4.5函数的应用（二）同步练习 （Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 4.5 函数的应用（二） 同步练习
一、单选题
1．函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
3．若函数有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火箭的最大速度v（单位：）和燃料质量M（单位：），火箭质量m（单位：）的函数关系是：，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为；）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
6．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸
A．215 份 B．350 份
C．400 份 D．250 份
7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ）
A．2020年 B．2021年 C．2022年 D．2023年
8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天的旅游人数（万人）近似地满足，而人均消费（元）近似地满足．则求该城市旅游日收益的最小值是（ ）
A．480 B．120 C．441 D．141
11．已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是（ ）
A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）
12．设函数，对于非负实数t，函数有四个零点，，，．若，则的取值范围中的整数个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.
14．因为电资源严重不足，为了提倡节约用电，各地纷纷出台各种政策，孝感地区为了鼓励居民节约用电，错峰用电，孝感地区把居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，电价表如下：
电价（单位：元/千瓦时）用电量（单位：千瓦时） 高峰电价 低谷电价
50及以下的部分 0.55 0.30
超过50至200的部分 0.60 0.40
超过200的部分 0.80 0.55
已知郑老师在10月份收到如下电费通知：“尊敬的客户，户号：***，户名：***，地址：***，本期电量400度（其中低谷100度），电费***元.”则按这种计费方式郑老师本月应付的电费为___________元（用数字做答）.
15．已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
-3.25 -7.9 2 4.16 -1 9.8
设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为________.
16．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是 _____________ ；
17．已知，函数，若函数恰有个不同的零点，则的取值范围为___________．
三、解答题
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若方程恰有3个不同的实数解，求实数a的取值范围．
19．已知函数的定义域为.
（Ⅰ）证明：函数是偶函数；
（Ⅱ）求函数的零点.
20．已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）若在上最小值为，求实数的值；
（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围．
21．设a，b，c，d不全为0，给定函数，.若，满足①有零点；②的零点均为的零点：③的零点均为的零点，则称，为一对“K函数”.
（1）当a=c=d=1，b=0时，验证，是否为一对“K函致”，并说明理由；
（2）若a=1，，且，为一对“K函数”，求实数c的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
令即得解.
【详解】
令.
所以函数的零点是.
故选：B
2．B
根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】
解：因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
故选：B
3．B
由可知当时，因为，所以有一个零点，进而可知当时，函数没有零点即可，进而结合指数函数的性质讨论得出结果.
【详解】
解：当时，因为，所以有一个零点，
所以要使函数有且只有一个零点，
则当时，函数没有零点即可，
当时，，，，
所以或，即或.
即的取值范围是.
故选：B.
本题考查函数零点的应用，考查指数函数和对数函数的性质，考查推理能力，属于基础题.
4．A
根据题意可知，正实数分别是方程，和在内的根，再根据零点的存在定理，分别可求出正实数的取值范围，由此即可得到结果.
【详解】
∵与的图象在只有一个交点，
∴在只有一个根，设为a．
令，
∵，，，
∴．
∵与的图象在只有一个交点，
∴在只有一个根，设为b．
令，
∵，，
∴，∴．
∵与的图象在只有一个交点，
∴在只有一个根，设为c．
令，
∵，，，
∴．
∴．
故选：A.
5．B
根据已知数据和函数关系式直接计算．
【详解】
，
故选：B.
本题考查函数的应用，属于基础题．
6．C
设每天从报社买进份报纸时，根据题意求得函数的解析式，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】
设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表．
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回
则推销员每月所获得的利润
又由在上单调递增，
所以当时，取得最大值8700．
故选C．
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C．
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，结合一次函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．D
根据题意，设第年开始超过200万元，可得，从而可得的取值范围，分析即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设第年开始超过200万元，
则，
化为：，
解可得：；
则，
所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2023年.
故选：D．
8．B
由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．
【详解】
因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.
故选：B．
9．A
由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.
【详解】
解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，
而直线与函数至多两个交点，
函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点
直线与函数有两个交点即可，
如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.
而当时，直线和射线无交点，
故实数的取值范围是.
故选：A.
10．C
分别考虑当的情况，利用旅游人数乘以人均消费计算出旅游日收益：当时，利用基本不等式求解出旅游日收益的最小值，当时，直接根据函数的单调性分析出旅游日收益的最小值，由此求得最终结果.
【详解】
记旅游日收益为，
当时，,，
所以，所以
所以，取等号时；
当时，，，
所以，显然在上单调递减，
所以，
由上可知：旅游日收益的最小值为万元，
故选：C.
关键点点睛：本题属于分段函数的实际应用问题，解答本题的关键在于对的合理分类，并通过函数的单调性以及基本不等式等方法完成函数最值的分析；解答函数的实际应用问题时，一定要注意分析定义域.
11．D
根据题意得模式A：，模式B：，其中p为初始电量，再根据题意列不等式求解即可.
【详解】
解：模式A：，模式B：，其中p为初始电量.
A模式用了m小时，电量为，
m小时后B模式用了小时，
∴
，令，∴，
∴，
因为，，
∴，∴
故选：D
12．B
画出图形，将问题转化为与图像的交点，可得，根据的范围，可得，然后可得，简单判断可得结果.
【详解】
如图所示：
依据题意可知：非负实数t，所以，
当时，则，即
所以
当时，则，即，所以
所以
所以只有一个整数在这个范围，
故选：B
关键点睛：本题关键在于数形结合以及依据的范围，求得，进行判断.
13．乙、甲、丙.
根据函数解析式，代值后比较函数值即可.
【详解】
根据题意，列出当时，对应的函数值如下所示：
500 1000 1500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝log2x＋100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55
丙：y＝1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1774.57
根据表中数据可知：
当投资时，应分别选择乙，甲，丙方案.
故答案为：乙、甲、丙.
本题考查函数增长率的差异，属简单题；同时，本题也可以通过函数增长率直接进行判断.
14．232.5
根据电价表分别计算低谷电费和高峰电费，然后相加即可.
【详解】
低谷电费为元
高峰电费为元
所以总电费为元
故答案为：232.5.
15．3
根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数．
【详解】
解：由题意，因为，，，
所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有3个，即的最小值为3，
故答案为：3．
16．50辆
根据题意，先求摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足的二次函数，将题目条件转化为关于x的不等式，解不等式即可解得答案．
【详解】
由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，
故答案为50辆
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查二次不等式求解，考查学生的计算能力，属于基础题．
17．
分析可知方程必有实根，由，可得出，分、两种情况讨论，在时，直接求解函数的零点即可，在时，分析可得出，求出的取值范围，综合即可得解.
【详解】
由可得，
由题意可知，方程必有实根，则，解得.
若，则，
当时，由可得，合乎题意；
当时，由可得，合乎题意.
此时，函数恰有个零点.
若时，当时，由可得，合乎题意；
由可得，
由题意可得，
先解不等式，即，
若，即时，不等式显然成立；
若，即时，由可得，可得，则.
当时，不等式的解为.
下面解不等式，整理可得，
若，即当时，则不等式显然成立；
若，即当时，由可得，解得，
此时.
即当时，不等式的解为.
所以，当时，满足的实数的取值范围是.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
18．(1)
(2)
（1）当时，，则，然后代入的解析式即可求解；
（2）等价于与的图象有三个交点，结合图象即可求解.
(1)
解：∵为奇函数，
∴，
∴当时，，
∴，
故当时，．
(2)
解：方程恰有3个不同的实数解，
等价于函数与函数的图象恰好有3个不同的交点，
作出的图象：
由图象可得，
即实数a的取值范围为．
19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）和.
（Ⅰ）利用函数奇偶性定义证明，先求得函数的定义域，再判断的关系.
（Ⅱ）将函数变形为，令求解.
【详解】
（Ⅰ）由，解得，
所以函数的定义域为关于原点对称，
又∵，
∴是偶函数.
（Ⅱ）.
令，
∴，解得（经检验符合题意）.
∴函数的零点为和.
20．（1）；（2）0；（3）.
（1）求出的范围后结合二次函数的单调性得结论；
（2）设，转化为二次函数的最小值问题，由二次函数的性质求解；
（3）由（2）转化为二次函数的零点问题求解．
【详解】
（1）由 得
若在为增函数，则 所以
（2）令
即 最小值为
若 则时最小
若 则时最小 无解
若时 则时最小 得 舍去
（3）只一个零点
由 得 舍去
或
若有二个零点且只一个在内
则
即
解得
．
方法点睛：本题考查指数函数的单调性、最值与零点问题，解题方法是换元法，通过设换元后问题转化为二次函数的单调性、最值与零点问题，利用二次函数的性质求解即可．
21．（1）不是，理由见解析；（2）.
（1）根据函数的定义进行判断.
（2）结合换元法以及函数的定义进行讨论，由此求得的取值范围.
【详解】
（1），
得，，故不是的零点，所以、不是一对“函数”.
（2），，
，.
，
，
由得或.
，
依题意的零点均为的零点，
当时，，，，符合题意.
当时，依题意可知没有实数根，
设，则没有实数根，
当时，，，
所以，即，解得.
当时，，，
所以，即，解得（舍去）.
综上所述，的取值范围是.
有关函数新定义的题目，解题关键是围绕着新定义去进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页