
纯电阻电路：η＝ ×100%
R＋r
由 P 出与外电阻 R的关系图像可知
E2
①当 R＝r时，电源的输出功率最大为 Pm＝ 。
4r
②当 R＞r时，随着 R的增大输出功率越来越小。
③当 R＜r时，随着 R的增大输出功率越来越大。
④当 P 出＜Pm时，每个输出功率对应两个外电阻 R1和 R2，且 R1R2＝r2。
★两类 U I图线的比较与应用
两种图像的比较
电源 U I图像 电阻 U I图像
图形
电源的路端电压随电路电流的变 电阻中的电流随电阻两端电压的
物理意义
化关系 变化关系
与纵轴交点表示电源电动势 E，
过坐标轴原点，表示没有电压时
截距 E
与横轴交点表示电源短路电流 电流为零
r
坐标 U、I
表示电源的输出功率 表示电阻消耗的功率
的乘积
坐标 U、I 表示外电阻的大小，不同点对应 每一点对应的比值均等大，表示
的比值 的外电阻大小不同 此电阻的大小
斜率
电源电阻 r 电阻大小
（绝对值）
21
方法与技巧
（1）电源 U I图线的纵坐标 U不以零开始的话，横轴的截距小于短路电流，但直线的斜率的绝对值仍为
电源的内阻。
（2）电源和电阻的 U I图线的交点表示该电源与电阻组成回路的该电阻的工作电压和工作电流。
【例题 11】如图所示，已知电源电动势为 6 V，内阻为 1 Ω，保护电阻 R0＝0.5 Ω，求：当电阻箱 R读数为
多少时，保护电阻 R0消耗的电功率最大，并求这个最大值。
【答案】R＝0 P0max＝8 W
E2R
【解析】 保护电阻消耗的功率为 P 00＝ ，因 R0和 r 是常量，而 R是变
（r＋R＋R ）20
E2R 62×0.5
量，所以 R最小时，P 最大，即 R＝0 时，P ＝ 00 0max ＝ W＝8 W。
（r＋R0）2 1.52
举一反三
1. 例题中条件不变，求当电阻箱 R读数为多少时，电阻箱 R消耗的功率 PR最大，并求这个最大值。
【答案】R＝1.5 Ω PRmax＝6 W
【解析】这时要把保护电阻 R0与电源内阻 r 算在一起，据以上结论，当 R＝R0＋r 即 R＝（1＋0.5） Ω＝1.5
E2 62
Ω时，PRmax＝ ＝ W＝6 W。
4（r＋R0） 4×1.5
2. 在例题中，若电阻箱 R的最大值为 3 Ω，R0＝5 Ω，求：当电阻箱 R读数为多少时，电阻箱 R的功率
最大，并求这个最大值。
4
【答案】R＝3 Ω P＝ W
3
3. 例题中条件不变，求电源的最大输出功率。
【答案】9 W
E E2
【解析】由电功率公式 P 出＝ R 外＋r 2R 外＝（R －r）2 ，当 R 外＝r 时，P 出最大，即 R＝r－R0＝0.5 Ω外 ＋4r
R 外
E2 62
时，P 出 max＝ ＝ W＝9 W。
4r 4×1
22
4. 如图所示，电源电动势 E＝2 V，内阻 r＝1 Ω，电阻 R0＝2 Ω，可变电阻的阻值范围为 0～10 Ω。求可
变电阻为多大时，R上消耗的功率最大，最大值为多少？
U2
【解析】方法一：PR＝ ，
R
根据闭合电路欧姆定律，路端电压
R0R
U＝E· R0＋R
ER
＝ 0
R
，
R0R rR0＋rR＋Rr＋ 0
R
R0＋R
E2R 2 16
所以 P ＝ 0
R 2
R ，代入数据整理得 PR＝4 ，当 R＝ Ω时，R上消耗的功率最大，P（rR ＋rR＋R R）2
Rmax
0 0 ＋9R＋12 3
R
2
＝ W。
3
方法二：采用等效电源法分析，把定值电阻等效到电源的内部，即把电源和定值电阻看作电动势为 E′＝
R0 R r R r E′2E，内阻为 r′＝ 0 的电源，当 R＝r′＝ 0 时，电源对外电路 R的输出功率最大 PR＝ 。
R0＋r R0＋r R0＋r 4r′
R 4
把数值代入各式得：E 等＝E′＝
0 E＝ V；
R0＋r 3
R r 2
r 等＝r′＝
0 ＝ Ω。
R0＋r 3
E 2等 2所以：PR＝ ＝ W。
4r 等 3
5. （多选）在如图所示的图象中，直线Ⅰ为某一电源的路端电压与电流的关系图象，直线Ⅱ为某一电阻
R的伏安特性曲线。用该电源直接与电阻 R相连组成闭合电路。由图象可知（ ）[]
A．电源的电动势为 3 V，内阻为 0.5 Ω
B．电阻 R的阻值为 1 Ω
C．电源的输出功率为 4 W
D．电源的效率为 50%
【答案】ABC
23
知识点 12 电路故障分析及含电容器电路分析
★电路故障的分析与判断
（1）故障特点
①断路特点：表现为路端电压不为零而电流为零；
②短路特点：用电器或电阻发生短路，表现为有电流通过电路但用电器或电阻两端电压为零。
（2）检查方法
①电压表检测：如果电压表示数为零，则说明可能在并联路段之外有断路，或并联路段短路；
②电流表检测：当电路中接有电源时，可用电流表测量各部分电路上的电流，通过对电流值的分析，可以
确定故障的位置。在运用电流表检测时，一定要注意电流表的极性和量程；
③欧姆表检测：当测量值很大时，表示该处断路，当测量值很小或为零时，表示该处短路。在运用欧姆表
检测时，电路一定要切断电源；
④假设法：将整个电路划分为若干部分，然后逐一假设某部分电路发生某种故障，运用闭合电路或部分电
路的欧姆定律进行推理。
★含电容器的电路
1．电路的简化
不分析电容器的充、放电过程时，把电容器所处的支路视为断路，简化电路时可以去掉，求电荷量时再在
相应位置补上。
2．电路稳定时电容器的处理方法
电容器所在的支路中没有电流，同支路的电阻相当于导线，即电阻不降低电压，是等势体。电容器两端的
电压等于与之并联的支路两端的电压。
3．电容器所带电荷量及其变化的计算
（1）利用 Q＝UC计算电容器所带的电荷量；
（2）如果变化前后极板带电的电性相同，那么通过所连导线的电荷量等于初、末状态电容器所带电荷量
之差；
（3）如果变化前后极板带电的电性相反，那么通过所连导线的电荷量等于初、末状态电容器所带电荷量
之和。
24
方法与技巧
含容电路问题的解题思路
第一步 理清电路的串并联关系
确定电容器两极板间的电压。在电容器充电和放电的过程中，欧姆定律等电路规
律不适用，但对于充电或放电完毕的电路，电容器的存在与否不再影响原电路，
第二步
电容器接在某一支路两端，可根据欧姆定律及串、并联规律求解该支路两端的电
压 U。[]
分析电容器所带的电荷量。针对某一状态，由电容器两端的电压 U求电容器所带
第三步 的电荷量 Q＝CU，由电路规律分析两极板电势的高低，高电势板带正电，低电势
板带负电。
【例题 12】（多选）如图所示，C1＝6 μF，C2＝3 μF，R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，电源电动势 E＝18 V，内阻不计。
下列说法正确的是（ ）
A．开关 S断开时，a、b两点电势相等
B．开关 S闭合后，a、b两点间的电流是 2 A
C．开关 S断开时 C1带的电荷量比开关 S闭合后 C1带的电荷量大
D．不论开关 S断开还是闭合，C1带的电荷量总比 C2带的电荷量大
【答案】BC
举一反三
12. 如图所示的电路中，电源的电动势为 6 V，当开关 S接通后，灯泡 L1、L2都不亮，用电压表测得各部
分的电压是 Uab＝6 V，Uad＝0 V，Ucd＝6 V，由此可判定（ ）
A．L1和 L2的灯丝都烧断了
B．L1的灯丝烧断了
C．L2的灯丝烧断了
D．变阻器 R断路
【答案】C
【解析】 由 Uab＝6 V 可知，电源完好，灯泡都不亮，说明电路中出现断路故障，且在 a、b 之间。
由 Ucd＝6 V可知，灯泡 L1与滑动变阻器 R是接通的，断路故障出现在 c、d之间，故灯 L2断路，C正确。
25
