4.3等比数列 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3等比数列 同步练习
一、单选题
1．已知等比数列的前项积为，若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．已知数列满足，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，即此数列第1项是，接下来2项是，，再接下来3项是，，，，设是数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列中，已知，则公比q=（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的最大值为（ ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
6．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则可能的一个值是（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知，则等比数列，，的公比为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
8．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
10．数列是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列条件能使数列成等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
14．记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
二、填空题
16．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________.
17．某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元.如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，则原计划中每年的产值分别为______万元.
18．已知公比为的等比数列满足，则__________________．
三、解答题
19．数列满足：，点在函数图象上，其中为常数，且.
（1）若，，成等比数列，求的值；
（2）当时，求数列的前项和.
20．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足，，．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100．
21．等差数列满足，.
（1）求的通项公式.
（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.
22．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
设等比数列的公比为，由已知求得，写出通项公式，然后求得积，确定在为偶数时，计算出（），再说明且为偶数时，即得．
【详解】
解：设等比数列的公比为，则，解得，所以，
所以，所以当取得最大值时，可得为偶数，
而在上单调递减，；；，则，且，
当且为偶数时，，
，所以，所以时，取得最大值．
故选：D．
2．B
据题意求出，判断出数列递减，且，再对两边取倒数，然后平方整理得，再利用单调性进行放缩，可得出当时，，结合不等式的性质即可得解.
【详解】
解析： ，且，
∴，，则，
∵，
∴，即数列递减，则，
∵，
∴两边取倒数得，即，则，
∵数列递减，
∴当时，，即；
当时，，即，，，，
∴根据不等式的性质可得，即，
∴.
同理：，与选项范围不符.
故选：B
3．A
结合分组求和法、等比数列前项和公式求得.
【详解】
分组：第1组有1项为；第2组有2项，为，；……；第组有项，为，，…，.
根据等比数列的前项和公式得每组各项和分别为，，，…，.∵前63组共有（项），
∴.
故选：A.
4．D
由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.
【详解】
由，解得
故选：D
5．C
用和表示出和代入求得，再根据，求得，进而求得到的值，即得解.
【详解】
，
故，
所以，
所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为.
故选：C
结论点睛：等比数列中，如果，求的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.
6．D
先由三边构成等比数列求出的范围，再逐一对照即可求解
【详解】
由题意可设三角形的三边分别为，，．
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得；
又当时，三边相等，三角形为等边三角形，满足条件；
所以；
，，故A错误；
，，故B错误；
，，故C错误；
，，
，，故D正确
所以可能的一个值是．
故选：D．
7．B
由题意，，的公比可转化为，，的公比，令，则转化为，，的公比，由等比中项的性质求出，即可求解
【详解】
设数列的公比为，
，，的公比相当于，，的公比，
相当于，，的公比，
令，即相当于，，的公比，
∴，解得，
则，，
∴公比．
故选：B
8．A
根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
9．D
令首项为，公比为，由题设条件列方程组，求即可.
【详解】
∵为等比数列，令首项为，公比为，则，
∴解得：或
故选：D.
10．A
根据题意求得数列的公比，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】
设等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
则，所以.
故选：A.
11．C
根据函数关系，逐个讨论，分别求出各个数列的通项公式，即可得解.
【详解】
由，
令，可得：，
故对A，有，非等比数列；
对B，，非等比数列；
对C，，为等比数列；
对D，，非等比数列.
故选：C.
本题考查了函数变量和自变量之间的关系，考查了等比数列的通项特征，整体难度不大，属于中档题.
12．A
先求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】
依题意，
当时，，
，两式相减并化简得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，.
，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：A
13．C
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
14．C
由条件结合等比数列的通项公式和性质先求出公比和首项，再由等比数列的前n项和公式求前n项和，从而得出答案.
【详解】
由数列为等比数列，设公比为
由条件，可得，解得
将代入，得，解得
所以，
所以
故选：C
15．B
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，最后确定、、、的结论．
【详解】
解：数列的前项和为，且①，
当时，解得，
当时，②，
①②得：，
故，
整理得（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以．．
根据数列的通项公式和求和公式，整理得，，
由于，所以．
故正确，错误．
故选：．
16．
由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可.
【详解】
因为，，(且)，①
当时，，即，
由等比数列的的公比为，
即，解得，
所以，
当时，，即，
解得，
又(，且)，②
①-②可得，，
即，化为，
又，
所以为等差数列，且公差，
则，
所以
，
，
上面两式相减可得
，
所以.
故答案为：.
关键点点睛：由递推关系式可得出，再由递推关系式得出为等差数列是解题的关键，求出后利用错位相减法求和，属于难题.
17．90，100，110
结合已知条件，利用等差数列和等比数列求解即可.
【详解】
设原计划中每年的产值分别为x万元，y万元，z万元，
由题意知三年产值成等差数列，所以，
又三年总产值为300万元，即，所以，，
因为第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，则每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，
故，，成等比数列，
从而，消去z，得，
解得或
又，故，
所以原计划每年的产值为90万元，100万元，110万元.
故答案为：90，100，110.
18．1
根据等比数列通项公式可得，化简整理，即可得结果.
【详解】
因为为等比数列，且，
所以，即，解得，
故答案为：1
19．（1）；（2）.
（1）由可算出，，，然后利用求解即可；
（2），然后分为偶数、为奇数两种情况求解即可.
【详解】
（1）由可得，，
所以，，
又，，成等比数列，所以，则
又，故
（2）当时，
当为偶数时，
.
当为奇数时，
综上所述，
20．(1)，，，
(2)11302，
（1）先由已知条件求出，，从而可求出公差和公比，进而可求出数列的通项公式，
（2）由（1），即是数列中的第项，而，，从而可知数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，进而可求得结果
(1)
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，，，可得，，
则d=2，q=2，，，，
(2)
由（1），
即是数列中的第项，
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
因为，，
所以数列的前100项是由数列的前107项去掉数列的前7项后构成的，
所以，
21．（1）；（2）.
（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.
【详解】
解：()∵是等差数列，
，
∴解出，，
∴
.
()∵，
，
是等比数列，
，
∴b1=4
22．（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；
（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】
（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，
所以，
所以，且，
所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减得，
所以，
所以.
关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.
答案第1页，共2页
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