第五章一元函数的导数及其应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．已知函数，当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在上的最大值与最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
6．下列求导计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数在上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
8．对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
9．设函数，则＝（ ）
A．0 B．1 C． D．以上均不正确
10．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
11．函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．
12．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．4
二、填空题
13．已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则________.
14．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
15．若函数，满足，且，则___________.
16．已知在区间上不单调，则实数的取值范围是__________.
三、解答题
17．求下列函数的导数.
(1)；
(2).
18．求下列函数的导数．
①；
②；
③；
④；
19．已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
20．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
21．已知函数.
（1）当时，求在最小值；
（2）若有两个零点，求m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由平均变化率的公式求解即可
【详解】
当自变量由1变为2时，函数的平均变化率为
，
故选：C
2．D
利用幂函数单调性可比较的大小，构造函数，利用单调性可比较的大小.
【详解】
解：幂函数在上单调递增，又，
，即，
构造，则，当时，；
在上单调递减，
，
，即，
，
，即，
综上，，
故选：D.
关键点点睛：构造函数，利用单调性比较的大小是本题的解题关键.
3．B
求导得，从而，即可求出，进而求出即可.
【详解】
∵，∴，
令，则，解得，
∴，
∴.
故选：B.
4．C
根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.
【详解】
由基本初等函数导数可知：，，故AB正确；
由复合函数求导法则可知：，故C错误；
又幂函数的导数可知：，故D正确；
故选：C.
5．A
利用导数法求解.
【详解】
解：因为函数，
所以，
令，得，
当或时，，当时，，
又，
所以在上的最大值与最小值分别为，
故选：A
6．B
利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解
【详解】
，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．
故选：B．
7．A
利用导数直接判断函数的单调性.
【详解】
∵，∴在上恒成立，
∴在上是增函数．
故选：A
8．C
将问题等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解，令，结合二次函数、一次函数、三角函数和反比例函数的性质可确定的解的个数，由此可得结果.
【详解】
函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．令，
对于A，，当，即时，有唯一解，不合题意，A错误；
对于B，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，B错误；
对于C，，当时，令，即有无数个解，符合题意，C正确；
对于D，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，D错误.
故选；C.
9．A
先求的值再求导，实质是常数的导数为0.
【详解】
因为为常数，所以.
故选：A.
10．C
先求出函数的定义域，然后对函数求导，使导函数大于零，解不等式可得答案
【详解】
函数的定义域为；，
，
当时，函数单调递增，解得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：C
此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，属于基础题.
11．D
首先求出函数的导函数，再代入求值即可；
【详解】
解：因为，所以，.
故选：D
12．A
将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.
【详解】
解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式恒成立，即不等式恒成立，
它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，
即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.
所以在内恒成立，即在内恒成立.
当时，，则，当且仅当时等号成立，
所以，a的最小值为-4.
故选：A.
13．
利用导数与极限的关系可以直接得到结论．
【详解】
由导数的定义：
所以
即
故答案为：1
本题考查导数的定义及应用，属于基础题．
14．①②③
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
15．3
先求，再对两边求导后令可求的值.
【详解】
因为函数，满足，且，
所以，则，对两边求导，
可得，所以，因此.
故答案为：3
16．
求出函数的导函数，根据在区间上不单调，即函数在上有零点，即方程在上有解，分离参数，从而可得出答案.
【详解】
解：因为函数在区间上不单调，
所以在上有零点，
即方程在上有解，
即在上有解，
所以.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
利用导数的乘除法则，对题设函数求导即可.
(1)
.
(2)
18．①；②③；④=－.
对于①④，直接利用导数的加法和除法法则可求，②③需要先化简，再用求导公式和导数的运算法则可求.
【详解】
解：①.
②因为，
所以
．
③因为，
所以.
④
＝－.
函数求导常用类型：
(1) 基本初等函数：利用求导公式和导数四则运算法则；
(2)复合函数：利用复合函数求导法则
(3)一些复杂函数需要先化简，再求导.
19．（1）；（2）．
(1) ,由,求出a的值,再验证结论即可;
(2) 由题意可得在上恒成立，利用三角函数的性质求出在上的最值即可.
【详解】
（1），
由，可得，所以，
经检验，满足题意．
（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
因为，所以，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
20．（1）时，递增；时，递减；（2）证明见解析.
（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程变形为，设，，通过构造函数，，利用导数证明，再分和时，证明.
【详解】
解：（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
关键点点睛：本题第二问要证明不等式成立，换元后转化为，两次构造函数，并转化为极值点偏移问题，证明不等式.
21．（1）；（2）
（1）当时，则，再对求导，得在上递减，，且，存在唯一的，使，得的单调性，从而得的最小值，比较得结果；
（2）由题意转化为两个函数与在上的交点问题，利用数形结合得结果.
【详解】
（1）当时，，则，
进而在上恒成立，所以在上递减，
又，，
所以在上存在唯一的，使，
而且当时，，所以递增；
当时，所以递减；
所以.
所以在上的最小值；
（2）令，得，则显然不是方程的根，
那么原方程等价于实根的个数，
即，，令，，
原命题也等价于在上有2个交点.
又因为，所以在和上单调递增的；
当时，，所以在轴上方，
当时，，，
又在上单调递增的，所以与轴有唯一的交点.如图所示，
当时，有两个零点.
本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值，及零点等问题，转化思想和数形结合的思想，属于中档题.
答案第1页，共2页
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