4.2指数函数 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 4.2 指数函数 同步练习
一、单选题
1．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
2．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
4．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
5．已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数（，且）的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
7．在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
9．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
10．函数（且）与函数（且）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
12．设，则（ ）
A． B． C． D．
13．设函数，若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知（，且），且，则a的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
15．函数是（ ）
A．偶函数，在是增函数
B．奇函数，在是增函数
C．偶函数，在是减函数
D．奇函数，在是减函数
二、填空题
16．已知函数，设，若，则的取值范围是__________．
17．函数在(-∞，2]上的图象总在x轴的上方，则实数k的取值范围为______.
18．设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
三、解答题
19．已知（为常数，且）的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.
20．已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数，，的值域．
21．已知函数的图象过点．
Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；
Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．
22．已知函数，且．．
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若恒成立，求的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】
，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
2．A
作出函数图象，利用数形结合分析得解.
【详解】
画出两个函数在同一坐标系下的图像，
若有两个交点，则，
故选：A
3．D
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
4．D
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
5．A
由题意可得是偶函数，且在区间上单调递增，则不等式等价为，即，从而得到答案.
【详解】
由，知是偶函数，
不等式等价为，
当时，，在区间上单调递增，
解得：.
故选：A.
本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题.
6．D
令得到定点的横坐标，再把横坐标代入函数求出定点的纵坐标得解.
【详解】
令.
当时，.
所以函数的图象必经过点.
故选：D
7．B
直接根据指数函数的定义依次判断即可.
【详解】
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
8．D
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
9．B
将点代入函数解析式，即可得出的值.
【详解】
由题意可知，解得或（舍）
故选：B
10．C
由二次函数图象过点特殊点，排除AD，再根据二次函数图象的对称轴和指数函数的单调性分类讨论判断．
【详解】
两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；
当时，指数函数递增，，B不符合题意．
故选：C．
11．A
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
12．D
利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】
因为，
所以，
故选：D
13．D
【详解】
当时，在上单调递增，则值域为；
当时，在上单调递减，则值域为；
因为函数，
所以函数有最小值时，需满足，即，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.
14．D
由，且，排除AC；利用指数函数的单调性排除B，确定D.
【详解】
由，且，排除AC；
∵，
当时，为单调递减函数，∴，与已知矛盾矛盾，故B错误；
当时，为单调递增函数，∴，符合题意.
故选：D.
15．B
利用奇偶性定义判断的奇偶性，根据解析式结合指数函数的单调性判断的单调性即可.
【详解】
由且定义域为R，故为奇函数，
又是增函数，为减函数，
∴为增函数．
故选：B.
16．
画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.
【详解】
画出函数图象如图所示，
由图象可知要使，
同时成立，
则.
，
所以.
故答案为：.
关键点点睛：考查指数函数图象的应用，解题的关键是借助函数图象求得参数范围，将式子转化为二次函数的形式.
17．
分离参数后转化为求的最大值，根据指数函数的单调性求最大值即可.
【详解】
由已知得在上恒成立，
所以在上恒成立.
又函数与在（-∞，2]上单调递增，
故，
所以.
18．
由函数在每一段上都递增，列出不等式，且有，再联立求解即得.
【详解】
因函数在上单调递增，则有在上递增，于是得，
在上也递增，于是得，即，并且有，即，解得，
综上得：，
所以的取值范围是.
故答案为：
19．（1）；（2）奇函数；证明见解析.
（1）将A，B两点代入函数即可求出，得出解析式；
（2）根据定义即可判断其奇偶性.
【详解】
解：（1）∵ 的图像过点
∴，解得，故；
（2）由（1）知 ，
则的定义域为R，关于原点对称，
且
故为奇函数.
20．（1）；（2），．
（1）由函数的奇偶性的定义可得恒成立，代入可求得答案．
（2）由（1）知函数，得出函数在，上的单调性和值域，令，得，再由二次函数的性质可求得函数的值域．
【详解】
解：（1）因为函数为奇函数，所以恒成立．
又，
因为，所以，．
当时，函数，满足，
故；
（2）由（1）知函数，所以函数在，上为增函数，所以可得，．
令，则，．且，
所以，
因为在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
所以可得，，的值域为，．
21．（Ⅰ）； （Ⅱ）.
（Ⅰ）首先求解出函数解析式，再根据奇偶性判断方法得到奇偶性；然后求解出真数所处范围，从而得到函数值域；（Ⅱ）根据函数解析式，将问题转化为在上有解的问题，通过对勾函数图像得到所求结果.
【详解】
函数的图象过点
即：
（Ⅰ）
则的定义域为，关于原点对称
且
故为偶函数
又由
故，即和值域为
（Ⅱ）若关于的方程在上有解
即，即在上有解
即在上有解
由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值；当或时，取最大值
故实数的取值范围是
本题考查函数解析式求解、奇偶性判断、方程解的问题.求解问题的关键是能够通过函数图像确定函数值域，从而通过交点情况得到参数范围.
22．（1）为定义域在上的奇函数，证明见解析；（2）.
（1）求出的值，根据函数的奇偶性的定义证明即可；
（2）问题转化为恒成立，设，则，得到（当且仅当时，等号成立），从而求出的最大值即可．
【详解】
由，解得，
故
（1）为定义域在上的奇函数，证明如下：
即
所以为奇函数.
（2）由条件得，即恒成立，
设，则，（当且仅当时，等号成立）
所以的最小值是，-
所以，
即的最大值是．
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