2.2基本不等式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.2 基本不等式 同步练习
一、单选题
1．设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知：，且，有以下4个结论：①，②，③，④中，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
5．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
9．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）
A．-3 B．2 C．3 D．8
10．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知、、是三角形的三边，对于，有下列说法①有最小值；②有最大值是．（ ）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都对 D．①②都错
14．下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
16．已知，则的最小值为________.
17．已知、，且，则的最大值是_________.
18．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________．
三、解答题
19．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
20．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
21．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
22．已知9x2+y2+4xy=10.
（1）分别求xy和3x+y的最大值；
（2）求9x2+y2的最小值和最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，当且仅当且，即时取等号，故A正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以，即，故C正确．
因为，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：B.
本题主要考查由基本不等式判断所给不等式是否正确，属于常考题型.
2．B
由已知可得，则结合可得，再根据可得，由可判断③，根据范围得出.
【详解】
由立方差公式可得，则，
又，，即，，故①正确；
，当时取等号，则，则，即，故②正确；
，，故③错误；
，，，则，则，故④错误.
综上，正确的有2个.
故选：B.
关键点睛：解题的关键是得出，进而得出，.
3．A
将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】
因为，则，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
故选：A.
4．A
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．C
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
6．D
根据恒成立思想将不等式转化为求函数的最小值大于或等于0，再运用二次函数配方，可得解.
【详解】
记，则原问题等价于二次函数的最小值大于或等于0．
而，当时，，
所以，即．
故选D．
本题考查不等式的恒成立思想和二次函数的配方法求最值，属于基础题.
7．A
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
8．A
将所求式子展开后，化为，由题中条件，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正数满足，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
本题主要考查由基本不等式求最值，属于基础题型.
9．C
由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的条件得即可得结果．
【详解】
令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
10．B
由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
11．B
利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，则，
所以，
当且仅当时，取等号，
故选：B
本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
12．A
由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．A
设，，，，将利用表示，从而可将利用表示，再利用基本不等式可求得最小值，可判断①；由，
，三个不等式相加可判断②，进而可得正确选项.
【详解】
设，，，，
则，，，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，有最小值，故①对，
因为、、是三角形的三边，所以，，，
，
即，同理可得，，
所以，
所以有最大值小于，故②错，
故选：A.
14．C
利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，即，取等号，
显然等号成立的条件不存在，故A不正确；
对于B，，
当且仅当时，即时，取等号，显然等号成立的条件不存在，故B不正确；
对于C，，当且仅当时，
即时，取等号，故C正确；
对于D， ，
当且仅当时，即时，取等号，
显然等号成立的条件不存在，故D不正确；
故选：C
本题考查了基本不等式，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
15．C
将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
16．
首先利用“1”的等价变形，，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
，
，
当且仅当，即，解得是等号成立，
所以的最小值是
关键点点睛：本题的关键点是利用“1”的妙用变形：，从而为下面用基本不等式创造条件.
17．
利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】
因为、，由基本不等式可得，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
因此，的最大值是.
故答案为：.
18．
利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【详解】
因为正实数a，b满足，
则
，
当且仅当且时取等号，
则的最小值为
故答案为：
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，应用条件的配凑是求解问题的关键．
19．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
20．(1)，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)有，最大值为；
（1）通过，求出．得到矩形的面积为．利用基本不等式求解学生公寓的面积的最大值．
（2）由三角形相似可得，设，，即可得到，再利用基本不等式得到，由矩形的面积为，即可得到学生公寓的面积最大值；
(1)
解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
21．（1），；（2）.
（1）利用一元二次方程根与系数的关系求、；
（2）利用基本不等式求最小值.
【详解】
（1）由韦达定理可得，解得，；
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（1）的最大值为1，的最大值为；（2）最小值为6，最大值为30
（1）利用基本不等式可求的最大值.
（2）利用可求的最值.
【详解】
（1）因为，所以，
因为，故，
所以，当且仅当或时等号成立，
故的最大值为1.
又，而，
所以，故，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
（2）由题设有，
因为，故，
整理得到，当且仅当或时等号成立.
故的最小值为6.
又，故，
故，当且仅当或时等号成立.
故的最大值为30.
本题考查基本不等式在求最值中的应用，在使用基本不等式的过程，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑，本题属于中档题.
答案第1页，共2页
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