5.4三角函数的图象与性质 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．已知，对任意，都存在使得成立，则下列取值可能的是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称 D．在单调递减
3．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
4．在①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③
5．下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的单调增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
12．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数的定义域是______．
14．已知函数的部分图象如图所示，则___________.
15．函数在区间的最小值为___________．
16．由正切函数的图像可知，在区间上是__________函数．（选填“增”或“减”）
17．函数在的零点个数为________．
三、解答题
18．已知函数．
（1）若对恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在上零点的个数．
19．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
20．已知函数，其中.
（1）求使得的的取值范围；
（2）若函数，且对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值.
21．已知函数.
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
依题意可得，首先求出的值域，从而得到所以是函数的值域的子集，由的取值范围求出，再根据选项一一代入验证即可；
【详解】
解：因为任意，都存在使得成立，所以，即
因为，，所以，所以，所以是函数的值域的子集，因为，则，
当时，，因为，，所以，故不满足条件；
当时，，因为，，所以，故真包含于，故满足条件；
当时，，因为，，所以，故不满足条件；
当时，，因为，所以，故不满足条件；
故选：B
2．B
根据余弦函数的周期，对称轴，对称性，单调区间的结论求函数相关性质，确定正确选项.
【详解】
函数的周期，故A正确，
因为，故B错误，
因为，故C正确，
由可得，又余弦函数在上单调递减，
所以函数在单调递减，故D正确，
故选：B.
3．C
由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】
由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
4．C
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期以及周期公式即可解出．
【详解】
最小正周期为的所有函数为②③，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为．
故选：C．
5．B
由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.
【详解】
解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数，故B正确；
C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.
故选：B.
6．A
根据求解，即可得出结果.
【详解】
为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
7．C
根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断.
【详解】
对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；
对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；
对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；
对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断.
8．D
函数解析式可化为，判断奇偶性，再讨论、时值的变化趋势，即可排除错误选项.
【详解】
由且，
∴，即为奇函数，排除A；
当时，，，所以，排除B；
当时，，，所以在0附近摆动，随x的增大幅度越来越小，排除C；
故选：D.
9．D
根据图象求得，，，，从而确定函数解析式，再通过诱导公式使解析式满足．
【详解】
不妨先设，由图象，得：
，，，
所以，解得，
则，
代入，得，
即，所以，
即，，
所以，，
因为
，
上式中满足，
所以 ．
故选：D.
10．C
的单调增区间，即函数的单调减区间，然后解出不等式即可得答案.
【详解】
的单调增区间，即函数的单调减区间.
令，求得，，
故函数函数的单调减区间为，，
故选：C
11．A
由对称中心得到(k∈Z)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，
当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.
【详解】
,解得,(k∈Z)
若,则，解得；
若，则，解得；
故，或，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
12．D
根据的范围，结合正弦函数的图象，求出的范围，从而可求函数的值域.
【详解】
∵，∴，∴，
所以函数的值域为．
故选：D.
13．
解方程即可求解.
【详解】
由题意知：，即，可得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．
根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上求解.
【详解】
由图象知：，
所以，则，
所以，
因为点在图象上，
所以，
则，
即，
因为，
所以，
所以，
故答案为：.
15．
应用整体思想，结合正弦函数的值域，即可求解.
【详解】
解：，则，
，可知的最小值为
.
故答案为:
本题考查三角函数的最值，属于基础题.
16．增
由正切函数的图像可得答案
【详解】
解：正切函数图像如图所示
所以由图像可知在区间上是增函数，
故答案为：增
17．
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
18．（1）；（2）两个.
（1）令，则可得对成立，即可列式求出；
（2）由（1），解得，，可得，，即可判断零点个数.
【详解】
（1）令，则，．
，当时，，．
对恒成立，化为对成立．
∴对恒成立，∴，
∴，即的取值范围是．
（2）由（1）知化为，其中．
由，即得．
当时，，，，∴．
令，，则，∴．
由知，∴．∴无解，在上有两解．
∴时，函数在上有两个零点．
关键点睛：本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为对恒成立，考查零点个数的判断，解题的关键是转化为和解的个数.
19．（1），；（2）；（3）.
（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】
（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
20．（1）；（2）.
（1）化简函数的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；
（2）构造函数，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数的最大值.
【详解】
解：（1）由题意得，
令，得
即，故的取值范围为
（2）由题意得，
令
即
故在区间上为增函数
由，得出，，
则函数包含原点的单调递增区间为即
故正实数的最大值为.
本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.
21．（1）；（2）.
（1）通过三角函数的定义求得的值，代入即可；
（2）通过降幂公式和辅助角公式对函数进行化简，然后求出括号内整体的范围，最后结合正弦函数图像求出值域.
【详解】
（1）因为角的终边与单位圆交于点，
所以，，
；
（2），
因为，所以，所以，
的值域是
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