2.1等式性质与不等式性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 同步练习
一、单选题
1．函数的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．若实数是不等式的一个解，则可取的最小正整数是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
5．下列结论正确的是
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
6．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设a，b，c为非零实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．以上三个选项都不对
8．实数 满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列命题正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
12．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
13．已知，下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．设，，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．若，且，则的最小值是.
A． B．3 C．2 D．
二、填空题
16．若，且，则，，，从小到大的排列顺序是______．
17．能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
18．设，，则x－y的取值范围是______．
三、解答题
19．实数满足，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
20．为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.
21．对于实数，判断下列命题的真假．
（1）若，则．
（2）若，则．
（3）若，则．
（4）若，则．
（5）若，则．
（6）若，，则．
22．已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
故选：C
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
2．C
根据条件将代入不等式，由此求解出的取值范围，从而的最小值确定.
【详解】
∵实数是不等式的一个解，
∴代入得：，解得，
∴a可取的最小整数是，
故选：C．
3．C
ABD通过举反例可知错误，C利用不等式的性质可证明.
【详解】
对于A，例如，，此时满足，但，故A错，
对于B，例如，，此时满足，但，故B错，
对于C，，故C正确，
对于D，例如，此时满足，，故D错，
故选：C.
本题主要考查了由条件不等式判断不等关系，属于基础题.
4．B
利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当时，不符合，故A选项错误.
对于B选项，由于，所以，所以，所以B选项正确.
对于C选项，如，但是，所以C选项错误.
对于D选项，由于的正负不确定，所以无法由，得出，故D选项错误.
故选：B
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.
5．B
利用不等式的性质、函数的性质和举反例逐一判断分析得解.
【详解】
A. 若则是假命题，因为c=0时，显然不成立.所以该选项是错误的；
B. 若则，因为函数f(x)=在R上是增函数，所以该选项是正确的；
C. 若则不一定成立，如a=1,b=-1，所以该选项是错误的；
D. 若则不一定成立，如：a=2，b=-3，所以该选项是错误的.
故选B
本题主要考查不等式真假命题的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．D
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
7．D
根据不等式的性质，以及举出反例，逐项判定A、B、C，即可求解.
【详解】
由a，b，c为非零实数，且，
对于A中，例如：当时，此时，所以不成立；
对于B中，例如：当时，此时，所以不成立；
对于C中，由，因为，可得，
当时，可得，此时；
当时，可得，此时，
所以C项不成立.
故选：D.
8．D
分别把两个等式转化，写成及的形式，从而比较数的大小.
【详解】
由知，
，即；
由知，，
则，即；
综上，
故选：D
9．D
对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断
【详解】
解：对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则满足，而不满足，所以B错误，
对于C，若，则满足，，而此时，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：D
10．A
根据图象可得，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：由图象可得，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，所以B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：当时，满足，此时，
所以，即，故D错误，
故选：A
11．C
利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.
【详解】
若，则，故选项不正确；
若，则，故选项不正确；
若，则，因为 所以，故选项正确；
当，时，才有成立，故选项不正确；
故选：
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
12．C
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：
对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；
对于B：取进行否定；
对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；
对于D：取进行否定.
【详解】
对于A：当时，若取，则有.故A不正确；
对于B：当时，取时，有.故B不正确；
对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；
对于D：当，取时，有.故D不正确.
故选：C.
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；
（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.
13．C
令，，验证排除可得结果.
【详解】
令，，满足，则，，，故、、都不成立，排除、、，
故选：．
14．B
利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；
对于B选项，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；
对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C选项错误；
对于D选项，若，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D选项错误.
故选：D.
15．A
根据，将代入，即可求解.
【详解】
因为，
所以．
而，且
所以，当且仅当时等号成立.
本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题.
16．
由得到且 ,作差比较，的大小即可．
【详解】
∵，
∴， ,
，
∴，
∴．
故答案为．
本题考查了不等式比较大小，属基础题．比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
17．1，1（答案不唯一）
若是假命题，可推出，故只需列举出满足条件的两个正整数即可．
【详解】
若是假命题，则，
又，，都是正数，，
，，
故当时，是假命题，
故答案为：1，1（答案不唯一）．
18．
利用不等式的性质进行计算即可
【详解】
由，得，
因为，
所以，即，
故答案为：
19．（1），；（2）．
（1）直接利用不等式的性质即可求得，的取值范围；
（2）设，求解，的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得的取值范围．
【详解】
（1）由，，
两式相加得，，则，
由，
得，
又，
两式相加得，，即；
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
则．
20．答案见解析
计算两种不同的购票方式所花的费用比较大小即可.
【详解】
如果买27张票要花27×5=135(元)，
如果买30张票要花30×(5-1)=120(元)，
通过比较，135>120，所以27人买30张票不是浪费，反而还节省15元呢.
21．（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.
利用不等式的性质即可判断这6个小题的真假.
【详解】
（1）由于c的符号未知，因而不能判断与的大小，故该命题是假命题．
（2），，，，故该命题为真命题．
（3）．又，
故该命题为真命题．
（4），
又，故该命题为真命题．
（5），，
，，故该命题为真命题．
（6）由已知条件，得，
，．又，，故该命题为真命题．
22．，证明见解析.
先证明，然后用，分别替换中的可证明
，再用，分别替换中再利用已证的不等式放缩即可求证.
【详解】
证明如下：
因为，
所以，
即
因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
，
即证得
关键点点睛：本题解题的关键点是首先利用，证明，通过类比和放缩即可证明.
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