第十章概率 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 第十章 概率 同步练习
一、单选题
1．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
③实数a，b都不为0，但；
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．
其中为随机事件的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
2．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A． B． C． D．
3．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色 黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色 紫色两种颜色的毛线编织的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（ ）
A．0.3 B．0.63 C．0.7 D．0.9
5．“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕簧纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
9．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
10．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．某同学做立定投篮训练，共场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．
第一场 第二场 第三场
投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学场投篮的命中率约为（ ）A． B． C． D．
12．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.
14．通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位不同数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________
15．下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；
②百分率是频率，但不是概率；
③频率是不能脱离试验次数的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是______________.
16．我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．
三、解答题
17．某商场为推销当地的某种特产进行了一次促销活动，将派出的促销员分成甲、乙两个小组分别在两个不同的场地进行促销，每个小组各人．以下茎叶图记录了这两个小组成员促销特产的件数，且图中甲组的一个数据已损坏，用表示，已知甲组促销特产件数的平均数比乙组促销特产件数的平均数少件．
(1)求的值，并求甲组数据的中位数；
(2)在甲组中任选位促销员，求他们促销的特产件数都多于乙组促销件数的平均数的概率．
18．若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m和n是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用X表示函数零点的个数．
（1）求的概率；
（2）求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．
19．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
20．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据随机事件概念逐一判断，即可选择.
【详解】
任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件；
因为当实数a，b都不为0时，所以③为不可能事件；
明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件；
故选C．
本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，属基础题.
2．D
【详解】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
3．B
通过列举法求出所有基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.
【详解】
由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有：
（白，黄），（白，紫），（黄，紫），共3种情况；
其中满足要求的基本情况有1种；
故所求概率.
故选：B.
4．B
结合相互独立事件直接求解即可.
【详解】
设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则.
故选：B
5．B
首先求出个红包供甲、乙等人抢共有种情况，求出甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元共有种情况，再利用古典概型公式计算即可.
【详解】
个红包供甲、乙等人抢共有种情况，
若甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元，只能是1.36元和3.22元，1.59元和3.22元，
2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四种情况，共有种情况.
故甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率为
故选：B
6．D
利用列举法求出基本事件总数和其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况的种数，由此能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率．
【详解】
质点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有：
右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下，
下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种，
其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下，
恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为．
故选：D．
7．C
由题可知正方体切开共有27个小正方体，其中只有2个面涂色的小正方体共有12个，进而根据古典概型即可得答案.
【详解】
沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
其中有3个面涂色的小正方体共有8个，
只有2个面涂色的小正方体共有12个，
只有1个面涂色的小正方体共有6个，
所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为．
故选：C．
本题考查古典概型，解题的关键在于正确计数各类型的小正方体，进而利用古典概型公式计算求解，是基础题.
8．C
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
9．C
先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.
故选：C.
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
10．C
列出所有三位数的回文数即可求得结果.
【详解】
三位数的回文数有：
101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
202 212 222 232 242 252 262 272 282 292
303 313 323 333 343 353 363 373 383 393
404 414 424 434 444 454 464 474 484 494
505 515 525 535 545 555 565 575 585 595
606 616 626 636 646 656 666 676 686 696
707 717 727 737 747 757 767 777 787 797
808 818 828 838 848 858 868 878 888 898
909 919 929 939 949 959 969 979 989 999
共有90个，其中奇数有50个，故出现奇数的概率为
故选：C
11．B
根据题意由总的投中次数除以总的投篮次数，可得答案.
【详解】
该同学3场投篮的命中率为，
故选：B．
12．B
根据事件和事件，计算，，根据结果即可得到符合要求的答案.
【详解】
由题意可得：，，
，.
故选B.
本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.
13．0.79.
由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.
【详解】
解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，
解得.
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79.
此题考查对立事件概率的应用，属于基础题
14．
利用概率的定义进行求解即可.
【详解】
∵，，∴、、从中3~9选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应即可，.
故答案为：
本题考查概率的定义，属于简单题
15．①③④
根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可.
【详解】
对于①,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知①正确;
对于②,概率也可以用百分率表示,故②错误.
对于③,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以③正确;
对于④,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以④正确.
由概率和频率的定义中可知①③④正确.
故答案为: ①③④
本题考查了频率与概率的概念与区别,对概念要理解准确,属于基础题.
16．##0.4
列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】
1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：
，，4，5，6，
，，5，6；
，，6；
，，共10种，
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25种，
所求概率为．
故答案为：．
17．(1)，甲组中位数
(2)
（1）根据茎叶图求出乙组促销特产件数的平均数，进而可得甲组平均数，由平均数可求出的值；
（2）求出基本事件的总数以及位促销员促销的特产件数都多于包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
(1)
乙组同学促销特产件数的平均数为：（件）．
则甲组同学促销特产件数的平均数为件，
由，解得：．
甲组数据的中位数为．
(2)
乙组促销特产件数的平均数为件，
甲组同学促销的件数分别为28，29，34，38，40，41．
若从中任取两个数字，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件．
其中符合条件的基本事件有，，，共个基本事件，
所有所求概率为．
18．（1）；（2）．
（1）基本事件就是，用列举法写出所有的有序数对，同时得出方程无实数解的，计数后可得概率；
（2）写出含有3的有序数对，求出对应函数有零点的，计数后可得概率．
【详解】
（1）由题意，设基本事件空间为，则
，则Q中共有16个基本事件；
设函数零点的个数为0个时为事件A，则
且，即
，则A中有9个基本事件；
所以的概率．
（2）设先后两次出现的点数中有数字3为事件D，则
，故D中有7个基本事件，
设先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的事件为E，则
，E中有3个基本事件，
所以先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率为．
关键点点睛：本题考查古典概型，解题关键是事件空间的理解．写出事件空间中的所有基本事件．本题实质就是由构成的一个有序数对为一个基本事件，从而易用列举法写出所有基本事件，并得出满足条件的基本事件．
19．（1）0.006；（2）；（3）.
（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】
（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
本题考查频率分布直方图 概率与频率关系 古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重 漏的情况.
20．（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率
【详解】
解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥
∴
即
本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生
21．（1）；（2）0.1
(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页