第 31 讲 电磁感应的综合应用
知识点一、基础回顾
一、电磁感应中的电路问题
1．电源和电阻
2．电流方向
在外电路，电流由高电势流向低电势；在内电路，电流由低电势流向高电势．
二、电磁感应中的图象问题
①随时间 t变化的图象，如 B－t图象、Φ－t图象、
图象类型 E－t图象和 I－t图象
②随位移 x变化的图象，如 E－x图象和 I－x图象
①由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象
问题类型 ②由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应
的物理量(用图象)
左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉
应用知识 第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律，函数
图象等知识
三、电磁感应中的动力学问题
1．安培力的大小
感应电动势：E＝Blv
I E F B
2l2v
感应电流： ＝ ＝
R＋r R＋r
安培力公式：F＝BIl
2．安培力的方向
(1)先用右手定则确定感应电流方向，再用左手定则确定安培力方向．
(2)根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向相反．
四、电磁感应中的能量问题
1
1．能量的转化
闭合电路的部分导体做切割磁感线运动产生感应电流，感应电流在磁场中受安培力．外力克服安培力
做功，将其他形式的能转化为电能，电流做功再将电能转化为其他形式的能．
2．实质
电磁感应现象的能量转化，实质是其他形式的能和电能之间的转化．
自我检测
1．判断正误
(1)闭合电路的欧姆定律同样适用于电磁感应电路．(√)
(2)“相当于电源”的导体棒两端的电压一定等于电源的电动势．(×)
(3)闭合电路中电流一定从高电势流向低电势．(×)
(4)在有安培力的作用下，导体棒不能做加速运动．(×)
(5)电磁感应中求焦耳热时，均可直接用公式 Q＝I2Rt.(×)
(6)电路中的电能增加，外力一定克服安培力做了功．(√)
2．如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的一半，磁场垂直穿过粗金属环
所在的区域，当磁感应强度均匀变化时，在粗环内产生的电动势为 E，则 ab两点间的电势差为( )
A.E B E．
2 3
C.2E D．E
3
解析：选 C.粗环相当于电源，细环相当于负载，ab间的电势差就是等效电路的路端电压．粗环电阻是
2 2E
细环电阻的一半，则路端电压是电动势的 ，即 Uab＝ .
3 3
3．如图所示，水平光滑的平行金属导轨，左端接有电阻 R，匀强磁场 B竖直向下分布在导轨所在的空
间内，质量一定的金属棒 PQ垂直导轨放置．今使棒以一定的初速度 v0向右运动，当其通过位置 a、b时，
速率分别为 va、vb，到位置 c时棒刚好静止，设导轨与棒的电阻均不计，a到 b与 b到 c的间距相等，则金
属棒在由 a到 b和由 b到 c的两个过程中( )
A．回路中产生的内能相等
B．棒运动的加速度相等
C．安培力做功相等
D．通过棒横截面积的电荷量相等
解析：选 D.棒由 a到 b再到 c的过程中，速度逐渐减小，根据 E＝Blv，E减小，故 I减小，再根据 F
＝IlB可知安培力减小，根据 F＝ma可知加速度减小，选项 B错误．由于 a到 b与 b到 c的间距相等，故
a ΔΦ BΔS从 到 b安培力做的功大于从 b到 c安培力做的功，故选项A、C错误．再根据平均感应电动势 E＝ ＝ ，
Δt Δt
2
I E BΔS平均感应电流 ＝ ＝ ，通过棒横截面积的电荷量为 q＝IΔt BΔS＝ ，故选项 D正确．
R RΔt R
4．如图，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导
线平行．已知在 t＝0到 t＝t1的时间间隔内，长直导线中电流 i发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿
顺时针方向，线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右．设电流 i的正方向与图中箭头所示方向相
同，则 i随时间 t变化的图线可能是( )
解析：选 A.因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相
反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力大于线框的右边受到的安培力，所以合力与
线框的左边受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，线
框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，
所以选项 A 正确，B、C、D 错误.
考点一 电磁感应中的电路问题
1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．
(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻．
2．电源电动势和路端电压
(1) E Blv E nΔΦ电动势： ＝ 或 ＝ .
Δt
(2) U IR E Ir E路端电压： ＝ ＝ － ＝ ·R.
R＋r
强化提升
1．(2017·江西赣中南五校联考)如图所示，用相同导线制成的边长为 L或 2L的 4个单匝闭合回路，它
们以相同的速度先后垂直穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，区域宽度大于 2L，则进入磁
场过程中，电流最大的回路是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3
解析：选 C.线框进入磁场过程中，做切割磁感线运动，产生的感应电动势 E＝Bdv，根据电阻定律可知，
L E BSv d
线框的电阻 R＝ρ ，由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流 I＝ ，联立以上各式有 I＝ · ，所以
S R ρ L
线框切割磁感线的边长 d越长，总长度 L越短，其感应电流越大，对照 4种图形可知，C正确．
2．(2017·贵州七校联考)(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为 l＝1 m，
cd间、de间、cf间分别接阻值为 R＝10 Ω的电阻．一阻值为 R＝10 Ω的导体棒 ab以速度 v＝4 m/s匀速向左
运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感应强度大小为 B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下
列说法中正确的是( )
A．导体棒 ab中电流的流向为由 b到 a
B．cd两端的电压为 1 V
C．de两端的电压为 1 V
D．fe两端的电压为 1 V
R
解析：选BD.由右手定则可判知A错误；由法拉第电磁感应定律E＝Blv＝0.5×1×4 V＝2 V，Ucd＝ E
R＋R
＝1 V，B正确；由于 de、cf间电阻没有电流流过，故 Ude＝Ucf＝0，所以 Ufe＝Ucd＝1 V，C错误，D正确．
3．(多选)如图所示电路中，均匀变化的匀强磁场只存在于虚线框内，三个电阻阻值之比 R1∶R2∶R3＝1∶
2∶3，其他部分电阻不计．当 S3断开，而 S1、S2闭合时，回路中感应电流为 I，当 S1断开，而 S2、S3闭合
时，回路中感应电流为 5I，当 S2断开，而 S1、S3闭合时，可判断( )
A．闭合回路中感应电流为 4I
B．闭合回路中感应电流为 7I
C．R1、R3消耗的功率之比 PR1∶PR3＝3∶1
D．上下两部分磁场的面积之比 S 上∶S 下＝3∶25
解析：选 BD.因 R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，可以设 R1＝R，R2＝2R，R3＝3R.由题图可知，当 S1、S2闭合
S3断开时，电阻 R1与 R2组成闭合回路，设此时感应电动势是 E1，由欧姆定律可得 E1＝3IR；当 S2、S3闭合
S1断开时，电阻 R2与 R3组成闭合回路，设感应电动势为 E2，由欧姆定律可得 E2＝5I×5R＝25IR；当 S1、
S S R R E E E 28IR I 28IR3闭合 2断开时，电阻 1与 3组成闭合回路，此时感应电动势 ＝ 1＋ 2＝ ，则此时的电流 ′＝
4R
＝7I，A错误，B正确．
根据 P＝I2R可知，串联电路电流相等，则各电阻的功率与电阻阻值成正比，故 PR1∶PR3＝1∶3，C错
误．E1＝3IR，E2＝25IR ΔB，再根据法拉第电磁感应定律 E＝S 可知，上下两部分磁场的面积之比 S 上∶SΔt 下
＝3∶25，D正确．
4
4．(2017·湖北咸宁联考)如图所示，水平面上有两根光滑金属导轨平行固定放置，导轨的电阻不计，间
距为 l＝0.5 m，左端通过导线与阻值 R＝3 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值为 RL＝6 Ω的小灯泡 L连接，
在 CDFE矩形区域内有竖直向上，磁感应强度 B＝0.2 T 的匀强磁场．一根阻值 r＝0.5 Ω、质量 m＝0.2 kg
的金属棒在恒力 F＝2 N的作用下由静止开始从 AB位置沿导轨向右运动，经过 t＝1 s刚好进入磁场区域．求
金属棒刚进入磁场时：
(1)金属棒切割磁感线产生的电动势；
(2)小灯泡两端的电压和金属棒受到的安培力．
解析：(1)0～1 s棒只受拉力，由牛顿第二定律得 F＝ma，金属棒进入磁
F
场前的加速度 a＝ ＝10 m/s2.
m
设其刚要进入磁场时速度为 v，v＝at＝10×1 m/s＝10 m/s.
金属棒进入磁场时切割磁感线，感应电动势 E＝Blv＝0.2×0.5×10 V＝1 V.
(2) R R R·RL 2 Ω E小灯泡与电阻 并联， 并＝ ＝ ，通过金属棒的电流大小 I＝ ＝0.4 A，小灯泡两端的R＋RL R 并＋r
电压 U＝E－Ir＝1 V－0.4×0.5 V＝0.8 V.
金属棒受到的安培力大小 FA＝BIl＝0.2×0.4×0.5 N＝0.04 N，由右手定则和左手定则可判断安培力方
向水平向左．
答案：(1)1 V (2)0.8 V 0.04 N，方向水平向左
解决电磁感应中的电路问题三部曲
5
考点二 电磁感应中的图象问题
1．图象问题的求解类型
据图象分析判断电磁感应过
类型 据电磁感应过程选图象
程
求解流程
2.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决
此类问题的关键．
3．解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是 B－t图还是Φ－t图，或者 E－t图、I－t图等；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图象或判断图象．
典例分析
考向 1：据电磁感应过程选择图象
问题类型 由给定的电磁感应过程选出正确的图象
根据题意分析相关物理量的函数关系、分析物理过程中的转折点、明确“＋、
解题关键
－”号的含义，结合数学知识做正确的判断
[典例 1] (2017·湖北宜昌模拟)如图所示，有一等腰直角三角形的区域，其斜边长为 2L，高为 L.在该区
域内分布着如图所示的磁场，左侧小三角形内磁场方向垂直纸面向外，右侧小三角形内磁场方向垂直纸面
向里，磁感应强度大小均为 B.一边长为 L、总电阻为 R的正方形导线框 abcd，从图示位置开始沿 x轴正方
向以速度 v 匀速穿过磁场区域．取沿 a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则图中表示线框中电流 i随 bc
边的位置坐标 x变化的图象正确的是( )
6
解析 bc边的位置坐标 x在 L～2L过程，线框 bc边有效切割长度为 l1＝x－L，感应电动势为 E＝Bl1v
B(x L)v i E B x－L v＝ － ，感应电流 1＝ ＝ ，根据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→b→c→d→a，为正值．x
R R
在 2L～3L 过程，ad边和 bc 边都切割磁感线，产生感应电动势，根据楞次定律判断出感应电流方向沿
a BLv→d→c→b→a，为负值，有效切割长度为 l2＝L，感应电动势为 E＝Bl2v＝BLv，感应电流 i2＝－ .x在 3L～
R
4L过程，线框 ad边有效切割长度为 l3＝L－(x－3L)＝4L－x，感应电动势为 E＝Bl3v＝B(4L－x)v，感应电流
i B 4L－x v3＝ ，根据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→b→c→d→a，为正值．根据数学知识知道 D正确．
R
答案 D
考向 2：据图象分析判断电磁感应过程
问题类型 由电磁感应图象得出的物理量和规律分析求解动力学、电路等问题
第一个关键是破译，即解读图象中的关键信息(尤其是过程信息)，另一个关键
解题关键
是转换，即有效地实现物理信息和数学信息的相互转换
[典例 2] (2017·河南中原名校联考)如图甲，在水平桌面上固定着两根相距 L＝20 cm、相互平行的无电
阻轨道 P、Q，轨道一端固定一根电阻 R＝0.02 Ω的导体棒 a，轨道上横置一根质量 m＝40 g、电阻可忽略不
计的金属棒 b，两棒相距也为 L＝20 cm，该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场
中．开始时，磁感应强度 B0＝0.1 T．设棒与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取 10 m/s2.
(1)若保持磁感应强度 B0的大小不变，从 t＝0时刻开始，给 b棒施加一个水平向右的拉力，使它由静止
开始做匀加速直线运动．此拉力 F的大小随时间 t变化关系如图乙所示．求 b棒做匀加速运动的加速度及 b
棒与轨道间的滑动摩擦力；
(2)若从 t＝0开始，磁感应强度 B随时间 t按图丙中图象所示的规律变化，求在金属棒 b开始运动前，
这个装置释放的热量．
7
解析 (1)F 安＝B0IL①
E＝B0Lv②
I E B0Lv＝ ＝ ③
R R
v＝at④
B2L2a
所以 F 安＝ 0 tR
当 b棒匀加速运动时，根据牛顿第二定律有
F－f－F 安＝ma⑤
2 2
联立可得 F－f B0L a－ t＝ma⑥
R
由图象可得：当 t＝0时，F＝0.4 N，当 t＝1 s时，
F＝0.5 N.
代入⑥式，可解得 a＝5 m/s2，f＝0.2 N.
(2)当磁感应强度均匀增大时，闭合电路中有恒定的感应电流 I，以 b棒为研究对象，它受到的安培力逐
渐增大，静摩擦力也随之增大，当磁感应强度增大到 b所受安培力 F 安′与最大静摩擦力 f相等时开始滑动．
ΔB
感应电动势 E′＝ L2＝0.02 V⑦
Δt
I E′′＝ ＝1 A⑧
R
棒 b将要运动时，有 F 安′＝BtI′L＝f⑨
所以 Bt＝1 T，根据 B
ΔB
t＝B0＋ t⑩
Δt
得 t＝1.8 s.
回路中产生的焦耳热为 Q＝I′2Rt＝0.036 J.
答案 (1)5 m/s2 0.2 N (2)0.036 J
考向 3：图象的描绘
问题类型 由题目给出的电磁感应现象画出所求物理量的图象
由题目给出的电磁感应过程结合所学物理规律求出所求物理量的函数关系式，
解题关键
然后在坐标系中做出相对应的图象
[典例 3] 如图甲所示，水平面上固定一个间距 L＝1 m 的光滑平行金属导轨，整个导轨处在竖直方向
的磁感应强度 B＝1 T的匀强磁场中，导轨一端接阻值 R＝9 Ω的电阻．导轨上有质量 m＝1 kg、电阻 r＝1 Ω、
长度也为 1 m 的导体棒，在外力的作用下从 t＝0 开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是 v
＝2 t，不计导轨电阻．求：
8
(1)t＝4 s时导体棒受到的安培力的大小；
(2)请在如图乙所示的坐标系中画出电流平方与时间的关系(I2 t)图象．
解析 (1)4 s时导体棒的速度
v＝2 t＝4 m/s
E
感应电动势 E＝BLv，感应电流 I＝
R＋r
此时导体棒受到的安培力
F 安＝BIL＝0.4 N
(2)由(1)可得
E BL
I2＝ R＋r 2＝4 R＋r 2t＝0.04t
作出图象如图所示．
答案 (1)0.4 N (2)见解析图
考点三 电磁感应中的动力学和能量问题
1．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
2.力学对象和电学对象的相互关系
9
3．能量转化过程的理解
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，
必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多
少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过
程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
典例分析
1．(2017·安徽宿州一模)(多选)两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻 R，导轨所在
平面与匀强磁场垂直．将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和导轨接触良好，重力加速度
为 g，如图所示．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( )
A．金属棒在最低点的加速度小于 g
B．回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C．当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D．金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
解析：选 AD.金属棒先向下做加速运动，后向下做减速运动，假设没有磁场，金属棒运动到最低点时，
根据简谐运动的对称性可知，最低点的加速度等于刚释放时的加速度 g，由于金属棒向下运动的过程中产生
感应电流，受到安培力，而安培力是阻力，则知金属棒下降的高度小于没有磁场时的高度，故金属棒在最
低点的加速度小于 g.故 A正确．根据能量守恒定律得知，回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
量与弹簧弹性势能增加量之差，故 B错误，金属棒向下运动的过程中，受到重力、弹簧的弹力和安培力三
个力作用，当三力平衡时，速度最大，即当弹簧弹力、安培力之和等于金属棒的重力时，金属棒下落速度
最大，故 C错误．由于产生内能，且弹簧具有弹性势能，由能量守恒得知，金属棒在以后运动过程中的最
大高度一定低于静止释放时的高度，故 D正确．
2．(2017·河北邯郸一模)如图所示，一足够长的光滑平行金属轨道，轨道平面与水平面成θ角，上端与
10
一电阻 R相连，处于方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中．质量为 m、电阻为 r的金属杆 ab，从高为 h处
由静止释放，下滑一段时间后，金属杆开始以速度 v 匀速运动直到轨道的底端．金属杆始终保持与轨道垂
直且接触良好，轨道的电阻及空气阻力均可忽略不计，重力加速度为 g.则( )
A．金属杆加速运动过程中的平均速度为 v/2
B．金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率大于匀速运动过程中克服安培力做功的功率
C gsin θ．当金属杆的速度为 v/2时，它的加速度大小为
2
D 1．整个运动过程中电阻 R产生的焦耳热为 mgh－ mv2
2
解析：选 C.对金属杆分析知，金属杆 ab在运动过程中受到重力、轨道支持力和安培力作用，先做加速
v
度减小的加速运动，后做匀速运动，因金属杆加速运动过程不是匀加速，故其平均速度不等于 ，A错误．当
2
B2l2v
安培力等于重力沿斜面的分力，即 mg sin θ＝ 时，杆 ab开始匀速运动，此时 v 最大，F
R 安
最大，故匀速
B2l2·vv 1
运动时克服安培力做功的功率大，B错误；当金属杆速度为 时，F ′＝ 2安 ＝ mgsin θ，所以 F ＝mgsin2 R 2
合
θ 1－F 安′＝ mgsin θ＝ma，得 a
gsin θ
＝ ，C 1正确；由能量守恒可得 mgh－ mv2＝Qab＋Q 1R，即 mgh－ mv2应
2 2 2 2
等于电阻 R和金属杆上产生的总焦耳热，D错误．
3．(2017·四川资阳诊断)如图所示，无限长金属导轨 EF、PQ固定在倾角为θ＝53°的光滑绝缘斜面上，
轨道间距 L＝1 m，底部接入一阻值为 R＝0.4 Ω的定值电阻，上端开口．垂直斜面向上的匀强磁场的磁感应
强度 B＝2 T．一质量为 m＝0.5 kg的金属棒 ab与导轨接触良好，ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，ab连入
导轨间的电阻 r＝0.1 Ω，电路中其余电阻不计．现用一质量为 M＝2.86 kg 的物体通过一不可伸长的轻质细
绳绕过光滑的定滑轮与 ab相连．由静止释放 M，当 M下落高度 h＝2.0 m时，ab开始匀速运动(运动中 ab
始终垂直导轨，并接触良好)．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取 g＝10 m/s2.求：
(1)ab棒沿斜面向上运动的最大速度 vm；
(2)ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻 R上产生的焦耳热 QR和流过电阻 R的总电荷量 q.
解析：(1)由题意知，由静止释放 M后，ab棒在绳拉力 T、重力 mg、安
培力F和导轨支持力N及摩擦力 f共同作用下沿导轨向上做加速度逐渐减小
的加速运动直至匀速运动，当达到最大速度时，由平衡条件有
T－mgsin θ－F－f＝0
N－mgcos θ＝0，T＝Mg
又 f＝μN
ab棒所受的安培力 F＝BIL
BLvm
回路中的感应电流 I＝
R＋r
11
联立以上各式，代入数据解得
最大速度 vm＝3.0 m/s
(2)由能量守恒定律知，系统的总能量守恒，即系统减少的重力势能等于系统增加的动能、焦耳热及由
于摩擦产生的内能之和，有 Mgh－mghsin θ 1＝ (M＋m)vm2＋Q＋fh
2
R
电阻 R产生的焦耳热 QR＝ Q
R＋r
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律有
流过电阻 R的总电荷量 q＝IΔt
E
电流的平均值 I ＝
R＋r
ΔΦ
感应电动势的平均值 E ＝
Δt
磁通量的变化量ΔΦ＝B·(Lh)
联立以上各式，代入数据解得 QR＝26.30 J，q＝8 C.
答案：(1)3.0 m/s (2)26.30 J 8 C
(1)解决动力学问题关键是做好两个分析
①受力分析：准确分析运动导体的受力，特别是安培力，求出合力．
②运动分析：分析导体的运动性质，是加速、减速，还是匀速，从而确定相应的运动规律．
(2)电磁感应现象中电能的求解方法
①若回路中电流恒定，可以利用电路结构及 W＝UIt或 Q＝I2Rt直接进行计算．
②若电流变化，则①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利
用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
12
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图所示，上下开口、内壁光滑的铜管 P和塑料管 Q竖直放置，小磁块先后在两管中从相同高度处
由静止释放，并落至底部，则小磁块( )
A．在 P和 Q中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在 P中的下落时间比在 Q中的长
D．落至底部时在 P中的速度比在 Q中的大
解析：选 C.小磁块下落过程中，在塑料管 Q中只受到重力，而在铜管 P中还受到向上的磁场力，即只
在 Q中做自由落体运动，故选项 A、B错误；小磁块在 P中加速度较小，故在 P中下落时间较长，落至底
部时在 P中的速度较小，选项 C正确，D错误．
2．(多选)如图所示，竖直平面内的虚线上方是一匀强磁场 B，从虚线下方竖直上抛一正方形线圈，线
圈越过虚线进入磁场，最后又落回原处，运动过程中线圈平面保持在竖直平面内，不计空气阻力，则( )
A．上升过程克服磁场力做的功大于下降过程克服磁场力做的功
B．上升过程克服磁场力做的功等于下降过程克服磁场力做的功
C．上升过程克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D．上升过程克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率
解析：选 AC.线圈上升过程中，加速度增大且在减速，下降过程中，运动情况比较复杂，有加速、减速
或匀速等，把上升过程看成反向的加速，可以比较当运动到同一位置时，线圈速度都比下降过程中相应的
速度要大，可以得到结论：上升过程中克服安培力做功多；上升过程时间短，所以上升过程克服重力做功
的平均功率大于下降过程中重力的平均功率，故正确选项为 A、C.
3．如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为 B，磁场方向相反，且与纸面
垂直，磁场区域在 x轴方向宽度均为 a，在 y轴方向足够宽．现有一高为 a的正三角形导线框从图示位置开
始向右沿 x轴方向匀速穿过磁场区域．若以逆时针方向为电流的正方向，在以下选项中，线框中感应电流 i
与线框移动的位移 x的关系图象正确的是( )
13
解析：选 C.线框从开始进入到全部进入第一个磁场过程，磁通量向里增大，则由楞次定律可知，电流
方向为逆时针方向，故 B一定错误；因切割的有效长度均匀增大，故由 E＝BLv 可知，电动势也均匀增加，
而在全部进入第一个磁场时，磁通量达最大，该瞬间变化率为零，故电动势也为零，故 A错误；当线框开
始进入第二个磁场时，线框中磁通量向里减小，则可知电流方向为顺时针方向，故 D错误；而进入第二个
磁场后，分处两磁场的线框两部分产生的电流相同，且有效长度是均匀变大的，当将要全部进入第二个磁
场时，线框中电流达最大 2I0.故 C正确．
4．(多选)如图所示，电阻不计、间距为 l的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为 B、方向竖直向
下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻 R.质量为 m、电阻为 r的金属棒 MN置于导轨上，受到垂直于金
属棒的水平外力 F的作用由静止开始运动，外力 F与金属棒速度 v 的关系是 F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金
属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为 i，受到的安培力大小为 FA，电阻 R两端的电压为
UR，感应电流的功率为 P，它们随时间 t变化图象可能正确的有( )
BC. i Blv B
2l2 BlR
解析：选 经受力分析和电路分析知， ＝ ，FA＝Bil＝ v，UR＝iR＝ v，P＝i2(R＋r)＝
R＋r R＋r R＋r
B2l2 v2，因此 i∝FA∝UR∝ P∝v，i－t、FA－t、UR－t图象的形状与 v－t图象相同．对金属棒由牛顿第二
R＋r
B2l2k－ 2 2 2 2
定律得 F－FA＝ma，得 F0＋ R＋r v＝ma. k
B l B l
若 ＝ ，则 a＝0，金属棒做匀加速运动，A错误．若 k＞ ，
R＋r R＋r
B2l2a逐渐增大，B正确．若 k＜ ，a逐渐减小，最后趋向于零，C正确．由以上分析知 P－t图象形状与 B
R＋r
或 C相似，D错误．
5．(多选)如图所示，光滑金属导轨 AC、AD固定在水平面内，并处在方向竖直向下、大小为 B的匀强
磁场中．有一质量为 m的导体棒以初速度 v0从某位置开始在导轨上水平向右运动，最终恰好静止在 A点．在
运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边三角形回路，且通过 A点的总电荷量为 Q.已知导体棒与导轨间的
接触电阻阻值恒为 R，其余电阻不计．则( )
A．该过程中导体棒做匀减速运动
B 1．该过程中接触电阻产生的热量为 mv20
2
C QR．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为 S＝
B
D 1．当导体棒的速度为 v0时，回路中感应电流大小为初始时的一半
2
14
BC. l v a A Q 1解析：选 该过程中 、 均在减小，故加速度 减小，选项 错误．由能量守恒定律可知 热＝ mv02，2
E ΔΦ
选项 B正确．I＝ ＝ ，ΔΦ＝BS，Q＝IΔt QR 1，联立得 S＝ ，选项 C正确．当 v＝ v E0时，l＜l0，由 I＝ ＝
R RΔt B 2 R
Blv I
知，I＜ 0，选项 D错误．
R 2
6．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为 37°，宽度为 0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一
小灯泡，电阻为 1 Ω.一导体棒 MN垂直于导轨放置，质量为 0.2 kg，接入电路的电阻为 1 Ω，两端与导轨接
触良好，与导轨间的动摩擦因数为 0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 0.8 T．将
导体棒 MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒 MN的运动速度以及小灯泡消耗
的电功率分别为(重力加速度 g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W
C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W
B2l2v
解析：选 B.小灯泡稳定发光说明棒做匀速直线运动．此时：F 安＝ ，对棒满足：mgsin θ－μmgcos θ
R 总
B2l2v
－ ＝0
R 棒＋R 灯
因为 R 灯＝R 棒则：P 灯＝P 棒
再依据功能关系：mgsin θ·v－μmgcos θ·v＝P 灯＋P 棒
联立解得 v＝5 m/s，P 灯＝1 W，所以 B项正确．
[综合应用题组]
7．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为 L，底端接阻值为 R的电阻．将质量为 m的金属棒悬挂在
一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为 B的匀强磁场垂直，如图
所示．除电阻 R外其余电阻均不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则( )
A．金属棒将做往复运动，动能、弹性势能与重力势能的总和保持不变
B mg．金属棒最后将静止，静止时弹簧的伸长量为
k
C mg．金属棒最后将静止，电阻 R上产生的总热量为 mg·
k
D．金属棒第 1 mg次达到最大速度时金属棒的伸长量为
k
解析：选 B.金属棒在往复运动的过程中不断克服安培力做功产生电能，并转化成焦耳热，机械能不断
15
减少，最终静止，静止时弹力等于金属棒的重力，A错误、B正确．由能量守恒定律可得 mg·mg＝Q＋E
k 弹
，
C错误．当金属棒第 1次达到最大速度时，加速度为零，则 mg＝kx＋F 安，D错误．
8．(多选)如图甲所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为 m，电阻为
R，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN和 PQ是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的 bc边平行，
磁场方向垂直于线框平面向里．现使金属线框从 MN上方某一高度处由静止开始下落，如图乙是金属线框
由开始下落到 bc刚好运动到匀强磁场 PQ边界的 v t图象，图中数据均为已知量．重力加速度为 g，不计空
气阻力．下列说法正确的是( )
A．金属线框刚进入磁场时感应电流方向沿 adcba方向
B 1 mgR．磁场的磁感应强度为
v1 t2－t1 v1
C．金属线框在 0～t3时间内所产生的热量 为 mgv1(t2－t1)
D．MN和 PQ之间的距离为 v1(t2－t1)
解析：选 BC.根据楞次定律可知，线框刚进入磁场时，感应电流的方向为 abcda方向，选项 A错误；
B2l2bc v1 1 mgR由于 边进入磁场时线框匀速运动，则mg＝ ，而线框边长 l＝v1(t2－t1)，联立可得B＝ ，
R v1 t2－t1 v1
选项 B正确；金属线框在 0～t3时间内，只有在 t1～t2时间内才产生热量，此过程中安培力与重力大小相等，
因此所产生的热量为 mgv1(t
v1＋v2
2－t1)，选项 C正确；MN和 PQ之间的距离为 v1(t2－t1)＋ (t3－t2)，选项 D
2
错误．
9．(多选)如图所示，边长为 L、不可形变的正方形导线框内有半径为 r的圆形磁场区域，其磁感应强度
B随时间 t的变化关系为 B＝kt(常量 k＞0)．回路中滑动变阻器 R的最大阻值为 R0，滑动片 P位于滑动变阻
R0
器中央，定值电阻 R1＝R0、R2＝ .闭合开关 S，电压表的示数为 U，不考虑虚线 MN右侧导体的感应电动
2
势，则( )
A U．R2两端的电压为
7
B．电容器的 a极板带正电
C．滑动变阻器 R的热功率为电阻 R2的 5倍
D．正方形导线框中的感应电动势为 kL2
AC. E nΔΦ nΔB解析：选 由法拉第电磁感应定律 ＝ ＝ S有 E＝kπr2，
Δt Δt
D错误；因 k＞0，由楞次定律知线框内感应电流沿逆时针方向，故电容器 b极板带正电，B错误；由题图
16
R0 1×
知外电路结构为 R2与 R的右半部并联，再与 R的左半部、R1相串联，故 R2两端电压 U2＝ 2 2 U
R R＋ 0 R 10 ＋ 0×
2 2 2
U
＝ ，A正确；设 R2消耗的功率为 P＝IU2，则 R消耗的功率 P′＝2I×2U2＋IU2＝5P，故 C正确．
7
10．如图，水平面(纸面)内间距为 l的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l的金属杆置于导
轨上．t＝0时，金属杆在水平向右、大小为 F的恒定拉力作用下由静止开始运动．t0时刻，金属杆进入磁感
应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻
均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为 g.求
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值．
解析：(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得
ma＝F－μmg①
设金属杆到达磁场左边界时的速度为 v，由运动学公式有
v＝at0②
当金属杆以速度 v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为
E＝Blv③
联立①②③式可得
F
－μg
E＝Blt0 m ④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为 I，根据欧姆定律
I E＝ ⑤
R
式中 R为电阻的阻值．金属杆所受的安培力为
FA＝BlI⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得
F－μmg－FA＝0⑦
联立④⑤⑥⑦式得
2 2
R B l t＝ 0⑧
m
F
－μg 2 2
答案：(1)Blt0 m (2)
B l t0
m
17
11．如图，两条相距 l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为 R的电阻；一
与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为 S的区域，区域中存在垂直于
纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小 B1随时间 t的变化关系为 B1＝kt，式中 k为常量；在金属棒右侧还
有一匀强磁场区域，区域左边界 MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为 B0，方向也垂直于纸面向
里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在 t0时刻恰好以速度 v0越过 MN，
此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求：
(1)在 t＝0到 t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻 t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
解析：(1)在金属棒越过 MN之前，t时刻穿过回路的磁通量为Φ＝ktS①
设在从 t时刻到 t＋Δt的时间间隔内，回路磁通量的变化量为ΔΦ，流过
电阻 R的电荷量为Δq.由法拉第电磁感应定律有
E ΔΦ＝ ②
Δt
E
由欧姆定律有 i＝ ③
R
Δq
由电流的定义有 i＝ ④
Δt
|Δq| kS联立①②③④式得 ＝ Δt⑤
R
由⑤式得，在 t＝0到 t＝t0的时间间隔内，流过电阻 R的电荷量 q的绝对值为
|q| kt0S＝ ⑥
R
(2)当 t>t0时，金属棒已越过 MN.由于金属棒在 MN右侧做匀速运动，有
f＝F⑦
式中，f是外加水平恒力，F是匀强磁场施加的安培力．设此时回路中的电流为 I，F的大小为
F＝B0Il⑧
此时金属棒与 MN之间的距离为 s＝v0(t－t0)⑨
匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ′＝B0ls○10
回路的总磁通量为Φt＝Φ＋Φ′
式中，Φ仍如①式所示．由①⑨○10 式得，在时刻 t(t>t0)穿过回路的总磁通量为
Φt＝B0lv0(t－t0)＋kSt
在 t到 t＋Δt的时间间隔内，总磁通量的改变ΔΦt为
ΔΦt＝(B0lv0＋kS)Δt
由法拉第电磁感应定律得，回路感应电动势的大小为
E＝|
ΔΦt
t Δt |
18
E
由欧姆定律有 I＝ t
R
联立⑦⑧ 式得
f＝(B lv kS)B0l0 0＋
R
kt S
答案：(1) 0 (2)B lv (t t ) kSt (B lv kS)B0l0 0 － 0 ＋ 0 0＋
R R
12．如图甲所示，平行长直导轨 MN、PQ水平放置，两导轨间距 L＝0.5 m，导轨左端 M、P间接有一
阻值 R＝0.2 Ω的定值电阻，导体棒 ab的质量 m＝0.1 kg，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导体棒垂直于导轨
放在距离左端 d＝1.0 m处，导轨和导体棒始终接触良好，电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀
强磁场中，t＝0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度 B随时间 t的变化如图乙所示，不计感应电
流产生的磁场的影响．取重力加速度 g＝10 m/s2.
(1)求 t＝0时棒所受到的安培力 F0；
(2)分析前 3 s时间内导体棒的运动情况并求前 3 s内棒所受的摩擦力 Ff随时间 t变化的关系式；
(3)若 t＝3 s时，突然使 ab棒获得向右的速度 v0＝8 m/s，同时垂直棒施加一方向水平、大小可变化的外
力 F，使棒的加速度大小恒为 a＝4 m/s2、方向向左．求从 t＝3 s到 t＝4 s的时间内通过电阻的电荷量 q.
解析：(1)t＝0 时棒的速度为零，故回路中只有
ΔΦ
感生电动势，由法拉第电磁感应定律知 E＝ ＝
Δt
ΔBLd
Δt
E
感应电流 I＝
R
t＝0时棒所受到的安培力 F0＝B0IL
代入数据解得 F0＝0.025 N
(2)ab棒与导轨间的最大静摩擦力
Ffm＝μmg＝0.1 N>F0＝0.025 N
所以在 t＝0时刻棒静止不动，加速度为零，在 0～3 s内磁感应强度 B都小于 B0，棒所受的安培力都小
于最大静摩擦力，故前 3 s内导体棒静止不动，电流恒为 I＝0.25 A
在 0～3 s内，磁感应强度 B＝B0－kt＝0.2－0.1t T
因导体棒静止不动，ab棒在水平方向受安培力和摩擦力，二力平衡，则有 Ff＝BIL＝(B0－kt)IL
代入数据可得 Ff＝0.012 5(2－t)N(t<3 s)
(3)3～4 s内磁感应强度大小恒为 B2＝0.1 T，ab棒做匀变速直线运动，Δt1＝4 s－3 s＝1 s
设 t＝4 s时棒的速度为 v，第 4 s内的位移为 x，则
v＝v0－aΔt1＝4 m/s
x v0＋v＝ Δt1＝6 m
2
19
ΔΦ
在这段时间内的平均感应电动势 E ＝
Δt1
E B Lx
通过电阻的电荷量 q＝ I Δt 21＝ Δt1＝ ＝1.5 C
R R
答案：(1)0.025 N (2)静止不动 Ff＝0.012 5(2－t)N(t＜3 s) (3)1.5 C
20第 31 讲 电磁感应的综合应用
知识点一、基础回顾
一、电磁感应中的电路问题
1．电源和电阻
2．电流方向
在外电路，电流由高电势流向低电势；在内电路，电流由低电势流向高电势．
二、电磁感应中的图象问题
①随时间 t变化的图象，如 B－t图象、Φ－t图象、
图象类型 E－t图象和 I－t图象
②随位移 x变化的图象，如 E－x图象和 I－x图象
①由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象
问题类型 ②由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应
的物理量(用图象)
左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉
应用知识 第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律，函数
图象等知识
三、电磁感应中的动力学问题
1．安培力的大小
感应电动势：E＝Blv
I E B
2l2v
感应电流： ＝ F＝
R＋r R＋r
安培力公式：F＝BIl
2．安培力的方向
(1)先用 确定感应电流方向，再用 确定安培力方向．
(2)根据楞次定律，安培力方向一定和导体切割磁感线运动方向 ．
四、电磁感应中的能量问题
1
1．能量的转化
闭合电路的部分导体做 运动产生感应电流，感应电流在磁场中受 ．外力克服
安培力做功，将其他形式的能转化为 ，电流做功再将电能转 化为其他形式的能．
2．实质
电磁感应现象的能量转化，实质是其他形式的能和电能之间的转化．
自我检测
1．判断正误
(1)闭合电路的欧姆定律同样适用于电磁感应电路．( )
(2)“相当于电源”的导体棒两端的电压一定等于电源的电动势．( )
(3)闭合电路中电流一定从高电势流向低电势．( )
(4)在有安培力的作用下，导体棒不能做加速运动．( )
(5)电磁感应中求焦耳热时，均可直接用公式 Q＝I2Rt.( )
(6)电路中的电能增加，外力一定克服安培力做了功．( )
2．如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的一半，磁场垂直穿过粗金属环
所在的区域，当磁感应强度均匀变化时，在粗环内产生的电动势为 E，则 ab两点间的电势差为( )
A.E B E．
2 3
C.2E D．E
3
3．如图所示，水平光滑的平行金属导轨，左端接有电阻 R，匀强磁场 B竖直向下分布在导轨所在的空
间内，质量一定的金属棒 PQ垂直导轨放置．今使棒以一定的初速度 v0向右运动，当其通过位置 a、b时，
速率分别为 va、vb，到位置 c时棒刚好静止，设导轨与棒的电阻均不计，a到 b与 b到 c的间距相等，则金
属棒在由 a到 b和由 b到 c的两个过程中( )
A．回路中产生的内能相等
B．棒运动的加速度相等
C．安培力做功相等
D．通过棒横截面积的电荷量相等
4．如图，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其
长边与长直导线平行．已知在 t＝0到 t＝t1的时间间隔内，长直导线中电流 i发生某种变化，而
线框中的感应电流总是沿顺时针方向，线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右．设
电流 i的正方向与图中箭头所示方向相同，则 i随时间 t变化的图线可能是( )
2
解析：选 A.因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相
反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力大于线框的右边受到的安培力，所以合力与
线框的左边受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，线
框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，
所以选项 A 正确，B、C、D 错误.
考点一 电磁感应中的电路问题
1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．
(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻．
2．电源电动势和路端电压
(1)电动势：E＝Blv 或 E＝nΔΦ.
Δt
(2)路端电压：U＝IR E＝E－Ir＝ ·R.
R＋r
强化提升
1．(2017·江西赣中南五校联考)如图所示，用相同导线制成的边长为 L或 2L的 4个单匝闭合回路，它
们以相同的速度先后垂直穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，区域宽度大于 2L，则进入磁
场过程中，电流最大的回路是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
2．(2017·贵州七校联考)(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为 l＝1 m，
cd间、de间、cf间分别接阻值为 R＝10 Ω的电阻．一阻值为 R＝10 Ω的导体棒 ab以速度 v＝4 m/s匀速向左
运动，导体棒与导轨接触良好，导轨所在平面存在磁感应强度大小为 B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下
列说法中正确的是( )
A．导体棒 ab中电流的流向为由 b到 a
B．cd两端的电压为 1 V
C．de两端的电压为 1 V
D．fe两端的电压为 1 V
3
3．(多选)如图所示电路中，均匀变化的匀强磁场只存在于虚线框内，三个电阻阻值之比 R1∶R2∶R3＝1∶
2∶3，其他部分电阻不计．当 S3断开，而 S1、S2闭合时，回路中感应电流为 I，当 S1断开，而 S2、S3闭合
时，回路中感应电流为 5I，当 S2断开，而 S1、S3闭合时，可判断( )
A．闭合回路中感应电流为 4I
B．闭合回路中感应电流为 7I
C．R1、R3消耗的功率之比 PR1∶PR3＝3∶1
D．上下两部分磁场的面积之比 S 上∶S 下＝3∶25
4．(2017·湖北咸宁联考)如图所示，水平面上有两根光滑金属导轨平行固定放置，导轨的电阻不计，间
距为 l＝0.5 m，左端通过导线与阻值 R＝3 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值为 RL＝6 Ω的小灯泡 L连接，
在 CDFE矩形区域内有竖直向上，磁感应强度 B＝0.2 T 的匀强磁场．一根阻值 r＝0.5 Ω、质量 m＝0.2 kg
的金属棒在恒力 F＝2 N的作用下由静止开始从 AB位置沿导轨向右运动，经过 t＝1 s刚好进入磁场区域．求
金属棒刚进入磁场时：
(1)金属棒切割磁感线产生的电动势；
(2)小灯泡两端的电压和金属棒受到的安培力．
解决电磁感应中的电路问题三部曲
4
考点二 电磁感应中的图象问题
1．图象问题的求解类型
据图象分析判断电磁感应过
类型 据电磁感应过程选图象
程
求解流程
2.解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决
此类问题的关键．
3．解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是 B－t图还是Φ－t图，或者 E－t图、I－t图等；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图象或判断图象．
典例分析
考向 1：据电磁感应过程选择图象
问题类型 由给定的电磁感应过程选出正确的图象
根据题意分析相关物理量的函数关系、分析物理过程中的转折点、明确“＋、
解题关键
－”号的含义，结合数学知识做正确的判断
[典例 1] (2017·湖北宜昌模拟)如图所示，有一等腰直角三角形的区域，其斜边长为 2L，高为 L.在该区
域内分布着如图所示的磁场，左侧小三角形内磁场方向垂直纸面向外，右侧小三角形内磁场方向垂直纸面
向里，磁感应强度大小均为 B.一边长为 L、总电阻为 R的正方形导线框 abcd，从图示位置开始沿 x轴正方
向以速度 v 匀速穿过磁场区域．取沿 a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则图中表示线框中电流 i随 bc
边的位置坐标 x变化的图象正确的是( )
5
考向 2：据图象分析判断电磁感应过程
问题类型 由电磁感应图象得出的物理量和规律分析求解动力学、电路等问题
第一个关键是破译，即解读图象中的关键信息(尤其是过程信息)，另一个关键
解题关键
是转换，即有效地实现物理信息和数学信息的相互转换
[典例 2] (2017·河南中原名校联考)如图甲，在水平桌面上固定着两根相距 L＝20 cm、相互平行的无电
阻轨道 P、Q，轨道一端固定一根电阻 R＝0.02 Ω的导体棒 a，轨道上横置一根质量 m＝40 g、电阻可忽略不
计的金属棒 b，两棒相距也为 L＝20 cm，该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场
中．开始时，磁感应强度 B0＝0.1 T．设棒与轨道间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取 10 m/s2.
(1)若保持磁感应强度 B0的大小不变，从 t＝0时刻开始，给 b棒施加一个水平向右的拉力，使它由静止
开始做匀加速直线运动．此拉力 F的大小随时间 t变化关系如图乙所示．求 b棒做匀加速运动的加速度及 b
棒与轨道间的滑动摩擦力；
(2)若从 t＝0开始，磁感应强度 B随时间 t按图丙中图象所示的规律变化，求在金属棒 b开始运动前，
这个装置释放的热量．
6
考向 3：图象的描绘
问题类型 由题目给出的电磁感应现象画出所求物理量的图象
由题目给出的电磁感应过程结合所学物理规律求出所求物理量的函数关系式，
解题关键
然后在坐标系中做出相对应的图象
[典例 3] 如图甲所示，水平面上固定一个间距 L＝1 m 的光滑平行金属导轨，整个导轨处在竖直方向
的磁感应强度 B＝1 T的匀强磁场中，导轨一端接阻值 R＝9 Ω的电阻．导轨上有质量 m＝1 kg、电阻 r＝1 Ω、
长度也为 1 m 的导体棒，在外力的作用下从 t＝0 开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是 v
＝2 t，不计导轨电阻．求：
(1)t＝4 s时导体棒受到的安培力的大小；
(2)请在如图乙所示的坐标系中画出电流平方与时
间的关系(I2 t)图象．
考点三 电磁感应中的动力学和能量问题
1．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
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2.力学对象和电学对象的相互关系
3．能量转化过程的理解
(1)电磁感应现象中产生感应电流的过程，实质上是能量的转化过程．
(2)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，
必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做了多少功，就有多
少其他形式的能转化为电能．
(3)当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．安培力做功的过程，或通过电阻发热的过
程，是电能转化为其他形式能的过程．安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能．
典例分析
1．(2017·安徽宿州一模)(多选)两根足够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻 R，导轨所在
平面与匀强磁场垂直．将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和导轨接触良好，重力加速度
为 g，如图所示．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( )
A．金属棒在最低点的加速度小于 g
B．回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C．当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D．金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
2．(2017·河北邯郸一模)如图所示，一足够长的光滑平行金属轨道，轨道平面与水平面成θ角，上端与
一电阻 R相连，处于方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中．质量为 m、电阻为 r的金属杆 ab，从高为 h处
由静止释放，下滑一段时间后，金属杆开始以速度 v 匀速运动直到轨道的底端．金属杆始终保持与轨道垂
直且接触良好，轨道的电阻及空气阻力均可忽略不计，重力加速度为 g.则( )
A．金属杆加速运动过程中的平均速度为 v/2
B．金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率大于匀速运动过程中克服安培力做功的功率
C gsin θ．当金属杆的速度为 v/2时，它的加速度大小为
2
D 1．整个运动过程中电阻 R产生的焦耳热为 mgh－ mv2
2
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3．(2017·四川资阳诊断)如图所示，无限长金属导轨 EF、PQ固定在倾角为θ＝53°的光滑绝缘斜面上，
轨道间距 L＝1 m，底部接入一阻值为 R＝0.4 Ω的定值电阻，上端开口．垂直斜面向上的匀强磁场的磁感应
强度 B＝2 T．一质量为 m＝0.5 kg的金属棒 ab与导轨接触良好，ab与导轨间的动摩擦因数μ＝0.2，ab连入
导轨间的电阻 r＝0.1 Ω，电路中其余电阻不计．现用一质量为 M＝2.86 kg 的物体通过一不可伸长的轻质细
绳绕过光滑的定滑轮与 ab相连．由静止释放 M，当 M下落高度 h＝2.0 m时，ab开始匀速运动(运动中 ab
始终垂直导轨，并接触良好)．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，取 g＝10 m/s2.求：
(1)ab棒沿斜面向上运动的最大速度 vm；
(2)ab棒从开始运动到匀速运动的这段时间内电阻 R上产生的焦耳热 QR和流过电阻 R的总电荷量 q.
(1)解决动力学问题关键是做好两个分析
①受力分析：准确分析运动导体的受力，特别是安培力，求出合力．
②运动分析：分析导体的运动性质，是加速、减速，还是匀速，从而确定相应的运动规律．
(2)电磁感应现象中电能的求解方法
①若回路中电流恒定，可以利用电路结构及 W＝UIt或 Q＝I2Rt直接进行计算．
②若电流变化，则①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利
用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能．
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课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图所示，上下开口、内壁光滑的铜管 P和塑料管 Q竖直放置，小磁块先后在两管中从相同高度处
由静止释放，并落至底部，则小磁块( )
A．在 P和 Q中都做自由落体运动
B．在两个下落过程中的机械能都守恒
C．在 P中的下落时间比在 Q中的长
D．落至底部时在 P中的速度比在 Q中的大
2．(多选)如图所示，竖直平面内的虚线上方是一匀强磁场 B，从虚线下方竖直上抛一正方形线圈，线
圈越过虚线进入磁场，最后又落回原处，运动过程中线圈平面保持在竖直平面内，不计空气阻力，则( )
A．上升过程克服磁场力做的功大于下降过程克服磁场力做的功
B．上升过程克服磁场力做的功等于下降过程克服磁场力做的功
C．上升过程克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D．上升过程克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率
3．如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为 B，磁场方向相反，且与纸面
垂直，磁场区域在 x轴方向宽度均为 a，在 y轴方向足够宽．现有一高为 a的正三角形导线框从图示位置开
始向右沿 x轴方向匀速穿过磁场区域．若以逆时针方向为电流的正方向，在以下选项中，线框中感应电流 i
与线框移动的位移 x的关系图象正确的是( )
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4．(多选)如图所示，电阻不计、间距为 l的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为 B、方向竖直向
下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻 R.质量为 m、电阻为 r的金属棒 MN置于导轨上，受到垂直于金
属棒的水平外力 F的作用由静止开始运动，外力 F与金属棒速度 v 的关系是 F＝F0＋kv(F0、k是常量)，金
属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为 i，受到的安培力大小为 FA，电阻 R两端的电压为
UR，感应电流的功率为 P，它们随时间 t变化图象可能正确的有( )
5．(多选)如图所示，光滑金属导轨 AC、AD固定在水平面内，并处在方向竖直向下、大小为 B的匀强
磁场中．有一质量为 m的导体棒以初速度 v0从某位置开始在导轨上水平向右运动，最终恰好静止在 A点．在
运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边三角形回路，且通过 A点的总电荷量为 Q.已知导体棒与导轨间的
接触电阻阻值恒为 R，其余电阻不计．则( )
A．该过程中导体棒做匀减速运动
B 1．该过程中接触电阻产生的热量为 mv02
2
C QR．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为 S＝
B
D 1．当导体棒的速度为 v0时，回路中感应电流大小为初始时的一半
2
6．如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为 37°，宽度为 0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一
小灯泡，电阻为 1 Ω.一导体棒 MN垂直于导轨放置，质量为 0.2 kg，接入电路的电阻为 1 Ω，两端与导轨接
触良好，与导轨间的动摩擦因数为 0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为 0.8 T．将
导体棒 MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒 MN的运动速度以及小灯泡消耗
的电功率分别为(重力加速度 g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W
C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W
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[综合应用题组]
7．两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为 L，底端接阻值为 R的电阻．将质量为 m的金属棒悬挂在
一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为 B的匀强磁场垂直，如图
所示．除电阻 R外其余电阻均不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则( )
A．金属棒将做往复运动，动能、弹性势能与重力势能的总和保持不变
B mg．金属棒最后将静止，静止时弹簧的伸长量为
k
C．金属棒最后将静止，电阻 R上产生的总热量为 mg·mg
k
D mg．金属棒第 1次达到最大速度时金属棒的伸长量为
k
8．(多选)如图甲所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为 m，电阻为
R，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN和 PQ是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的 bc边平行，
磁场方向垂直于线框平面向里．现使金属线框从 MN上方某一高度处由静止开始下落，如图乙是金属线框
由开始下落到 bc刚好运动到匀强磁场 PQ边界的 v t图象，图中数据均为已知量．重力加速度为 g，不计空
气阻力．下列说法正确的是( )
A．金属线框刚进入磁场时感应电流方向沿 adcba方向
B 1 mgR．磁场的磁感应强度为
v1 t2－t1 v1
C．金属线框在 0～t3时间内所产生的热量 为 mgv1(t2－t1)
D．MN和 PQ之间的距离为 v1(t2－t1)
9．(多选)如图所示，边长为 L、不可形变的正方形导线框内有半径为 r的圆形磁场区域，其磁感应强度
B随时间 t的变化关系为 B＝kt(常量 k＞0)．回路中滑动变阻器 R的最大阻值为 R0，滑动片 P位于滑动变阻
R
器中央，定值电阻 R 01＝R0、R2＝ .闭合开关 S，电压表的示数为 U，不考虑虚线 MN右侧导体的感应电动
2
势，则( )
A U．R2两端的电压为
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B．电容器的 a极板带正电
C．滑动变阻器 R的热功率为电阻 R2的 5倍
D．正方形导线框中的感应电动势为 kL2
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10．如图，水平面(纸面)内间距为 l的平行金属导轨间接一电阻，质量为 m、长度为 l的金属杆置于导
轨上．t＝0时，金属杆在水平向右、大小为 F的恒定拉力作用下由静止开始运动．t0时刻，金属杆进入磁感
应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻
均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为 g.求
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值．
11．如图，两条相距 l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为 R的电阻；一
与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为 S的区域，区域中存在垂直于
纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小 B1随时间 t的变化关系为 B1＝kt，式中 k为常量；在金属棒右侧还
有一匀强磁场区域，区域左边界 MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为 B0，方向也垂直于纸面向
里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在 t0时刻恰好以速度 v0越过 MN，
此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求：
(1)在 t＝0到 t＝t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻 t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
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12．如图甲所示，平行长直导轨 MN、PQ水平放置，两导轨间距 L＝0.5 m，导轨左端 M、P间接有一
阻值 R＝0.2 Ω的定值电阻，导体棒 ab的质量 m＝0.1 kg，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.1，导体棒垂直于导轨
放在距离左端 d＝1.0 m处，导轨和导体棒始终接触良好，电阻均忽略不计．整个装置处在范围足够大的匀
强磁场中，t＝0时刻，磁场方向竖直向下，此后，磁感应强度 B随时间 t的变化如图乙所示，不计感应电
流产生的磁场的影响．取重力加速度 g＝10 m/s2.
(1)求 t＝0时棒所受到的安培力 F0；
(2)分析前 3 s时间内导体棒的运动情况并求前 3 s内棒所受的摩擦力 Ff随时间 t变化的关系式；
(3)若 t＝3 s时，突然使 ab棒获得向右的速度 v0＝8 m/s，同时垂直棒施加一方向水平、大小可变化的外
力 F，使棒的加速度大小恒为 a＝4 m/s2、方向向左．求从 t＝3 s到 t＝4 s的时间内通过电阻的电荷量 q.
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