2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知函数.以下四个命题:
①，使得； ②，使得；
③，均有成立； ④，均有成立.
其中所有正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
3．已知二次函数 在区间 上的最小值为，最大值为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知不等式的解集是，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
8．若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（ ）
A．(0，1] B．(-∞，1]
C．[0，1] D．[1，+∞)
9．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
12．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是___________.
14．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
15．若存在实数，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是______.
16．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
17．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
三、解答题
18．（1）解关于x的不等式；
（2）设，求函数的最大值.
19．已知关于x的不等式（）
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求实数a的范围．
20．解不等式：.
21．已知函数．
(1)若，且存在使能成立，求a的取值范围；
(2)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
利用一元二次不等式的解法求出的解集，再根据充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】
记“”的解集为集合B，
则或
所以“”能推出“”
“”不能推出“”
所以“”是“”的的充分不必要条件.
故选：A.
2．A
根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质并结合两者之间的联系逐项判断即可．
【详解】
解：令，
所以，
因为为开口向上的二次函数，
所以对任意，总存在使得，故②正确④错误；
因为当，，时，，
所以方程，无解，
所以恒成立，故①正确；
因为当，时，，
所以方程，有一根或两根，
所以对任意，不恒成立，故③错误．
故选：．
3．C
根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数满足的条件.
【详解】
因为，对称轴为,
所以实数的取值范围是,选C.
本题考查二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.
【详解】
由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，
解得，所以.
故选：B.
5．B
根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得且，化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】
由题意，不等式的解集是，
可得和是方程的两根，且，
所以，可得，
所以不等式可化为，
因为，所以不等式等价于，
即，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
解答中注意解一元二次不等式的步骤：
（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；
（2）判：计算对应方程的判别式；
（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；
（4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
6．B
解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.
【详解】
解不等式，得或
解方程，得，
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；
综上，可知的取值范围为
故选：B
关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.
7．A
根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
因为不等式的解集是，所以，，
所以关于的不等式，即，即，解得或，
故不等式的解集是或.
故选：A.
8．C
分和两种情况讨论恒成立的情况，列式求实数的取值范围.
【详解】
当时，恒成立，
当时，由条件可知，即，解得：.
综上可知，.
故选：C
9．C
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个根，
所以，，
即，，则，
可知其解集为，
故选：C．
10．D
当时，直接分析即可；当时，根据一元二次不等式恒成立的思想进行分析.
【详解】
当时，即，此时恒成立，满足条件；
当时，因为对任意实数都成立，
所以，解得，
综上可知，，
故选：D.
11．A
利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．
【详解】
解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，，，
故选：A．
12．A
根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
解：原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.
故选：A.
13．
应用参变分离，将不等式转化为，由二次函数的性质求函数的值域，进而确定参数a的范围即可.
【详解】
由，即，
设，
当时，最小值，而，，
∴，
∴要使不等式在内有解，则，即a的范围是.
故答案为：.
14．
由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.
【详解】
由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
15．
分类讨论，时，使得不等式成立，时结合二次函数的性质可得．
【详解】
时，若，则不等式为，不等式成立，满足题意，
时，在在使得不等式成立，则，∴．
综上，．
故答案为：．
关键点点睛：本题考查不等式有解问题，可结合二次函数性质求解，本题也可按二次项系数的正负分类：分，，三类分别求解．
16．
根据一元二次方程根的分布得出结论．
【详解】
设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－故答案为：.
17．
由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】
分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
18．（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；（2）.
（1）先因式分解，再根据根的大小分类讨论，即得结果；
（2）根据基本不等式求最值.
【详解】
解：原不等式可化为，
当时，解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
，
．
当，即时，等号成立，
本题考查解参数不等式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．（1）；（2）.
（1）移项、配方、分解因式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可．
（2）转化为一元二次方程无实数根，利用判别式小于零列不等式求解即可．
【详解】
（1）当时，不等式即为，
可得，即 ，
解得或．
即不等式的解集为．
（2）因为不等式的解集为，
所以恒成立
则函数的图象恒在轴上方，与轴无交点；
从而一元二次方程无实数根，
，
解得：．
即实数的取值范围为．
结论点睛：解一元二次不等式时首项分解因式，若，则的解集是；的解集是.
20．
由不等式，可化为，得到等价不等式或，即可求解.
【详解】
由题意，不等式，可化为，
等价于不等式或，
解得或或.
所以原不等式的解集为.
本题主要考查了一元二次不等式的求解及应用，其中解答中合理化简不等式得到等价不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．(1)
(2)
（1）利用二次函数的性质得到函数在区间上单调递增，转化为，求解即可．
（2）转化，由关于x的方程有两个不相等的正实数根，借助判别式和韦达定理求的范围，列出不等式组求解即可．
(1)
若，函数为开口向上的二次函数，且对称轴为，
∴函数在区间上单调递增，
∵存在使能成立，
∴，∴，
∴a的取值范围为．
(2)
∵关于x的方程有两个不相等的正实数根，，
∴，∴，
∴，
∴的取值范围为．
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