1.1集合的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 1.1 集合的概念 同步练习
一、单选题
1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（ ）
A．0 B．2019
C．1 D．0或2019
2．若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各项中，能组成集合的是（ ）
A．高一（）班的好学生 B．第二章所有难题
C．不等于的实数 D．我国著名的数学家
4．设集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．集合中的不能取的值的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知集合，则与集合的关系是（ ）.
A． B． C． D．
7．下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（ ）
A．组 B．组 C．组 D．组
8．若集合，则满足的集合可以是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．连江中全体老师 B．优秀艺术家
C．目前获得诺贝尔奖的公民 D．高中英语的必修课本
10．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
11．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
12．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
二、填空题
13．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).
（1）某校2019年在校的所有高个子同学；
（2）不超过20的非负数；
（3）帅哥；
（4）平面直角坐标系内第一象限的一些点；
（5）的近似值的全体.
14．用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
15．已知集合，则实数的值为_________;
16．若且为单元素集合，则实数的取值集合是________．
三、解答题
17．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
18．已知集合，，求：，，
19．请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
20．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
21．设n为正整数，集合A=，，，，，．对于集合A中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当n=3时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，，证明：．
（Ⅲ）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据集合的元素互异性判断即可.
【详解】
若集合M中有两个元素，则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
故选：C.
2．B
先解方程组，即可得到集合A.
【详解】
因为可解得：，
所以.
故选：B
3．C
根据集合元素的特征判断可得出合适的选项.
【详解】
ABD选项中的对象不满足确定性，故ABD中的对象不能构成集合，
C选项中的对象满足确定性、互异性与无序性，C选项中的对象能构成集合.
故选：C.
4．C
直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可．
【详解】
因为集合，而且，
且，解得．
故选：C．
本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题．
5．B
根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出不能取的值，就可以确定不能取值的个数.
【详解】
由题意可知：且且，故集合中的不能取的值的个数是3个，故本题选B.
本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键.
6．B
比较与的大小关系，得到答案.
【详解】
，∴，故有，∴.
故选：B.
本题考查了元素与集合的关系，属于基础题.
7．A
根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论.
【详解】
①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；
故③④正确.
故选：A.
8．B
根据题意可知，再由子集的概念即可求解.
【详解】
由，则，
因为，所以A、B、C、D选项中只有B符号条件.
故选：B
本题考查了集合的基本运算、集合的基本关系，属于基础题.
9．B
根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
根据题意选项A、C、D所述对象均满足集合的三要素：
确定性、互异性和无序性，可构成集合；
而选项B中所述对象不满足确定性，因为什么样的艺术家才算“优秀”，
无法确切界定不能形成集合，故B中对象不能形成集合；
故选：B.
本题主要考查集合的概念，属于基础题型.
10．C
理解题中集合的含义即可写出集合得出答案.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
11．A
根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】
由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
12．C
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
13．（2）
根据集合的概念依次判断即可得到答案.
【详解】
（1）“高个子”没有明确的标准，因此（1）不能构成集合.
（2）任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，
故“不超过20的非负数”能构成集合；
（3）“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；
（4）“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；
（5）“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.
故答案为：（2）
本题主要考查集合的概念，属于简单题.
14．
用数学式子表示出自然语言即可．
【详解】
被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，
因此．
故答案为：．
15．-3, 1
由题意得 =6，解方程组求出实数a的值．
【详解】
由题意得 =6，
解得 a=﹣3或a=1，
经检验均符合题意，
故答案为-3, 1．
本题考查交集、并集、补集的定义和运算，以及一元二次方程的解法．易错点注意检验所得是否适合题意.
16．##
由题意可得方程有且只有一个实根，讨论是否符合题意，当时，由求得的值即可求解.
【详解】
因为且为单元素集合，
所以方程有且只有一个实根，
当时，方程，可得，所以符合题意，
当时，由，可得，
所以实数的取值集合是，
故答案为：
17．(1) ；（2）.
（1）求出集合，则，即可求出；
（2）根据集合中元素的特征，即可写出.
【详解】
由题意，，.
（1）.
（2）.且
本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.
18．；或.
由结合的交并补运算求解即可.
【详解】
因为集合，，所以.
因为，所以或.
19．（1）
（2）
（1）直接根据集合相等得到答案.
（2）根据集合的包含关系得到得到答案.
【详解】
（1）由于，所以，且，.
（2），且，
如图所示.
本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.
20．（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】
解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.
21．（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）见解析.
（Ⅰ）根据定义直接计算即可；
（Ⅱ）设，，有，,可得，
所以，易得，
，即可证明结论.
（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证.
【详解】
（Ⅰ）因为，，
所以，
；
（Ⅱ）当时，对于中的任意两个不同的元素，
设，，有
，．
对于任意的，，，，，，
当时，有，
当时，有．
即，
所以，有，
又因为，
所以，，，，，当且仅当时等号成立，
所以，
，
即，当且仅当（，，，）时等号成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可证，对于任意的，
若，则，成立．
所以，考虑设
，
，，，，，
对于任意的，，，，
，，，
所以，
假设满足条件的集合B中元素个数不少于，
则至少存在两个元素在某个集合（，，，）中，
不妨设为，则．
与假设矛盾，所以满足条件的集合B中元素个数不多于．
取；
对于，，，，取，且；．
令，
则集合满足条件，且元素个数为,
故是一个满足条件且元素个数最多的集合．
本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
答案第1页，共2页
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