第六章平面向量及其应用 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第六章 平面向量及其应用
一、单选题
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
3．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角的对边分别是向量向量，且满足则角（ ）
A． B． C． D．
6．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平行四边形中，，则（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
8．在中，，，分别为，，的对边，为的外心，且有，，若，，则（ ）
A．0 B． C．1 D．-2
9．己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆内切的三边，，分别于，，，且，则角（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为
A． B．
C． D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.
14．已如，，，，则实数的值为_________．
15．若向量=(1，1)与向量=(1，x)的夹角为锐角，则x的取值范围是___________.
16．已知的面积，且，则S的最大值为___________.
三、解答题
17．已知向量，求满足的和的值.
18．某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和两条索道，，如图所示.山顶处有一个宾馆，宾馆需要将储存在处的一批蔬菜一次性运送到宾馆处，有三种运输的方案：方案一，先将这批蔬菜运送到处，然后由挑夫（专门负责将山下物品以肩挑的形式将物品运送到山上的工作人员）从处挑到处；方案二，先通过索道将处的蔬菜运送到处，然后由挑夫从处挑到处；方案三，通过索道直接将处的蔬菜运送到处.已知，，，，挑夫挑这批蔬菜每走的山路，宾馆需支付元的费用，将这批蔬菜从处运送到处，宾馆需要付出元的费用，两条索道运送这批蔬菜每需要付给景区相关部门元的费用，问选择哪一种方案，可使宾馆付出的费用最少？（参考数据：，）
19．的内角，，所对的边分别为，，.已知，.
（1）求；
（2）若是边上一点，且的面积为，证明：.
20．已知中，角、、的对边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若，，求的值；
（3）若，，求.
21．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.
【详解】
由正弦定理得，
即，
解得sinB=，
又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，
又因为a>b，所以A>B，即B=30°.
故选：A.
2．D
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
故选：D
3．C
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，即.
故选：C.
4．A
先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，设 与的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
5．C
根据向量的数量积运算结合条件可得，再由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案.
【详解】
由已知得
再根据正弦定理有，，即.
由余弦定理得，,所以
因为所以
故选：C
6．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
7．A
根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；
【详解】
，，
，，
，
，
故选：A
8．B
设三角形的内角，，所对的边分别为，，，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得，，，再将的两边点乘，，运用向量数量积的定义和性质，可得，的方程组，解方程可得，的值，即可得到所求值．
【详解】
解：设三角形的内角，，所对的边分别为，，，
，，
可得，，
即为，即有，
可得，，
所以，
因为
所以，，
若可得，
即有，
化为，
又可得，
即有，
化为，
解得，，
则，
故选：B．
9．C
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，，，
所以满足，
因为，
所以，
所以，
故选：C
10．C
设的内切圆半径为，利用向量数量积的运算性质可得，进而可得，即可求角.
【详解】
因为圆为的内切圆，设其半径为，
由可得，
两边同时平方可得：，
即，
因为，即所以，
所以，所以，所以，
所以，
故选：C.
11．B
先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴，则,
则表示轴上的点P与A和的距离和，
利用对称性，关于轴的对称点为，
可得的最小值为=.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.
12．C
先分析得出点与点重合时，的模最大，即最小，进而得解．
【详解】
，
由图易知，向量所成的角为钝角，
所以，
，
，当最小时，的模最大，
数形结合易知点与点重合时，的模最大，即最小，
，，
是的中点，
则．
故选：．
本题考查平面向量的数量积及平面向量基本定理的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13．
设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.
【详解】
设，因为，，，
所以，，，.
在中，，
即①.，
在中，，
即②，
因为，
所以①②两式相加可得：，解得：，
则，
故答案为：.
14．32##1.5
根据向量垂直数量积等于，结合向量数量积的运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，可得：，
故答案为：.
15．
设向量与向量的夹角为，由结合夹角为锐角求解.
【详解】
设向量与向量的夹角为，则
因为夹角为锐角，
所以，即 ，
所以 且
解得 或 ，
故答案为：
16．
利用三角形面积公式变形出，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出的最大值．
【详解】
解：，即，，
分别代入已知等式得：，即，
代入得：或（舍去），
，
，
，
，当且仅当，即时取等号，
则面积的最大值为．
故答案为：．
17．
利用向量的线性坐标运算即可求解.
【详解】
由，得.
即，解得，即.
本题考查了向量线性坐标运算，需掌握向量数乘的坐标运算法则，属于基础题.
18．选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少
利用正余弦定理分别计算的长度，再计算运费，即可得到答案；
【详解】
解：因为，
所以，即.
因为，故
所以（舍去），所以.所以.
在中，由题意知，，所以.
因为，由正弦定理，解得.
在中，由余弦定理
得
即，解得（负值舍去），.
利用方案一运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
利用方案二运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）；
利用方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
因为，
所以选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少.
19．（1）；（2）证明见解析.
（1）由正弦定理得，代入条件求得，由条件知，从而求得；
（2）由三角形ACD面积公式求得，由余弦定理求得，从而证得.
【详解】
（1）解：∵，∴，
又，∴.
∵，∴，，，
故.
（2）证明：∵，
∴.
由余弦定理得
，
∴，故.
方法点睛：利用正弦定理可以将边角互化，根据条件求得未知量，结合余弦定理来解三角形.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）由正弦定理边角互化，求解关于的一元二次方程，即可得；
（2）利用三角形面积公式求解的乘积，然后利用余弦定理可得的值；
（3）由正弦定理求解得，再由平方关系求解，由二倍角关系求解、，所以得.
【详解】
（1）由及正弦定理得：
，
即，
，，，
解得：或（舍），又，所以；
（2），；
由余弦定理得：，
解得：.
（3）由正弦定理可得，且，则为锐角，
所以，，，
，.
方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
21．（1）；（2）5
（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】
（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
答案第1页，共2页
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