5.1导数的概念及其意义 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．已知函数，若存在点，使得直线与两曲线和都相切，当实数取最小值时，（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在区间上的平均变化率为3，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
3．与直线平行的曲线的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（ ）
A． B．1 C．或1 D．或1
5．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
6．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（ ）
A．公司亏损且亏损幅度变大
B．公司的盈利增加，增加的幅度变大
C．公司亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利增加，增加的幅度变小
9．已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s
10．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24 B．32 C．64 D．86
11．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20000 km／h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．已知某物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则当时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．抛物线在点处的切线方程为______．
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
15．若点在曲线上，且，则曲线在点处的切线方程是________．
16．若一个物体的运动规律如下（位移的单位：，时间的单位：）：，则物体在内的平均速度为______.
三、解答题
17．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
18．（1）求曲线在处切线的方程；
（2）过原点作曲线的切线，求切点的坐标．
19．已知拋物线上一点，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
20．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求的范围.
21．已知函数在处的切线方程为，
（1）求a的值；
（2）若方程有两个不同实根、，证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
先分别求出函数在点的切线方程，再根据题意可得出，构造函数，求出的最小值即可求出，从而得到.
【详解】
，
，
又，
过点切线方程为：，①
又，
，即，又，
因此过点的切线方程为：，②
由题意知①②都为直线,
，
，
令，，
令，，
和时，单调递减，且时，恒成立，
时，单调递增，
时，，
，
则，
.
故选：.
本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.
2．B
根据平均变化率的定义可得关于的方程，从而可求的值.
【详解】
在区间上的平均变化率为，
故，
故选：B.
3．D
对函数求导，由可求得切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】
设为切点，则切线的斜率为，解得，
所以切点的坐标为.
故切线方程为，即，
故选：D.
本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
4．A
利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【详解】
解：，于是切线的斜率，
切线与直线平行
，
，
时，，切点是，
切线的斜率，
故切线方程是：，
即和直线重合，
故，
故选：A．
5．C
利用导数定义求的导函数，进而求，根据导数的几何意义即知点处的切线的倾斜角.
【详解】
∵，
∴．又切线的倾斜角的范围为，
∴所求倾斜角为．
故选：C
6．C
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解．
【详解】
由，得，
，又切线过点，
曲线在点处的切线方程为，
取，得，取，得．
的面积等于．
故选：C．
7．A
结合图象，利用平均变化率的定义求解.
【详解】
因为，，，
由图象知，
所以．
故选：A
8．D
根据函数的单调性及平均变化率的意义进行判断.
【详解】
由（）恒成立，可知单增，即盈利增加，
又平均变化率说明盈利增加的幅度变小，
故选:D．
9．D
根据导函数的定义判断可得选项.
【详解】
解：由导数的意义知表示物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s．
故选：D.
10．C
根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.
【详解】
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为.
令，得；令，得.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴.
故选：C
11．D
【详解】
巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以.
巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以.
故选：D.
12．A
利用变化率结合极限思想求瞬时速度即可得解.
【详解】
，
当无限趋近于0时，无限趋近于4，
所以当时的瞬时速度为．
故选：A
13．##y＝2x－2
利用导数的几何意义即可求解.
【详解】
，，
∴在（1,0）处切线为：，即.
故答案为：.
14．
设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】
设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
15．
利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
由题意知，切线的斜率．
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
16．
计算物体在内的位移和时间即可得到平均速度.
【详解】
物体在内的时间改变量为，
物体在内的位移改变为，
所以物体在内的平均速度为.
故答案为：
17．（1）；（2）证明见解析，定值为.
（1）由曲线在点处的切线方程为，可得，从而求出的值，进而可得的解析式；
（2）设点为曲线上任意一点，则可得点的切线方程为，从而可求出切线与直线和直线的交点坐标，进而可求出所求面积
【详解】
（1）将点的坐标代入直线的方程得，
，则，直线的斜率为，
于是，解得，故；
（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，
，又，
所以，曲线在点的切线方程为，
即，
令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，
联立，解得，
从而切线与直线的交点坐标为.
所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.
此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题.
18．（1）；（2）.
（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.
【详解】
解：（1）当时，，即切点坐标为，
，切线斜率为，故所求切线方程为，即；
（2）设切点坐标为，对函数求导得，故切线斜率为，
所以切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，解得，
故切点坐标为.
19．(1)0
(2)
求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.
(1)
将点的代入，
所以点P处的切线的斜率为0；
(2)
由（1）可知，点P处的切线的斜率，
根据直线的点斜式方程，点P处的切线为，得.
20．(1)
(2)
（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将不等式在恒成立，转化为恒成立，令，，求得其最小值即可.
(1)
解:，
，
，
，
切线方程为.
(2)
不等式在恒成立，
即恒成立，
令，，
，
令，
在区间为增函数，且，
，满足，
则为减函数，
为增函数，
所以，，
又因为，
，·
又因为在为增函数
所以，，，
，
21．（1）；（2）证明见解析.
（1）求导函数，根据导函数的几何意义可求得答案；
（2）由（1）得，可得有唯一实根，由导函数的正负得出原函数的单调性，从而可得两根分别在与内，无妨设，设，，根据其导函数研究函数的单调性和最值，从而不等式可得证.
【详解】
（1），，；
（2）由（1）得，又，，且在上单调递增
所以有唯一实根，
时，，递减，时，，递增，故两根分别在与内，无妨设，
设，，则，
时，，递减，时，，递增，有最小值，即恒成立，，，
又因为函数在处的切线方程为，所以恒成立，，
，于是.
方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值、最值问题、方程的根的问题等重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数的几何意义和导数在研究函数单调性、最值、方程的根等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页