第 28 讲 带电粒子在复合场中的运动
知识点一、基础知识
一、复合场与组合场
1．复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现．
二、带电粒子在复合场中的运动分类
1．静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀
强磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．非匀变速曲线运动
当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变
速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是拋物线．
4．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种
不同的运动阶段组成．
自我检测
1．判断正误
(1)带电粒子在复合场中的运动一定要考虑重力．( )
(2)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态．( )
(3)带电粒子在复合场中不可能做匀速圆周运动．( )
(4)带电粒子在复合场中做匀变速直线运动时，一定不受洛伦兹力作用．( )
(5)带电粒子在复合场中做圆周运动时，一定是重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．( )
(6)带电粒子在复合场中运动涉及功能关系时，洛伦兹力可能做功．( )
1
2．(多选)如图所示，两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场 E和匀强磁场 B，有一个带正
电的小球(电荷量为＋q、质量为 m)从电、磁复合场上方的某一高度处自由落下，那么，带电小球可能沿直
线通过电、磁复合场的是( )
3．(多选)在空间某一区域里，有竖直向下的匀强电场 E和垂直纸面向里的匀强磁场 B，且两者正交．有
两个带电油滴，都能在竖直平面内做匀速圆周运动，如右图所示，则两油滴一定相同的是( )
A．带电性质 B．运动周期
C．运动半径 D．运动速率
4．(2017·湖北襄阳调研)如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为 U，带电粒子以某一初速度 v0
沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒
子射入磁场和射出磁场的 M、N两点间的距离 d随着 U 和 v0的变化情况为
( )
A．d随 v0增大而增大，d与 U无关
B．d随 v0增大而增大，d随 U增大而增大
C．d随 U增大而增大，d与 v0无关
D．d随 v0增大而增大，d随 U增大而减小
考点一 带电粒子在组合场中的运动
1．是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以
忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重
力．
2
2．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入匀强电场(不 垂直磁感线进入匀强磁场(不
计重力) 计重力)
电场力 FE＝qE，其大小、方 洛伦兹力 FB＝qvB，其大小不
受力情况 向不变，与速度 v 无关，FE 变，方向随 v 而改变，FB是
是恒力 变力
轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
运动轨迹
利用类似平抛运动的规律求
解：
r mv半径： ＝
vx＝v0，x＝v0t qB
v qE·t T 2πmy＝ ， 周期： ＝
m qB
求解方法
y 1·qE·t2 偏移距离 y和偏转角φ要结合＝
2 m
圆的几何关系利用圆周运动
偏转角φ：
规律讨论求解
tan φ vy qEt＝ ＝
vx mv0
t x φ φm运动时间 ＝ t＝ T＝v0 2π Bq
动能 变化 不变
典例分析
考向 1：先电场后磁场
对于粒子从电场进入磁场的运动，常见的有两种情况：
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运
动．(如图甲、乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时
的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运
动．(如图丙、丁所示)
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．
3
[典例 1] (多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子 P＋和 P3＋，经电压为 U的电场加速
后，垂直进入磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子
P＋ ＋ ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子 P 和 P3 ( )
A．在电场中的加速度之比为 1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为 3∶1
C．在磁场中转过的角度之比为 1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为 1∶3
[典例 2] 如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为 E＝4×105 N/C、方向水平向左的匀强电场，在
m
第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．质量与电荷量之比为 ＝4×10－10 kg/C的带正电粒子从 x轴
q
上的 A点以初速度 v0＝2×107 m/s垂直 x轴射入电场，OA＝0.2 m，不计重力．求：
(1)粒子经过 y轴时的位置到原点 O的距离；
(2)若要求粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度 B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情
况)．
4
考向 2：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图甲、乙所示)
[典例 3] 如图，在 x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外；在 x轴下方
存在匀强电场，电场方向与 xOy平面平行，且与 x轴成 45°夹角．一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子以速
度 v0从 y轴上 P点沿 y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又
经过一段时间 T0，磁场方向变为垂直于纸面向里，大小不变，不计重力．
(1)求粒子从 P点出发至第一次到达 x轴时所需的时间；
(2)若要使粒子能够回到 P点，求电场强度的最大值．
5
[典例 4] 如图所示，一个质量为 m、电荷量为 q的正离子，在 D处沿图示方向以一定的速度射入磁感
应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．结果离子正好从距 A点为 d的小孔 C沿垂直于电场方
向进入匀强电场，此电场方向与 AC平行且向上，最后离子打在 G处，而 G处距 A点 2d(AG⊥AC)．不计离
子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径 r；
(2)离子从 D处运动到 G处所需时间；
(3)离子到达 G处时的动能．
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
6
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由
此可求解问题．
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求
解问题．
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动
能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运
动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、
能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．
强化提升
1. (多选)如图所示，空间存在水平向左的匀强电场 E和垂直纸面向外的匀强磁场 B，在竖直平面内从 a
点沿 ab、ac方向抛出两带电小球，不考虑两带电小球间的相互作用，两小球所带电荷量始终不变，关于小
球的运动，下列说法正确的是( )
A．沿 ab、ac方向抛出的带电小球都可能做直线运动
B．若沿 ab运动小球做直线运动，则该小球带正电，且一定是匀速运动
C．若沿 ac运动小球做直线运动，则该小球带负电，可能做匀加速运动
D．两小球在运动过程中机械能均保持不变
7
2．(2017·安徽淮北模拟)如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域
高度为 d，Ⅱ区域的范围足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为 B，方向分别
垂直纸面向里和向外．一个质量为 m、带电荷量为 q的带电小球从磁场上方的 O点由静止开始下落，进入
场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为 g.
(1)试判断小球的电性并求出电场强度 E的大小；
(2)若带电小球能进入区域Ⅱ，则 h应满足什么条件？
(3)若带电小球运动一定时间后恰能回到 O点，求它释放时距 MN的高度 h.
8
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面向里，将带正电的小球在场中静止释放，
最后落到地面上．关于该过程，下述说法正确的是( )
A．小球做匀变速曲线运动
B．小球减少的电势能等于增加的动能
C．电场力和重力做的功等于小球增加的动能
D．若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变
2．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度
方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将( )
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．一定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
3．(多选)质量为 m、电荷量为 q的微粒以速度 v 与水平方向成θ角从 O点进入方向如图所示的正交的匀
强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到 A，
下列说法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从 O到 A的运动可能是匀变速运动
C mg．该磁场的磁感应强度大小为
qvcos θ
D．该电场的场强为 Bvcos θ
4．(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压 U加速后，水平进入互
相垂直的匀强电场 E和匀强磁场 B的复合场中(E和 B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则
( )
A．小球可能带正电
B r 1 2UE．小球做匀速圆周运动的半径为 ＝
B g
C T 2πE．小球做匀速圆周运动的周期为 ＝
Bg
D．若电压 U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
9
5．(多选)如图所示，在第二象限中有水平向右的匀强电场，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁
场．有一重力不计的带电粒子(电荷量为 q，质量为 m)以垂直于 x轴的速度 v0从 x轴上的 P点进入匀强电场，
恰好与 y轴正方向成 45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于 x轴进入第四象限．已知 OP之间的距
离为 d，则( )
A．带电粒子通过 y轴时的坐标为(0，d)
2
B mv0．电场强度的大小为
2qd
C 3π＋4 d．带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为
2v0
D 2mv0．磁感应强度的大小为
4qd
6．在某空间存在着水平向右的匀强电场 E和垂直于纸面向里的匀强磁场 B，如图所示，一段光滑且绝
缘的圆弧轨道 AC固定在纸面内，其圆心为 O点，半径 R＝1.8 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆
心角θ＝37°. m 3.6 10－4 kg q 9.0 10－今有一质量 ＝ × 、带电荷量 ＝＋ × 4 C的带电小球(可视为质点)，以 v0＝4.0
m/s的初速度沿水平方向从 A点射入圆弧轨道内，一段时间后从 C点离开，小球离开 C点后做匀速直线运
动．已知重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强 E；
(2)小球刚离开 C点时的速度大小；
(3)小球刚射入圆弧轨道时，轨道对小球的瞬间支持力．
10
[综合应用题组]
7. 如图所示，在直角坐标系 xOy平面内，虚线 MN平行于 y轴，N点坐标为(－L,0)，MN与 y轴之间有
沿 y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场(图中未画出)．现
有一质量为 m、电荷量为－e的电子，从虚线 MN上的 P点，以平行于 x轴正方向的初速度 v0射入电场，
并从 y轴上点 A (0，0.5L)射出电场，射出时速度方向与 y轴负方向成 30°角，进入第四象限后，经过矩形磁
3L，－L
场区域，电子过点 Q 6 ，不计电子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度 E的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度 B的大小和电子在磁场中运动的时间 t；
(3)矩形有界匀强磁场区域的最小面积 Smin.
8．如图所示，圆柱形区域的半径为 R，在区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为 B的匀强磁场；
对称放置的三个相同的电容器，极板间距为 d，板间电压为 U，与磁场相切的极板，在切点处均有一小孔，
一带电粒子，质量为 m，带电荷量为＋q，自某电容器极板上的 M点由静止释放，M点在小孔 a的正上方，
若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回 M点，不计带电粒子所受重力．求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(2)U与 B所满足的关系式；
(3)带电粒子由静止释放到再次返回 M点所经历的时间．
11
9．如图所示，在 xOy平面第一象限内有平行于 y轴的匀强电场和垂直于 xOy平面的匀强磁场，匀强电
场电场强度为 E.一带电荷量为＋q的小球从 y轴上离坐标原点距离为 L的 A点处，以沿 x正向的初速度进
L
入第一象限，如果电场和磁场同时存在，小球将做匀速圆周运动，并从 x轴上距坐标原点 的C点离开磁场．如
2
果只撤去磁场，并且将电场反向，带电小球以相同的初速度从 A点进入第一象限，仍然从 x轴上距坐标原
L
点 的 C点离开电场．求：
2
(1)小球从 A点出发时的初速度大小；
(2)磁感应强度 B的大小和方向．
10．如图甲所示，建立 Oxy坐标系．两平行极板 P、Q垂直于 y轴且关于 x轴对称，极板长度和板间距
均为 l.在第一、四象限有磁感应强度为 B的匀强磁场，方向垂直于 Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源
沿 x轴向右连续发射质量为 m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在 0～3t0时间内两板间加
上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知 t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0时刻经极板
边缘射入磁场．上述 m、q、l、t0、B为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压 U0的大小；
(2) 1求 t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
2
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．
12第 28 讲 带电粒子在复合场中的运动
知识点一、基础知识
一、复合场与组合场
1．复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现．
二、带电粒子在复合场中的运动分类
1．静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀
强磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．非匀变速曲线运动
当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变
速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是拋物线．
4．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种
不同的运动阶段组成．
自我检测
1．判断正误
(1)带电粒子在复合场中的运动一定要考虑重力．(×)
(2)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态．(×)
(3)带电粒子在复合场中不可能做匀速圆周运动．(×)
(4)带电粒子在复合场中做匀变速直线运动时，一定不受洛伦兹力作用．(√)
(5)带电粒子在复合场中做圆周运动时，一定是重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．(√)
(6)带电粒子在复合场中运动涉及功能关系时，洛伦兹力可能做功．(×)
1
2．(多选)如图所示，两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场 E和匀强磁场 B，有一个带正
电的小球(电荷量为＋q、质量为 m)从电、磁复合场上方的某一高度处自由落下，那么，带电小球可能沿直
线通过电、磁复合场的是( )
解析：选 CD.A图中小球受重力、向左的电场力、向右的洛伦兹力，下降过程中速度一定变大，故洛伦
兹力一定增大，不可能一直与电场力平衡，故合力不可能一直向下，故一定做曲线运动，故 A错误．B图
中小球受重力、向上的电场力、垂直纸面向外的洛伦兹力，合力与速度方向一定不共线，故一定做曲线运
动，故 B错误．C图中小球受重力、向左上方的电场力、水平向右的洛伦兹力，若三力平衡，则小球做匀
速直线运动，故 C正确．D图中小球受向下的重力和向上的电场力，合力一定与速度共线，故小球一定做
直线运动，故 D正确．
3．(多选)在空间某一区域里，有竖直向下的匀强电场 E和垂直纸面向里的匀强磁场 B，且两者正交．有
两个带电油滴，都能在竖直平面内做匀速圆周运动，如右图所示，则两油滴一定相同的是( )
A．带电性质 B．运动周期
C．运动半径 D．运动速率
解析：选 AB.油滴受重力、电场力、洛伦兹力做匀速圆周运动．由受力特点及
q g
运动特点知，得mg＝qE，结合电场方向知油滴一定带负电且两油滴比荷 ＝ 相等．洛
m E
2πm
伦兹力提供向心力，有周期 T＝ ，所以两油滴周期相等，故选 A、B.由 r mv＝ 知，速度 v 越大，半径则
qB qB
越大，故不选 C、D.
4．(2017·湖北襄阳调研)如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为 U，带电粒子以某一初速度 v0
沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒
子射入磁场和射出磁场的 M、N两点间的距离 d随着 U和 v0的变化情况为( )
A．d随 v0增大而增大，d与 U无关
B．d随 v0增大而增大，d随 U增大而增大
C．d随 U增大而增大，d与 v0无关
D．d随 v0增大而增大，d随 U增大而减小
解析：选 A. v0设粒子从 M点进入磁场时的速度大小为 v，该速度与水平方向的夹角为θ，故有 v＝ .
cos θ
mv mv0
粒子在磁场中做匀速圆周运动半径为 r＝ .而 MN之间的距离为 d＝2rcos θ.联立解得 d＝2 ，故选项 A
qB qB
正确．
2
考点一 带电粒子在组合场中的运动
1．是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以
忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重
力．
2．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入匀强电场(不 垂直磁感线进入匀强磁场(不
计重力) 计重力)
电场力 FE＝qE，其大小、方 洛伦兹力 FB＝qvB，其大小不
受力情况 向不变，与速度 v 无关，FE 变，方向随 v 而改变，FB是
是恒力 变力
轨迹 抛物线 圆或圆的一部分
运动轨迹
利用类似平抛运动的规律求
解： mv
半径：r＝
vx＝v0，x＝v0t qB
v qEy＝ ·t
2πm
， 周期：T＝
m qB
求解方法
y 1＝ ·qE·t2 偏移距离 y和偏转角φ要结合
2 m
圆的几何关系利用圆周运动
偏转角φ：
规律讨论求解
tan φ vy qEt＝ ＝
vx mv0
x φ φm
运动时间 t＝ t＝ T＝v0 2π Bq
动能 变化 不变
3
典例分析
考向 1：先电场后磁场
对于粒子从电场进入磁场的运动，常见的有两种情况：
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运
动．(如图甲、乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时
的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运
动．(如图丙、丁所示)
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．
[典例 1] ( ＋ ＋多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子 P 和 P3 ，经电压为 U的电场加速
后，垂直进入磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子
P＋ ＋ ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子 P 和 P3 ( )
A．在电场中的加速度之比为 1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为 3∶1
C．在磁场中转过的角度之比为 1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为 1∶3
解析 两离子质量相等，所带电荷量之比为 1∶3，在电场中运动时，由牛 顿第
U 1
二定律得 q ＝ma，则加速度之比为 1∶3，A错误．在电场中仅受电场力作用，由动能定理得 qU＝Ek＝ mv2，
d 2
在磁场中仅受洛伦兹力作用，洛伦兹力永不做功，动能之比为 1∶3，D正确．由磁场中洛伦兹力提供向心
v2 mv 1 2mU d
力知 qvB＝m ，得 r＝ ＝ ，半径之比为 3∶1，B正确．设磁场区域的宽度为 d，则有 sin θ＝
r qB B q R
1 sin 30° 1
∝ ，即 ＝ ，故θ′＝60°＝2θ，可知 C正确．
R sin θ′ 3
答案 BCD
[典例 2] 如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为 E＝4×105 N/C、方向水平向左的匀强电场，在
m
第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．质量与电荷量之比为 ＝4×10－10 kg/C的带正电粒子从 x轴
q
上的 A点以初速度 v0＝2×107 m/s垂直 x轴射入电场，OA＝0.2 m，不计重力．求：
(1)粒子经过 y轴时的位置到原点 O的距离；
(2)若要求粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度 B的取值范围(不考虑粒子第二次进
4
入电场后的运动情况)．
解析 (1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为 t，粒子经过 y轴时的位
置与原点 O的距离为 y，沿电场方向：qE＝ma
s 1OA＝ at2
2
垂直电场方向：y＝v0t
联立解得
a＝1.0×1015 m/s2；t＝2.0×10－8 s；y＝0.4 m
(2)粒子经过 y轴时在电场方向的分速度为：
vx＝at＝2×107 m/s
粒子经过 y轴时的速度大小为：
v＝ v2x＋v20＝2 2×107 m/s
与 y轴正方向的夹角为θ，则θ＝arctanvx＝45°
v0
要使粒子不进入第Ⅲ象限，如图所示，此时粒子做匀速圆周运动的轨道半径为 R，由几何关系得：
R 2＋ R≤y
2
v2
在磁场中由牛顿第二定律得 qvB＝m
R
联立解得 B≥(2 2＋2) －×10 2T
答案 (1)0.4 m (2)B≥(2 2＋2)×10－2T
考向 2：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图甲、乙所示)
5
[典例 3] 如图，在 x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外；在 x轴下方
存在匀强电场，电场方向与 xOy平面平行，且与 x轴成 45°夹角．一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子以速
度 v0从 y轴上 P点沿 y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又
经过一段时间 T0，磁场方向变为垂直于纸面向里，大小不变，不计重力．
(1)求粒子从 P点出发至第一次到达 x轴时所需的时间；
(2)若要使粒子能够回到 P点，求电场强度的最大值．
解析 (1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为 R，运动周期
为 T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律有，
mv2qv 00B＝ ①
R
T 2πR＝ ②
v0
5 5
依题意，粒子第一次到达 x轴时，运动转过的角度为 π，所需时间 t1＝ T③
4 8
联立①②③式得
t 5πm1＝ ④
4qB
(2) 粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为 0，然后沿
原路返回做匀加速运动，到达 x轴时速度大小仍为 v0.设粒子在电场中运动的总时间为 t2，加速度大小为 a，
电场强度大小为 E，有
qE＝ma⑤
v 10＝ at2⑥
2
联立⑤⑥式得
t 2mv02＝ ⑦
qE
根据题意，要使粒子能够回到 P点，必须满足
t2≥T0⑧
联立⑦⑧式得，电场强度的最大值为
E 2mv0＝ ⑨
qT0
答案 (1)5πm (2)2mv0
4qB qT0
6
[典例 4] 如图所示，一个质量为 m、电荷量为 q的正离子，在 D处沿图示方向以一定的速度射入磁感
应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．结果离子正好从距 A点为 d的小孔 C沿垂直于电场方
向进入匀强电场，此电场方向与 AC平行且向上，最后离子打在 G处，而 G处距 A点 2d(AG⊥AC)．不计离
子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径 r；
(2)离子从 D处运动到 G处所需时间；
(3)离子到达 G处时的动能．
解析 (1) 2正离子轨迹如图所示．圆周运动半径 r满足：d＝r＋rcos 60°，解得 r＝ d.
3
2
(2) v0 2πr 2πm设离子在磁场中的运动速度为 v0，则有 qv0B＝m ，T＝ ＝ .
r v0 qB
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为
t 1T 2πm1＝ ＝ .
3 3Bq
离子在电场中做类平抛运动，从 C到 G的时间为
t 2d 3m2＝ ＝ .
v0 Bq
离子从 D处运动到 G处的总时间为
t t t 9＋2π m＝ 1＋ 2＝ .
3Bq
(3) 1设电场强度为 E，则有 qE＝ma，d＝ at22.
2
根据动能定理得 qEd 1＝EkG－ mv02，
2
2 2 2
解得 E 4B q dkG＝ .
9m
2 2 2
答案 (1)2d (2) 9＋2π m (3)4B q d
3 3Bq 9m
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
7
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由
此可求解问题．
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求
解问题．
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动
能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运
动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、
能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．
强化提升
1. (多选)如图所示，空间存在水平向左的匀强电场 E和垂直纸面向外的匀强磁场 B，在竖直平面内从 a
点沿 ab、ac方向抛出两带电小球，不考虑两带电小球间的相互作用，两小球所带电荷量始终不变，关于小
球的运动，下列说法正确的是( )
A．沿 ab、ac方向抛出的带电小球都可能做直线运动
B．若沿 ab运动小球做直线运动，则该小球带正电，且一定是匀速运动
C．若沿 ac运动小球做直线运动，则该小球带负电，可能做匀加速运动
D．两小球在运动过程中机械能均保持不变
解析：选 AB.沿 ab抛出的带电小球受重力、电场力、洛伦兹力，根据左手定则，可知，只有带正电，
受力才能平衡，而沿 ac方向抛出的带电小球，由上分析可知，小球带负电时，受力才能平衡，因速度影响
洛伦兹力大小，所以若做直线运动，则必然是匀速直线运动，故 A、B正确，C错误；在运动过程中，因电
场力做功，导致小球的机械能不守恒，故 D错误．
8
2．(2017·安徽淮北模拟)如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域
高度为 d，Ⅱ区域的范围足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为 B，方向分别
垂直纸面向里和向外．一个质量为 m、带电荷量为 q的带电小球从磁场上方的 O点由静止开始下落，进入
场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为 g.
(1)试判断小球的电性并求出电场强度 E的大小；
(2)若带电小球能进入区域Ⅱ，则 h应满足什么条件？
(3)若带电小球运动一定时间后恰能回到 O点，求它释放时距 MN的高度 h.
解析：(1)带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，即所受合力为洛
伦兹力，则重力与电场力大小相等，方向相反，重力竖直向下，电场力竖直向
mg
上，即小球带正电．则有 qE＝mg，解得 E＝ .
q
(2)假设下落高度为 h0时，带电小球在Ⅰ区域做圆周运动的圆弧与 PQ相切时，运动轨迹如图甲所示，
由几何知识可知，小球的轨道半径 R＝d，
带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由动能定理
得
mgh 10＝ mv2，
2
带电小球在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
得
2
qvB＝mv ，
R
q2B2d2
解得 h0＝ ，
2m2g
h h h q
2B2d2
则当 ＞ 0时，即 ＞ 时带电小球能进入区域Ⅱ.
2m2g
(3)如图乙所示，因为带电小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中 q、v、B、m的大小不变，故三段圆周运
d
动的半径相同，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为 2R，内角为 60°，由几何关系知 R＝ ，
sin 60°
2q2B2d2
联立解得 h＝ .
3m2g
mg q2B2d2 2q2B2d2
答案：(1)正电 (2)h＞ 2 (3)q 2m g 3m2g
9
课时练习 正确率：
※温馨提示：学生完成题目后，提醒学生给做错的题标星级，星级标准为：简单-“☆”；中等- “☆☆”；较难-
“☆☆☆”。
[基础巩固题组]
1．如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面向里，将带正电的小球在场中静止释放，
最后落到地面上．关于该过程，下述说法正确的是( )
A．小球做匀变速曲线运动
B．小球减少的电势能等于增加的动能
C．电场力和重力做的功等于小球增加的动能
D．若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变
解析：选 C.重力和电场力是恒力，但洛伦兹力是变力，因此合外力是变化的，由牛顿第二定律知其加
速度也是变化的，选项 A错误；由动能定理和功能关系知，选项 B错误，选项 C正确；磁感应强度减小时，
小球落地时的水平位移会发生变化，则电场力所做的功也会随之发生变化，选项 D错误．
2．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度
方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将( )
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．一定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
解析：选 C.带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也
随之发生变化，故带电质点不可能做直线运动，也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动，C正确．
3．(多选)质量为 m、电荷量为 q的微粒以速度 v 与水平方向成θ角从 O点进入方向如图所示的正交的匀
强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到 A，
下列说法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从 O到 A的运动可能是匀变速运动
C mg．该磁场的磁感应强度大小为
qvcos θ
D．该电场的场强为 Bvcos θ
解析：选 AC.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力 mg、水平向左的电场力 qE和斜向右下方的洛伦
兹力 qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力 mg、水平向右的电场
力 qE和斜向左上方的洛伦兹力 qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到 A，可知微粒应该做匀速直线运动，则
mg
选项 A正确，B错误；由平衡条件有：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度 B＝ ，电
qvcos θ
10
场的场强 E＝Bvsin θ，故选项 C正确，D错误．
4．(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压 U加速后，水平进入互
相垂直的匀强电场 E和匀强磁场 B的复合场中(E和 B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则
( )
A．小球可能带正电
B 1 2UE．小球做匀速圆周运动的半径为 r＝
B g
C．小球做匀速圆周运动的周期为 T 2πE＝
Bg
D．若电压 U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
解析：选 BC.小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受到的电场力和重力满足 mg＝Eq，方向相反，
则小球带负电，A错误；因为小球做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由牛顿第二定律和动能定理可得：
Bqv mv
2
Uq 1mv2 r 1 2UE＝ ， ＝ ，联立两式可得：小球做匀速圆周运动的半径 ＝ ，由 T 2πr 2πE＝ 可以得出 T＝ ，
r 2 B g v Bg
与电压 U无关，所以 B、C正确，D错误．
5．(多选)如图所示，在第二象限中有水平向右的匀强电场，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁
场．有一重力不计的带电粒子(电荷量为 q，质量为 m)以垂直于 x轴的速度 v0从 x轴上的 P点进入匀强电场，
恰好与 y轴正方向成 45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于 x轴进入第四象限．已知 OP之间的距
离为 d，则( )
A．带电粒子通过 y轴时的坐标为(0，d)
mv2B 0．电场强度的大小为
2qd
C 3π＋4 d．带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为
2v0
D 2mv0．磁感应强度的大小为
4qd
解析：选 BC. 粒子在电场中做类平抛运动，因为进入磁场时速度方向与 y
轴正方向成 45°角，所以沿 x轴正方向的分速度 vx＝v0，在 x轴正方向做匀加速
0＋v0
运动，有 d＝ t，沿 y轴正方向做匀速运动，有 s＝v0t＝2d，故选项 A错误．沿
2
2
x轴正方向做匀加速运动，根据 vx＝v Eq 2d 2Eqd
mv0
0＝ × ＝ ，解得 E＝ ，故选项 B正确．粒子进入磁场后做
m v0 mv0 2qd
3
匀速圆周运动，轨迹如图所示，由图可知粒子在磁场中运动的半径 R＝2 2d，圆心角θ＝135°＝ π，所以在
4
2πR 135×
360 3π×2 2dt 3πd 2d磁场中的运动时间为 1＝ ＝ ＝ ；在电场中的运动时间为 t2＝ ，所以总时间为 t＝t1
2v 4 2v 2v0 v00 0
11
3π＋4 d mv2 m× 2v
＋t2＝ ，故选项 C
0 mv0
正确．由 qvB＝ 可知，磁感应强度 B＝ ＝ ，故选项 D错误．
2v0 R q×2 2d 2qd
6．在某空间存在着水平向右的匀强电场 E和垂直于纸面向里的匀强磁场 B，如图所示，一段光滑且绝
缘的圆弧轨道 AC固定在纸面内，其圆心为 O点，半径 R＝1.8 m，OA连线在竖直方向上，AC弧对应的圆
心角θ＝37°.今有一质量 m＝3.6 － －×10 4 kg、带电荷量 q＝＋9.0×10 4 C的带电小球(可视为质点)，以 v0＝4.0
m/s的初速度沿水平方向从 A点射入圆弧轨道内，一段时间后从 C点离开，小球离开 C点后做匀速直线运
动．已知重力加速度 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强 E；
(2)小球刚离开 C点时的速度大小；
(3)小球刚射入圆弧轨道时，轨道对小球的瞬间支持力．
解析：(1)当小球离开圆弧轨道后，对其受力分析如图甲所示，由平衡条
件得 F 电＝qE＝mgtan θ，
代入数据解得 E＝3 N/C.
(2)小球从进入圆弧轨道到离开圆弧轨道的过程中，由动能定理得
2 2
F 电Rsin θ mgR(1 cos θ)
mv mv0
－ － ＝ － ，
2 2
代入数据得 v＝5 m/s.
(3)由(1)可知 F 洛＝qvB
mg
＝ ，
cos θ
解得 B＝1 T，
小球射入圆弧轨道瞬间竖直方向的受力情况如图乙所示，
2
由牛顿第二定律得 FN＋Bqv
mv0
0－mg＝ ，
R
代入数据得 FN＝3.2×10－3 N.
[综合应用题组]
7. 如图所示，在直角坐标系 xOy平面内，虚线 MN平行于 y轴，N点坐标为(－L,0)，MN与 y轴之间有
沿 y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场(图中未画出)．现
有一质量为 m、电荷量为－e的电子，从虚线 MN上的 P点，以平行于 x轴正方向的初速度 v0射入电场，
并从 y轴上点 A (0，0.5L)射出电场，射出时速度方向与 y轴负方向成 30°角，进入第四象限后，经过矩形磁
3L，－L
场区域，电子过点 Q 6 ，不计电子重力，求：
(1)匀强电场的电场强度 E的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度 B的大小和电子在磁场中运动的时间 t；
(3)矩形有界匀强磁场区域的最小面积 Smin.
解析：(1)设电子在电场中运动的加速度为 a，时间为 t，离开电场时，沿 y
12
轴方向的速度大小为 vy，则 L＝v0t
a eE＝
m
vy＝at
v v0y＝
tan 30°
E 3mv
20
解得： ＝
eL
(2) 设轨迹与 x轴的交点为 D，OD距离为 xD，则
xD＝0.5Ltan 30° 3＝ L
6
所以，DQ平行于 y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在 DQ上，电子运动轨迹如图所示．
设电子离开电场时速度为 v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r，
2
则 evB mv＝
r
v v0＝
sin 30°
r L
由几何关系有 r＋ ＝L，即 r＝
sin 30° 3
6mv0
联立以上各式解得 B＝
eL
T
电子转过的圆心角为 120°，则得 t＝
3
2πr πL
T 2πm
或 T＝ ＝
＝ v 3v0
eB
πL
得 t＝
9v0
(3)以切点 F、Q的连线长为矩形的一条边，与电子的运动轨迹相切的另一边作为其 FQ的对边，有界匀
强磁场区域面积为最小．
Smin＝ 3r r×
2
2
得 S 3Lmin＝
18
3mv2(1) 0 (2)6mv0 πL
2
答案： (3) 3L
eL eL 9v0 18
13
8．如图所示，圆柱形区域的半径为 R，在区域内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为 B的匀强磁场；
对称放置的三个相同的电容器，极板间距为 d，板间电压为 U，与磁场相切的极板，在切点处均有一小孔，
一带电粒子，质量为 m，带电荷量为＋q，自某电容器极板上的 M点由静止释放，M点在小孔 a的正上方，
若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回 M点，不计带电粒子所受重力．求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(2)U与 B所满足的关系式；
(3)带电粒子由静止释放到再次返回 M点所经历的时间．
解析：(1)由几何关系解得 r＝ 3R.
(2)设粒子加速后获得的速度为 v，
qU 1由动能定理得 ＝ mv2－0，
2
2
由洛伦兹力提供向心力，得 qvB mv＝ ，
r
B 1 2mU联立解得 ＝ .
R 3q
(3)根据运动电荷在磁场中做匀速圆周运动的周期
T 2πm＝ ＝2πR 3m，
qB 2qU
1 1
依题意分析可知粒子在磁场中运动一次所经历的时间为 T，故粒子在磁场中运动的总时间 t1＝3× T
6 6
3m
＝πR ，
2qU
而粒子在匀强电场中所做运动类似竖直上抛运动，设每次上升或下降过程经历的时间为 t2，则有
d 1＝ at22，
2
a qU＝ ，
md
t d 2m解得 2＝ ，
qU
粒子在电场中运动的总时间为
t3＝6t2＝6d
2m.
qU
带电粒子由静止释放到再次返回 M点所经历的时间为
t 3m 2m＝t1＋t3＝πR ＋6d .
2qU qU
(1) 3R (2)B 1 2mU答案： ＝
R 3q
(3)πR 3m 2m＋6d
2qU qU
14
9．如图所示，在 xOy平面第一象限内有平行于 y轴的匀强电场和垂直于 xOy平面的匀强磁场，匀强电
场电场强度为 E.一带电荷量为＋q的小球从 y轴上离坐标原点距离为 L的 A点处，以沿 x正向的初速度进
L
入第一象限，如果电场和磁场同时存在，小球将做匀速圆周运动，并从 x轴上距坐标原点 的C点离开磁场．如
2
果只撤去磁场，并且将电场反向，带电小球以相同的初速度从 A点进入第一象限，仍然从 x轴上距坐标原
L
点 的 C点离开电场．求：
2
(1)小球从 A点出发时的初速度大小；
(2)磁感应强度 B的大小和方向．
解析：(1)由带电小球做匀速圆周运动知 mg＝Eq
所以电场反向后竖直方向受力
Eq＋mg＝ma得 a＝2g
L 1
小球做类平抛运动，有 ＝v0t，L＝ at2
2 2
1
得 v0＝ gL
2
(2)带电小球做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，有
qv B mv
20 B mv00 ＝ 得 ＝
R qR
L
由圆周运动轨迹分析得(L－R)2＋ 2 2＝R2
R 5L＝
8
代入得 B 4E gL＝
5gL
由左手定则得，磁感应强度垂直于 xOy平面向外．
答案：(1)1 gL (2)4E gL，垂直于 xOy平面向外
2 5gL
10．如图甲所示，建立 Oxy坐标系．两平行极板 P、Q垂直于 y轴且关于 x轴对称，极板长度和板间距
均为 l.在第一、四象限有磁感应强度为 B的匀强磁场，方向垂直于 Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源
沿 x轴向右连续发射质量为 m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在 0～3t0时间内两板间加
上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知 t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0时刻经极板
边缘射入磁场．上述 m、q、l、t0、B为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压 U0的大小；
(2) 1求 t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
2
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．
15
解析：(1)t＝0 时刻进入两板间的带电粒子在电场
中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在
y 1轴负方向偏移的距离为 l，则有
2
E U＝ 0①
l
qE＝ma②
1l 1＝ at20③
2 2
联立①②③式，解得两板间偏转电压为
2
U ml0＝ ④
qt02
(2)1t 1 10时刻进入两板间的带电粒子，前 t0时间在电场中偏转，后 t0时间两板间没有电场，带电粒子做
2 2 2
匀速直线运动．
带电粒子沿 x轴方向的分速度大小为
v l0＝ ⑤
t0
带电粒子离开电场时沿 y轴负方向的分速度大小为
v 1y＝a· t0⑥
2
带电粒子离开电场时的速度大小为
v＝ v02＋vy2⑦
v2
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R，则有 qvB＝m ⑧
R
联立③⑤⑥⑦⑧式解得
R 5ml＝ ⑨
2qBt0
(3)2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿 y轴正方向的分速度
为
vy′＝at0⑩
v0
设带电粒子离开电场时速度方向与 y轴正方向夹角为α，则 tan α＝
vy′
联立③⑤⑩ 式解得
α π＝
4
π
带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，圆弧所对的圆心角 2α＝ ，所求最短时间为
2
16
t 1min＝ T
4
带电粒子在磁场中运动的周期为
T 2πm＝
qB
πm
联立 式得 tmin＝
2qB
ml2
答案：(1) (2) 5ml (3)2t πm
2 0qt0 2qBt0 2qB
17
