5.1任意角和弧度制 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.1 任意角和弧度制 同步练习
一、单选题
1．下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一 二象限的
C．不相等的角终边一定不相同
D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．把表示成的形式，使最小的的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ）
A． B．
C． D．
6．若是第三象限的角，则所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第二象限 D．第二象限或第四象限
7．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
9．下列角中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
10．若角和的终边关于y轴对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
11．是以下哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
二、填空题
13．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.
14．如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个半径为12的扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为___________.
15．已知扇形的弧长是6，圆心角是2弧度，则该扇形的半径是___________.
16．若角与的终边关于轴对称，则角的集合是______．
三、解答题
17．写出在之间与的角终边相同的角．
18．已知扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数．
19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.
（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.
20．已知集合，集合，求．
21．已知，求，并指出角终边的位置．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．D
根据任意角与象限角的定义，对选项中的命题真假性判断即可．
【详解】
解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；
对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；
对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；
对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．
故选：．
2．C
不妨设等边的外接圆的半径为2，根据图形所作的辅助线，可求出边长，再根据弧长公式即可求出答案．
【详解】
不妨设等边的外接圆的半径为2，
取的中点，连接，，则．
由垂径定理的推论可知，，
在中，，，边长．
设该圆弧所对圆心角的弧度数为，
则由弧长公式可得．
故选：C
本题考查了圆的内接正三角形的边长与半径的关系及弧长公式，理解以上知识和计算方法是解决问题的关键．
3．A
根据三角函数的定义直接求点的坐标.
【详解】
由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
本题考查三角函数的定义，属于基础题型.
4．C
根据题意可得或，即可得出.
【详解】
由或，
，
使最小的的值是.
故选：C.
5．D
根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.
【详解】
角与角的终边关于y轴对称，
所以，
，
即，
故选：D
此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.
6．D
根据题意写出的范围，再求的范围，从而求所在的象限.
【详解】
因为是第三象限的角，所以，，
所以，，所以所在象限是第二象限或第四象限.
故选：D.
7．A
依题意分别求得，，进而由扇形的面积减去扇形的面积可得结果.
【详解】
根据题意，则，，则，
所以扇面的面积.
故选：.
8．D
设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.
【详解】
设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，
故.
故选：.
9．B
利用终边相同的角的表示可得结果.
【详解】
因为，所以与终边相同，故A不正确；
因为，所以与终边相同，故B正确；
和显然与终边不同，故C D不正确.
故选：B
10．D
根据题意得到，即可求解.
【详解】
由题意，角和的终边关于y轴对称，可得，
即.
故选：D.
11．D
首先写出终边相同的角的集合，再判断
【详解】
，角的终边在第四象限，所以角的终边也是第四象限.
故选：D
12．B
直接利用扇形面积计算得到答案.
【详解】
根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为Slr45270（平方米）.
故选：B.
本题考查了扇形面积，属于简单题.
13．270°
根据α的范围求出α的取值范围，再根据角5α与α有相同的始边，满足5α＝k 360°+α，求出k，进而求α．
【详解】
解：∵180°＜α＜360°，
∴900°＜5α＜1800°，
∵角5α与α有相同的始边，
5α＝k 360°+α，
α＝k 90°，
又180°＜α＜360°，
∴k＝3，α＝270°
故答案为270°．
本题主要考查终边相同角的集合，意在考查学生对基本概念的理解，属于基础题．
14．
先求得，然后求得扇形的弧长.
【详解】
，则该扇形的弧长.
故答案为：
15．3
结合扇形弧长公式可直接求解.
【详解】
由.
故答案为：3
16．
先求出与的终边关于轴对称的角为，再求出终边相同的角的集合即可.
【详解】
与的终边关于轴对称的角为，
所以角的集合是，
故答案为：.
17．
由于与的角终边相同的角的集合为，所以由，求出的值，从而可得所求的角
【详解】
解：与的角终边相同的角的集合为，
由，得，
因为，所以或，
所以或，
所以所求的角的集合为
18．面积最大值为，此时圆心角弧度数为2
设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案．
【详解】
解：设扇形的半径为，弧长为，则．
（当且仅当时取等号）．
最大值为25，此时，．
故扇形圆心角的弧度数．
所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2.
19．（1），（2）当时，最大为
（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合即可求得半径的取值范围.
（2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径.
【详解】
（1）当半径为,所以弧长为
所以
由弧度定义可知,而
所以,解得
综上可知,
（2）因为
由二次函数的性质可知,
当时,最大为
本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题.
20．
根据交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为集合，集合
所以
21．，终边在第一、三象限
直接运算求得，分k是奇数和偶数讨论终边位置.
【详解】
∵，∴，
当k是偶数时，角的终边在第一象限，当k是奇数时，角的终边在第三象限,
∴角终边在一、三象限.
答案第1页，共2页
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