人教版数学八年级下册 18.1.1平行四边形的性质课件(42张ppt)
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 18.1.1平行四边形的性质课件(42张ppt) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-07 19:46:30 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
第十八章 平行四边形
第一节 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
1.记住平行四边形的相关概念，探究平行四边形的性质。
2.会添加辅助线证明性质，记住性质并能应用性质解决简单的计算。
教学目标
重点: 1、探索并证明平行四边形的性质。
2、应用平行四边形的性质进行简单计算、推理。
难点: 正确利用平行四边形的性质解决问题。
重点难点
寻找生活中的平行四边形
导入新课
平行四边形的定义
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD
平行四边形ABCD
□ABCD
记作：
读作：
A
D
C
B
两要素
新知详解
∵AB∥CD， AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD， AD∥BC
（平行四边形的定义）
（平行四边形的定义）
几何语言
新知详解
1.平行四边形的边具有哪些性质？
2.平行四边形的角具有哪些性质？
A
B
C
D
平行四边形的性质
探究1
猜想
对边相等，对角相等
新知详解
请用直尺,量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确
量一量
A
B
C
D
结果：AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D
猜想正确。
你能证明吗？
新知详解
从拼图可以得到什么启示？
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？
新知详解
求证：AB=CD，AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D.
已知：四边形ABCD为平行四边形
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AB ∥CD
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4
在△ADC与△CBA中
∠1=∠2，
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ADC≌△CBA
∴ AD=CB,AB=CD, ∠B=∠D
又∵∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠BAD=∠DCB
连结AC
A
B
C
D
4
1
3
2
新知详解
平行四边形性质定理1：
平行四边形的对边相等.
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ AB=CD,AD=BC
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠A=∠C, ∠B=∠D
A
B
C
D
新知详解
平行四边形中知道一个角就可以求出另外三个角的度数。
想一想
已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
新知详解
例1 如图， □ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
∵DE⊥AB，BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∴△AED≌△CFB.
∴AE=CF.
新知详解
H
A
D
G
若a // b，作 DA // HG ，分别交 b于D、H，交 a于A、G。则线段DA与HG有什么关系？
由平行四边形的对边性质可知：DA=HG
两条平行线之间的平行线段相等.
b
a
两条平行线之间的距离：
又作 CB // HG ，交 b于C，交 a于B。则线段CB与HG有什么关系？
CB=HG=DA
C
B
新知详解
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
则 DA HG CB.
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
A
B
C
D
a
b
H
G
=
=
两条平行线之间的距离相等。
新知详解
已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是 cm。
分析：当如图1所示时，
两平行线间的距离=4﹣1=3cm；
当如图2所示时，
两平行线间的距离=4+1=5cm．
故答案为：3或5。
3或5
巩固练习
1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=140°，那么∠A= ，∠D= ．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得∠A=∠C，∠B=∠D，又由∠A+∠C=140°，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即可求得答案．
110°
70°
精题突破
2.如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，BA延长线上的点，且AE∥CF，AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：EG=FH．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，又由AE∥CF，即可证得四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，继而可证得HF=GE．
精题突破
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，
∴AE=CF，AG=CH，
∴AG-AE=CH-CF，
∴EG=FH．
精题突破
3.平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求平行四边形的各边的长．
分析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，可设较短的边为2x，则较长的为5x，根据题意列方程即可求出．
精题突破
解析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，
设较短的边为2x，则较长的为5x，
∴2x+5x=14，
∴x=2，
∴5x=5×2=10，2x=2×2=4，
∴平行四边形的各边的长分别为10cm、4cm、10cm、4cm．
精题突破
新课讲解
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交
于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
平行四边形的对角线互相平分。
探究2
猜想
新知详解
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
旋转180°后与自身重合平行四边形 ABCD是中心对称图形，点O是对称中心
新知详解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
已知：如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
在△AOB和△COD中
∴AB∥CD，AD ∥BC(平行四边形的性质)
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
∴ △AOB≌△COD(ASA )
∴OA=OC，OB=OD.（全等三角形的对应边相等）
1
2
3
4
新知详解
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
平行四边形性质定理2：
新知详解
例2 如图，在口ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及口ABCD的面积．
A
O
C
B
D
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴ΔABC是直角三角形.
∴AC==6
又 OA=OC
∴ OA=AC=3，∴S口ABCD=BC·AC=8×6=48
新知详解
4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．求证：BE⊥AC．
分析：由平行四边形的性质得出BD=2OB，再证明OB=AB，由E为OA的中点，根据三线合一性质即可证出BE⊥AC．
精题突破
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
又∵E为OA的中点，
∴BE⊥AC．
精题突破
分析：根据AC=AB证明＝ ，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．
5、如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，求证：∠ABD=∠DAC．
精题突破
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=AB，
∴AO=AB，∴ =，
∵==，∴＝ ，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC
利用平行线所截的内错角相等。
精题突破
1、如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35°，则∠D的度数为（ ）
A．55° B．35°
C．25° D．30°
A
达标检测
2、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
D
达标检测
3、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是（ ）
A．6 B．8
C．14 D．16．
C
达标检测
4.如图，在 ABCD中，AE是∠BAD的平分线交DC于点E，求证：CE+BC=AB。
分析：根据平行四边形的性质，可以得到AB=CD，AD=BC，由AE是∠BAD的平分线，灵活变化即可得到CE、BC、AB的关系，本题得以解决．
达标检测
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∴DC=AD+CE，
∴AB=CE+BC，
即CE+BC=AB．
达标检测
1、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
课堂小结
1.已知如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF。（用两种方法证明）
分析：①由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAC=∠DCA，由SAS证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可；
②连接DE、BF，连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论。
拓展提升
解析：方法①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAC=∠DCA．∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE＝CF
∠BAE＝∠DCF
AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF。
拓展提升
解析：方法②：连接DE、BF，连接BD交AC于O，
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
拓展提升
2.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
分析：这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程。作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2
拓展提升
解析：如图：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，
求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF。
拓展提升
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
拓展提升
第十八章 平行四边形
第一节 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
1.记住平行四边形的相关概念，探究平行四边形的性质。
2.会添加辅助线证明性质，记住性质并能应用性质解决简单的计算。
教学目标
重点: 1、探索并证明平行四边形的性质。
2、应用平行四边形的性质进行简单计算、推理。
难点: 正确利用平行四边形的性质解决问题。
重点难点
寻找生活中的平行四边形
导入新课
平行四边形的定义
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形ABCD
平行四边形ABCD
□ABCD
记作：
读作：
A
D
C
B
两要素
新知详解
∵AB∥CD， AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD， AD∥BC
（平行四边形的定义）
（平行四边形的定义）
几何语言
新知详解
1.平行四边形的边具有哪些性质？
2.平行四边形的角具有哪些性质？
A
B
C
D
平行四边形的性质
探究1
猜想
对边相等，对角相等
新知详解
请用直尺,量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D是否正确
量一量
A
B
C
D
结果：AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D
猜想正确。
你能证明吗？
新知详解
从拼图可以得到什么启示？
平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？
新知详解
求证：AB=CD，AD=BC, ∠A=∠C, ∠B=∠D.
已知：四边形ABCD为平行四边形
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AB ∥CD
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4
在△ADC与△CBA中
∠1=∠2，
AC=CA
∠3=∠4
∴ △ADC≌△CBA
∴ AD=CB,AB=CD, ∠B=∠D
又∵∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠BAD=∠DCB
连结AC
A
B
C
D
4
1
3
2
新知详解
平行四边形性质定理1：
平行四边形的对边相等.
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ AB=CD,AD=BC
平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠A=∠C, ∠B=∠D
A
B
C
D
新知详解
平行四边形中知道一个角就可以求出另外三个角的度数。
想一想
已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
新知详解
例1 如图， □ ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
A
B
C
D
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
∵DE⊥AB，BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∴△AED≌△CFB.
∴AE=CF.
新知详解
H
A
D
G
若a // b，作 DA // HG ，分别交 b于D、H，交 a于A、G。则线段DA与HG有什么关系？
由平行四边形的对边性质可知：DA=HG
两条平行线之间的平行线段相等.
b
a
两条平行线之间的距离：
又作 CB // HG ，交 b于C，交 a于B。则线段CB与HG有什么关系？
CB=HG=DA
C
B
新知详解
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
则 DA HG CB.
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
A
B
C
D
a
b
H
G
=
=
两条平行线之间的距离相等。
新知详解
已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是 cm。
分析：当如图1所示时，
两平行线间的距离=4﹣1=3cm；
当如图2所示时，
两平行线间的距离=4+1=5cm．
故答案为：3或5。
3或5
巩固练习
1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=140°，那么∠A= ，∠D= ．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得∠A=∠C，∠B=∠D，又由∠A+∠C=140°，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即可求得答案．
110°
70°
精题突破
2.如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，BA延长线上的点，且AE∥CF，AE，CF分别交BC，AD于点G，H，求证：EG=FH．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，又由AE∥CF，即可证得四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，继而可证得HF=GE．
精题突破
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF与四边形AGCH是平行四边形，
∴AE=CF，AG=CH，
∴AG-AE=CH-CF，
∴EG=FH．
精题突破
3.平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm，求平行四边形的各边的长．
分析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，可设较短的边为2x，则较长的为5x，根据题意列方程即可求出．
精题突破
解析：根据平行四边形的性质可知：邻边之和为周长的一半，
设较短的边为2x，则较长的为5x，
∴2x+5x=14，
∴x=2，
∴5x=5×2=10，2x=2×2=4，
∴平行四边形的各边的长分别为10cm、4cm、10cm、4cm．
精题突破
新课讲解
如图，在□ ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交
于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系？
D
A
B
C
O
平行四边形的对角线互相平分。
探究2
猜想
新知详解
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
旋转180°后与自身重合平行四边形 ABCD是中心对称图形，点O是对称中心
新知详解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
已知：如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
在△AOB和△COD中
∴AB∥CD，AD ∥BC(平行四边形的性质)
∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
∴ △AOB≌△COD(ASA )
∴OA=OC，OB=OD.（全等三角形的对应边相等）
1
2
3
4
新知详解
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
平行四边形性质定理2：
新知详解
例2 如图，在口ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及口ABCD的面积．
A
O
C
B
D
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8， CD=AB=10.
∵ AC⊥BC，
∴ΔABC是直角三角形.
∴AC==6
又 OA=OC
∴ OA=AC=3，∴S口ABCD=BC·AC=8×6=48
新知详解
4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD=2AB，E是OA的中点．求证：BE⊥AC．
分析：由平行四边形的性质得出BD=2OB，再证明OB=AB，由E为OA的中点，根据三线合一性质即可证出BE⊥AC．
精题突破
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB，
∵BD=2AB，
∴OB=AB，
又∵E为OA的中点，
∴BE⊥AC．
精题突破
分析：根据AC=AB证明＝ ，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．
5、如图，平行四边形ABCD中，AC=AB，求证：∠ABD=∠DAC．
精题突破
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，AD∥BC，
∵AC=AB，
∴AO=AB，∴ =，
∵==，∴＝ ，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，
∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC
利用平行线所截的内错角相等。
精题突破
1、如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠BCE=35°，则∠D的度数为（ ）
A．55° B．35°
C．25° D．30°
A
达标检测
2、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1
C．2：2：1：1 D．2：1：2：1
D
达标检测
3、如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分线交AD于E，则三角形CDE的周长是（ ）
A．6 B．8
C．14 D．16．
C
达标检测
4.如图，在 ABCD中，AE是∠BAD的平分线交DC于点E，求证：CE+BC=AB。
分析：根据平行四边形的性质，可以得到AB=CD，AD=BC，由AE是∠BAD的平分线，灵活变化即可得到CE、BC、AB的关系，本题得以解决．
达标检测
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD，
∴DC=AD+CE，
∴AB=CE+BC，
即CE+BC=AB．
达标检测
1、平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2、平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
课堂小结
1.已知如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF。（用两种方法证明）
分析：①由平行四边形的性质得出AB=CD，∠BAC=∠DCA，由SAS证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可；
②连接DE、BF，连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论。
拓展提升
解析：方法①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAC=∠DCA．∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AE＝CF
∠BAE＝∠DCF
AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF。
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解析：方法②：连接DE、BF，连接BD交AC于O，
如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
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2.求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。
分析：这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程。作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2
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解析：如图：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，
求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF。
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在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，
BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
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