第 27 讲 匀强磁场中的临界、极值和多解问题
考点一 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既
具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转
折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．
1．临界问题的分析思路
临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，
这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，
临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量；
(4)分析临界量列出公式．
2．极值问题的分析思路
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两
种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．
强化提升
1．(2016·高考全国丙卷)平面 OM和平面 ON之间的夹角为 30°，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM上
方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q>0)．粒
子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM的某点向左上方射入磁场，速度与 OM成 30°角．已知该粒子在磁场中的
运动轨迹与 ON只有一个交点，并从 OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面
交线 O的距离为( )
A.mv B 3mv．
2qB qB
C.2mv D.4mv
qB qB
解析：选 D. mv如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为 R＝ .设入射点为
qB
A，出射点为 B，圆弧与 ON的交点为 P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向
知，AB＝R.由几何图形知，AP＝ 3R，则 AO＝ 3AP＝3R，所以 OB＝4R 4mv＝ .
qB
1
故选项 D正确．
2．(多选)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值
之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为 m(不计重力)，从点 P经电场加速后，从小孔 Q进
入 N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，
它与 N板的夹角为θ＝30°，孔 Q到板的下端 C的距离为 L，当 M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直
打在 CD板上，则( )
q2A B
2L2
．两板间电压的最大值 Um＝
2m
3－ 3
B．CD板上可能被粒子打中区域的长度 x＝ 3 L
C πm．粒子在磁场中运动的最长时间 tm＝
qB
2 2 2
D．能打在 N q B L板上的粒子的最大动能为
18m
解析：选 BCD.M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD板上，所以其轨迹圆心在 C点，CH
2 2 2
＝QC L v1 1 qB L＝ ，故半径 R1＝L，又因 Bqv1＝m ，qUm＝ mv21，可得 Um＝ ，所以 A错误．
R1 2 2m
设轨迹与 CD板相切于 K R2 1点，半径为 R2，在△AKC 中 sin 30°＝ ＝ ，可得 R2
L－R2 2
L 3
＝ ，CK长为 3R2＝ L，则 CD板上可能被粒子打中的区域即为 HK的长度，x＝HK＝
3 3
3－ 3
L－CK 3 L 2πm πm＝ ，故 B正确．打在 QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期 T＝ ，所以 tm＝ ，
qB qB
C正确．能打到 N L BqL板上的粒子的临界条件是轨迹与 CD相切，由 B选项知，rm＝R2＝ ，可得 vm＝ ，动
3 3m
q2B2L2
能 Ekm＝ ，故 D正确．
18m
3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B的匀强磁场，其边界 AB、CD相距为 d，
在左边界的 Q点处有一质量为 m、带电量为 q的负粒子沿与左边界成 30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：
(1)带电粒子能从 AB边界飞出的最大速度；
(2)若带电粒子能垂直 CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负
极板，则极板间电压 U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？
(3)若带电粒子的速度是(2)中的 3倍，并可以从 Q点沿纸面各个方向射入磁
场，则粒子能打到 CD边界的距离大小？
解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1，运动速度为 v0.
粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知 R1＋R1cos 30°＝d
2
又 qv0B
mv0
＝
R1
2
v Bqd 2 2－ 3 Bqd解得 0＝ ＝
m 1＋cos 30° m
所以粒子能从左边界射出时的最大速度为
vm＝v
2 2－ 3 Bqd
0＝
m
(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示．
d
由几何关系知 R2＝
cos 30°
v22
由洛伦兹力提供向心力得 Bqv2＝m
R2
1
由动能定理得－qU＝0－ mv22
2
B2qd2U 2B
2qd2
解得 ＝ ＝
2mcos2 30° 3m
U 2B
2qd2
所加电压满足的条件 ≥ .
3m
T 2πm
粒子转过的圆心角为 60°，所用时间为 ，而 T＝
6 Bq
因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间
t 2 T 2πm＝ × ＝
6 3Bq
(3)当粒子速度是(2)中的 3倍时，解得 R3＝2d
由几何关系可得粒子能打到 CD边界的范围如图丙所示．
粒子打到 CD边界的距离
l＝2×2dcos 30°＝2 3d
2 2
答案：(1)2 2－ 3 Bqd (2)U 2B qd 2πm≥ (3)2 3d
m 3m 3Bq
3
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．多解形成原因一般包含下述几个方面
(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解；(3)临界状态不唯一形成多解；(4)运动
的往复性形成多解．
2．带电粒子在磁场中运动的多解模型
类型 分析 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁
带电粒子电性不确
场中运动轨迹不同，形成多解
定
如图，带电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如带
正电，其轨迹为 a；如带负电，其轨迹为 b
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强
度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而
形成多解
磁场方向不确定
如图，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，若
B垂直纸面向里，其轨迹为 a，若 B垂直纸面向外，
其轨迹为 b
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于
粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，
临界状态不唯一
也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形成多
解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，
运动具有周期性
往往具有周期性，因而形成多解
4
强化提升
1．(多选)长为 l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为 B，板间距离也为
l，极板不带电，现有质量为 m、电荷量为 q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以
速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A Bql．使粒子的速度 v＜
4m
B v 5Bql．使粒子的速度 ＞
4m
C Bql．使粒子的速度 v＞
m
D Bql 5Bql．使粒子的速度 v 满足 ＜v＜
4m 4m
r l1－ mv1
解析：选 AB.若带电粒子刚好打在极板右边缘，有 r12＝ 2 2＋l2，又因 r1＝ ，
Bq
v 5Bql r l mv2 v Bql解得 1＝ ；若粒子刚好打在极板左边缘时，有 2＝ ＝ ，解得 2＝ ，故 A、
4m 4 Bq 4m
B正确．
2．如图所示，宽度为 d的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边界．现有质量
为 m、电荷量为 q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界 NN′射出，求粒子入射速率
v 的最大值可能是多少．
解析：题目中只给出粒子“电荷量为 q”，未说明是带哪种电荷．若 q为正电荷，轨迹
是如图所示的上方与 NN 1 mv R′相切的 圆弧，轨道半径：R＝ 又 d＝R－
4 Bq 2
2＋ 2 Bqd
解得 v＝ .
m
3 mv′
若 q为负电荷，轨迹是如图所示的下方与 NN′相切的 圆弧，则有：R′＝
4 Bq
R′
d R 2－ 2 Bqd＝ ′＋ ，解得 v′＝ .
2 m
答案：(2＋ 2)Bqd(q Bqd为正电荷)或(2－ 2) (q为负电荷)
m m
5
3．如图所示，在 x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为 B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为 E.屏
MN与 y轴平行且相距 L.一质量 m，电荷量为 e的电子，在 y轴上某点 A自静止释放，如果要使电子垂直打
在屏 MN上，那么：
(1)电子释放位置与原点 O的距离 s需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
1
解析：(1)在电场中，电子从 A→O，动能增加 eEs＝ mv20
2
在磁场中，电子偏转，半径为
r mv0＝
eB
据题意，有(2n＋1)r＝L
eL2B2
所以 s＝ (n＝0,1,2,3，…)
2Em 2n＋1 2
(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间 t＝(2n
1) 2s T＋ ＋ ＋nT a Ee，其中 ＝ ，T 2πm＝ .
a 4 2 m eB
BL
整理后得 t＝ ＋(2n＋1) πm (n＝0,1,2,3，…)
E 2eB
eL2B2
答案：(1)s＝ (n＝0,1,2,3，…)
2Em 2n＋1 2
(2)BL (2n πm＋ ＋1) (n＝0,1,2,3，…)
E 2eB
6
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．(多选)如图所示，宽 d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里．现有一
群正粒子从 O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r
＝10 cm，则( )
A．右边界：－8 cmB．右边界：0C．左边界：y>8 cm有粒子射出
D．左边界：0解析：选 AD.根据左手定则，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由
轨道半径 r＝10 cm画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则 OO1＝O1A＝OO2
＝O2C＝O2E＝10 cm，由几何知识求得 AB＝BC＝8 cm，OE＝16 cm，因此答案为
A、D.
2．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B，其边界为一边长
为 L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的 3个顶点．今有一质量为 m、电荷量为＋q的粒子(不
) v 3qBL计重力 ，以速度 ＝ 从 AB边上的某点 P既垂直于 AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，若该粒子能
4m
从 BC边上某点 Q射出，则( )
A PB 2＋ 3L B 1＋ 3． ≤ ．PB≤ L
4 4
C QB 3L D QB 1． ≤ ． ≤ L
4 2
AD. qvB mv
2 3 R
解析：选 由 ＝ ，得 R＝ L.PB最大时轨迹与 AC边相切，由几何知识得 AP＝ －R，
R 4 cos 30°
BP L AP 2＋ 3＝ － ＝ L，A 正确，B错误．QB最大时粒子平行于 AB边从 Q′点射
4
R 1
出，此时 Q′B＝ ＝ L，C错误、D正确．
sin 60° 2
7
3．(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN垂直于纸面，在纸面
内的长度 L＝9.1 cm，中点 O与 S间的距离 d＝4.55 cm，MN与 SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的
－
一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 4T，电子质量 m＝9.1×10－31kg，电
量 e＝－1.6 －×10 19C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s的一个电子，该电子打在板上可能
位置的区域的长度为 l，则( )
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm
B．θ＝60°时，l＝9.1 cm
C．θ＝45°时，l＝4.55 cm
D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
2
解析：选 AD. mv mv电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：evB＝ ，R＝ ＝4.55×10－2 m＝4.55 cm＝
R Be
L
，θ＝90°时，击中板的范围如图 1，l＝2R＝9.1 cm，选项 A正确．θ＝60°时，击中板的范围如图 2所示，
2
l<2R＝9.1 cm，选项 B错误．θ＝30°，如图 3所示 l＝R＝4.55 cm，当θ＝45°时，击中板的范围如图 4所示，
l>R(R＝4.55 cm)，故选项 D正确、选项 C错误．
4．(多选)如图所示是半径为 R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为 B，方向垂直于
纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的在一定范围内的同种带电粒子，带电粒子
的质量为 m，电荷量为 q(q>0)，不计重力，现粒子以沿正对 cO中点且垂直于 cO方向射入磁场区域，发现
带电粒子恰能从 bd之间飞出磁场．则( )
A．从 b点飞出的带电粒子的速度最大
B．从 d点飞出的带电粒子的速度最大
C．从 d点飞出的带电粒子的运动时间最长
D．从 b点飞出的带电粒子的运动时间最短
解析：选 ACD.粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据题意作出粒子运动轨迹如图所
8
示．图中 Ob 为到达 b 点的轨迹的圆心，Od 为到达 d 点的轨迹的圆心，根据几何关系可知，rb>rd，到达 d
mv
点转过的圆心角比到达 b 点的圆心角大．根据 r＝ 可知，b 的半径最大，d 的半
Bq
径最小，所以从 b 点飞出的带电粒子的速度最大，从 d 点飞出的带电粒子的速度
最小，A正确，B 2πm错误．周期 T＝ ，所以粒子运动的周期相等，而到达 d点
Bq
转过的圆心角最大，到达 b点转过的圆心角最小，所以从 d点飞出的带电粒子的
运动时间最长，从 b点飞出的带电粒子的运动时间最短，C、D正确．
5．如图所示，在 x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.在 xOy平面内，从原点 O
处沿与 x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率 v 发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若 v 一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若 v 一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距 O点越远
C．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
解析：选 A.由左手定则可知，带正电的粒子向左偏转．若 v 一定，θ越大，粒子在磁场中运动的偏转角
越小，则运动的时间越短，选项 A正确．若 v 一定，θ＝90°时，粒子离开磁场的位置距 O点最远，选项 B
错误．若θ一定，粒子在磁场中运动的周期与 v 无关，粒子在磁场中运动的角速度与 v 无关，粒子在磁场中
运动的时间与 v 无关，选项 C、D错误．
6．(多选)如图所示，在半径为 R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于圆平面(未画
出) q．一群比荷为 的负离子以相同速率 v0(较大)由 P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞
m
出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )
A．离子飞出磁场时的动能一定相等
B．离子在磁场中运动半径一定相等
C．由 Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D．沿 PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
解析：选 BC.射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为洛伦兹
力对离子不做功，故这些离子从射入到射出动能不变，故飞出磁场时的动能可能不等，A错误．离子在磁
mv
场中偏转的半径为 r＝ ，由于比荷和速度都相等，磁感应强度 B为定值，故所有离子的偏转半径都相等，
qB
B T 2πm正确．各离子在磁场中做圆周运动的周期 ＝ 也相等，根据几何知识，在半径相同的圆内，较长的弦
qB
对应较大的圆心角，所以从 Q点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C正确．沿 PQ方向
射入的离子不可能从 Q点射出，故偏转角不是最大，D错误．
9
[综合应用题组]
7．如图所示，内圆半径为 r、外圆半径为 3r的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为 B的匀强磁
场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为 U，靠近 M板处静止释放质量为 m、电荷量为 q的正离子，经
过电场加速后从 N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：
(1)离子从 N板小孔射出时的速率；
(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；
(3)要使离子不进入小圆区域，电压 U的取值范围．
1
解析：(1)设离子射入匀强磁场时的速率为 v，由动能定理得 qU＝ mv2，
2
解得 v 2qU＝ .
m
(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为 R，离子所受洛伦兹力提供向心力，
v2
由牛顿第二定律可得 qvB＝m ，
R
2πR 2πm
运动周期 T＝ ，联立解得 T＝ .
v qB
(3)若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为 R0，此
时轨迹如图所示．
由几何关系得 R20＋(3r)2＝(R0＋r)2，解得 R0＝4r.
v2 1 8qr2B2
需满足的条件为 R≤R0，又 qvB＝m ，qU＝ mv2.联立解得 U≤ .
R 2 m
2 2
答案：(1) 2qU (2)2πm (3)U 8qr B≤
m qB m
8．如图所示，M、N、P为很长的平行边界面，M、N与 M、P间距分别为 l1、l2，其间分别有磁感应
强度为 B1和 B2的匀强磁场区，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B1≠B2，有一带正电粒子的电荷量为 q，质
量为 m，以某一初速度垂直边界 N及磁场方向射入 MN间的磁场区域．不计粒子的重力．求：
(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度 v0至少应为多少？
(2) 2qB l若粒子进入磁场Ⅰ的初速度 v ＝ 1 11 ，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间 t1是多少？
m
(3)粒子初速度 v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．
解析：(1)设粒子的初速度为 v0时恰好能进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好
2
沿 M v0 B ql边界，所以半径为 r＝l1，由 B1qv0＝m ，解得 v ＝ 1 10 .
r m
2
(2) v1粒子在磁场Ⅰ中运动，则有 B1qv1＝m ，
r1
解得 r1＝2l1.
l 1 π
设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为α，则有 sin α＝ 1＝ ，所以α＝ .
r1 2 6
10
所以第一次穿过Ⅰ磁场所用时间为
t α T 1 2πm πm1＝ ＝ × ＝ .
2π 12 B1q 6B1q
(3)设粒子速度为 v 时，粒子在磁场Ⅱ中的轨迹恰好与 P边界相切，轨迹如图乙所示．
2
由 Bqv＝m v R mv R mv可得 1＝ ， 2＝ .
R B1q B2q
由图得 sin θ l＝ 1 qB l＝ 1 1.
R1 mv
粒子在磁场Ⅱ中运动有 R2－R2sin θ＝l2，
v qB1l1＋qB2l2解得 ＝ .
m
答案：(1)B1ql1 (2) πm (3)qB1l1＋qB2l2
m 6B1q m
9．如图所示，以 O为原点建立平面直角坐标系 Oxy，沿 y轴放置一平面荧光屏，在 y＞0,0＜x＜0.5 m
的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小 B＝0.5 T．在原点 O放一个开有小孔的粒子
q
源，粒子源能同时放出比荷为 ＝4.0×106 C/kg的不同速率的正离子束，沿与 x轴成 30°角从小孔射入磁场，
m
最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮，入射正离子束的速率在 0到最大值 vm＝2.0×106 m/s的范围内，不计离
子之间的相互作用，也不计离子的重力．
(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
(2)求离子打到荧光屏上的范围；
(3)实际上，从 O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与 x轴成 30°～60°角内进入磁场，则
5π
某时刻(设为 t＝0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过 ×10－7 s时这些离子可能出现
3
的区域面积是多大？
解析：(1)离子在磁场中运动的周期为：
T 2πm＝ ＝π×10－6 s
qB
由几何关系知，能够打到荧光屏上的离子从粒子源放出到打到荧光屏上转过的圆心角
α都相等
α 2π＝
3
离子从粒子源放出到打到荧光屏所用时间
t α π＝ T＝ ×10－6 s
2π 3
2
(2)由 qvB mv＝ ，r mv＝ ，
r qB
11
则 r mvmm＝ ＝1 m
qB
离子在磁场中运动最大轨道半径 rm＝1 m
由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如图，所以 OA1长度为：y＝2rmcos 30°
＝ 3 m
即离子打到荧光屏上的范围为：
y＝0到 y＝ 3 m
(3) 5π经过时间 t＝ ×10－7 s离子转过的圆心角
3
φ 2π＝ t π＝
T 3
与 x轴成 60° 5π方向入射的离子，在 t＝ 10－× 7 s刚好打在 y轴上，与 x轴成 30°方向入射的离子，在 t
3
5π
＝ ×10－7 s都到达线段 OC1，所以在 t＝0时刻与 x轴成 30°～60°内进入磁场的正离子
3
在 t 5π＝ ×10－7s时刻全部出现在以 O为圆心的扇形 OA2C1范围内，如图，则离子可能出
3
2
现的区域面积：S πr＝ m π＝ m2＝0.26 m2
12 12
π
答案：(1) －×10 6s (2)y＝0到 y＝ 3 m (3)0.26 m2
3
10 mv0．如图所示，在半径为 R＝ 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，圆形区
Bq
域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点 P有一速度为 v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为
m，电荷量为 q，粒子重力不计．
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为 3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度 v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．
解析：(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r，由牛顿第二定律
v20
得 Bqv0＝m
r
r＝R
π
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为 ，如图甲所
2
示，则
πR
t＝2 πm＝
v 2Bq0
(2)由(1)知，当 v＝ 3v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为 3R，其运动轨迹如图乙所示，
12
由几何关系可知∠PO2O＝∠OO2J＝30°，所以带电粒子离开磁场时偏转角为 60°.v
3
⊥＝vsin 60°＝ v02
(3)由(1)知，当带电粒子以 v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为 R.设
粒子射入方向与 PO方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界 S射出，带电粒子的运
动轨迹如图丙所示．
因 PO3＝O3S＝PO＝SO＝R
所以四边形 POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S，v0′⊥SO3，
故 v0′⊥PO
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．
(1)πm答案： (2)3v0 (3)见解析
2Bq 2
13第 27 讲 匀强磁场中的临界、极值和多解问题
考点一 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既
具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转
折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．
1．临界问题的分析思路
临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，
这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，
临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量；
(4)分析临界量列出公式．
2．极值问题的分析思路
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两
种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．
强化提升
1．(2016·高考全国丙卷)平面 OM和平面 ON之间的夹角为 30°，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM上
方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q>0)．粒
子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM的某点向左上方射入磁场，速度与 OM成 30°角．已知该粒子在磁场中的
运动轨迹与 ON只有一个交点，并从 OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面
交线 O的距离为( )
A.mv B 3mv．
2qB qB
C.2mv D.4mv
qB qB
2．(多选)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值
之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为 m(不计重力)，从点 P经电场加速后，从小孔 Q进
入 N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，
它与 N板的夹角为θ＝30°，孔 Q到板的下端 C的距离为 L，当 M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直
打在 CD板上，则( )
1
q2B2L2A．两板间电压的最大值 Um＝
2m
3－ 3
B．CD板上可能被粒子打中区域的长度 x＝ 3 L
C πm．粒子在磁场中运动的最长时间 tm＝
qB
D N q
2B2L2
．能打在 板上的粒子的最大动能为
18m
3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B的匀强磁场，其边界 AB、CD相距为 d，
在左边界的 Q点处有一质量为 m、带电量为 q的负粒子沿与左边界成 30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：
(1)带电粒子能从 AB边界飞出的最大速度；
(2)若带电粒子能垂直 CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负
极板，则极板间电压 U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？
(3)若带电粒子的速度是(2)中的 3倍，并可以从 Q点沿纸面各个方向射入磁
场，则粒子能打到 CD边界的距离大小？
2
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．多解形成原因一般包含下述几个方面
(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解；(3)临界状态不唯一形成多解；(4)运动
的往复性形成多解．
2．带电粒子在磁场中运动的多解模型
类型 分析 图例
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁
带电粒子电性不确
场中运动轨迹不同，形成多解
定
如图，带电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如带
正电，其轨迹为 a；如带负电，其轨迹为 b
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强
度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而
形成多解
磁场方向不确定
如图，带正电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，若
B垂直纸面向里，其轨迹为 a，若 B垂直纸面向外，
其轨迹为 b
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于
粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，
临界状态不唯一
也可能转过 180°从入射界面反向飞出，于是形成多
解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，
运动具有周期性
往往具有周期性，因而形成多解
3
强化提升
1．(多选)长为 l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为 B，板间距离也为
l，极板不带电，现有质量为 m、电荷量为 q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以
速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A v Bql．使粒子的速度 ＜
4m
B 5Bql．使粒子的速度 v＞
4m
C．使粒子的速度 v Bql＞
m
D v Bql v 5Bql．使粒子的速度 满足 ＜ ＜
4m 4m
2．如图所示，宽度为 d的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′是它的两条边界．现有质量
为 m、电荷量为 q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界 NN′射出，求粒子入射速率
v 的最大值可能是多少．
3．如图所示，在 x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为 B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为 E.屏
MN与 y轴平行且相距 L.一质量 m，电荷量为 e的电子，在 y轴上某点 A自静止释放，如果要使电子垂直打
在屏 MN上，那么：
(1)电子释放位置与原点 O的距离 s需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
4
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．(多选)如图所示，宽 d＝4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里．现有一
群正粒子从 O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r
＝10 cm，则( )
A．右边界：－8 cmB．右边界：0C．左边界：y>8 cm有粒子射出
D．左边界：02．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为 B，其边界为一边长
为 L的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C为三角形的 3个顶点．今有一质量为 m、电荷量为＋q的粒子(不
) v 3qBL计重力 ，以速度 ＝ 从 AB边上的某点 P既垂直于 AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，若该粒子能
4m
从 BC边上某点 Q射出，则( )
A 2＋ 3 1＋ 3．PB≤ L B．PB≤ L
4 4
C．QB 3L D 1≤ ．QB≤ L
4 2
3．(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN垂直于纸面，在纸面
内的长度 L＝9.1 cm，中点 O与 S间的距离 d＝4.55 cm，MN与 SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的
－ －
一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 4T，电子质量 m＝9.1×10 31kg，电
量 e －＝－1.6×10 19C，不计电子重力，电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s的一个电子，该电子打在板上可能
位置的区域的长度为 l，则( )
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm
B．θ＝60°时，l＝9.1 cm
C．θ＝45°时，l＝4.55 cm
D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
5
4．(多选)如图所示是半径为 R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为 B，方向垂直于
纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的在一定范围内的同种带电粒子，带电粒子
的质量为 m，电荷量为 q(q>0)，不计重力，现粒子以沿正对 cO中点且垂直于 cO方向射入磁场区域，发现
带电粒子恰能从 bd之间飞出磁场．则( )
A．从 b点飞出的带电粒子的速度最大
B．从 d点飞出的带电粒子的速度最大
C．从 d点飞出的带电粒子的运动时间最长
D．从 b点飞出的带电粒子的运动时间最短
5．如图所示，在 x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B.在 xOy平面内，从原点 O
处沿与 x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率 v 发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若 v 一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若 v 一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距 O点越远
C．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
6．(多选)如图所示，在半径为 R的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于圆平面(未画
q
出)．一群比荷为 的负离子以相同速率 v0(较大)由 P点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞
m
出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )
A．离子飞出磁场时的动能一定相等
B．离子在磁场中运动半径一定相等
C．由 Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D．沿 PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
[综合应用题组]
7．如图所示，内圆半径为 r、外圆半径为 3r的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为 B的匀强磁
场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为 U，靠近 M板处静止释放质量为 m、电荷量为 q的正离子，经
过电场加速后从 N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：
(1)离子从 N板小孔射出时的速率；
(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；
(3)要使离子不进入小圆区域，电压 U的取值范围．
6
8．如图所示，M、N、P为很长的平行边界面，M、N与 M、P间距分别为 l1、l2，其间分别有磁感应
强度为 B1和 B2的匀强磁场区，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B1≠B2，有一带正电粒子的电荷量为 q，质
量为 m，以某一初速度垂直边界 N及磁场方向射入 MN间的磁场区域．不计粒子的重力．求：
(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度 v0至少应为多少？
(2) v 2qB l若粒子进入磁场Ⅰ的初速度 1＝ 1 1，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间 t1是多少？
m
(3)粒子初速度 v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．
9．如图所示，以 O为原点建立平面直角坐标系 Oxy，沿 y轴放置一平面荧光屏，在 y＞0,0＜x＜0.5 m
的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小 B＝0.5 T．在原点 O放一个开有小孔的粒子
q
源，粒子源能同时放出比荷为 ＝4.0×106 C/kg的不同速率的正离子束，沿与 x轴成 30°角从小孔射入磁场，
m
最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮，入射正离子束的速率在 0到最大值 vm＝2.0×106 m/s的范围内，不计离
子之间的相互作用，也不计离子的重力．
(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
(2)求离子打到荧光屏上的范围；
(3)实际上，从 O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与 x轴成 30°～60°角内进入磁场，则
5π －
某时刻(设为 t＝0时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过 ×10 7 s时这些离子可能出现
3
的区域面积是多大？
7
10 mv0．如图所示，在半径为 R＝ 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，圆形区
Bq
域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点 P有一速度为 v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为
m，电荷量为 q，粒子重力不计．
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为 3v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度 v0从 P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．
8
