第4章 4.1　数列的概念(第1课时) 学案

4．1　数列的概念(第1课时)
素养目标 学科素养
1.理解数列的概念，能根据所给的一列数，归纳总结数列的通项公式．2．理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性. 1.数学抽象；2．数学运算
情境导学
　　树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新的枝条．所以，一株树苗在一段间隔，例如一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发．此后，老枝与“休息”过一年的枝条同时萌发，当年生的新枝则次年 “休息”．这样，一株树苗各个年份的枝数，便构成了一个数列．你能写出这个数列的前10项吗？
1．数列的概念及分类
(1)定义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
项 数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项
表示 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}
(2)分类
①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
②从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．
(3)数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(×)
(2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．(×)
(3){an}与an的意义一样，都表示数列．(×)
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．
已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·(n2－1)，则a6＝(　　)
A．35 B．－11
C．－35 D．11
A　解析：a6＝(－1)6×(62－1)＝35.故选A．
1．下列各项表示数列的是(　　)
A．a，b，c，…，x，y，z
B．2 008,2 009,2 010，…，2 017
C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D．a＋b，a－b，ab，λa
B　解析：数列必须由数组成，A，C，D中均不是数．
2．数列{an}的通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，则a5＝(　　)
A．10 B．12
C．14 D．16
B　解析：由题意，通项公式为an＝(n－1)(n＋1)，则a5＝×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B．
3．数列{an}的通项公式是an＝n＋1，则{an}是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．不能确定
A　解析：因为an＋1－an＝1>0，即an＋1>an，故{an}是递增数列．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2(n∈N＋)，则数列{an}的图象是(　　)
A．一条直线
B．一条抛物线
C．一个圆
D．一群孤立的点
D　解析：由于n∈N＋，所以an＝n2的图象是一群孤立的点．
5．已知数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则a2n＝________；＝________.
3－4n　　解析：∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
【例1】下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){1,3,5,7,9}；(2)4,3,2,1,0；(3)所有无理数；(4)1,2,3,4，…；(5)2,2,2,2,2.
解：(1)是集合，不是数列；(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．
数列及其分类的判定方法：
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．
下列说法正确的是(　　)
A．1,2,3,4，…，n是无穷数列
B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列
C．同一个数在数列中不能重复出现
D．数列{2n＋1}的第6项是13
D　解析：A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．
B错误，数列是有次序的．
C错误，数列中的数可以重复出现．
D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.
【例2】写出下列数列{an}的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)9,99,999,9 999，…；
(4)，，，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)4,0,4,0,4,0，….
解：(1)先将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为An＝2n－1.考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为An＝10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1.
(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为An＝2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为Bn＝(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为Cn＝n，综合得原数列的一个通项公式为an＝.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·.
(6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即an＝该数列也可改写为2＋2,2－2,2＋2,2－2,2＋2,2－2，…，因此其通项公式又可表示为an＝2＋2×(－1)n＋1.
【例3】已知数列的通项公式是an＝写出这个数列的前3项，并判断该数列的单调性．
解：因为an＝
所以a1＝3×1＋1＝4，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10.
因为a1>a2，a3>a2，所以数列{an}不具有单调性．
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住分式中分子、分母的特征，相邻项的变化特征，拆项后的特征，各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳得出的结果不一定是可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
写出下列数列{an}的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，，…；
(2)，3，，，…；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；
(4)3,5,3,5，….
解：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看作是自然数数列的倒数，故该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，…，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数的通项公式为 An＝2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为1－，1－，1－，1－，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以该数列的通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
【例4】在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出{an}的图象；
(2)根据图象写出数列{an}的增减性．
解：(1)列表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，….
图象如图所示．
(2)数列{an}在n＝1,2,3,4时是递减的，在n＝5,6,7，…时是递增的．
【例5】数列是(　　)
A．递增数列　　　　　
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
A　解析：数列中，an＝，
an＋1－an＝－＝＞0，
所以an＜an＋1，数列是递增数列．
1．画数列的图象的方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
2．判断数列增减性的方法
(1)作差比较法：
①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：
①若an＞0，则
当＞1时，数列{an}是递增数列；
当＜1时，数列{an}是递减数列；
当＝1时，数列{an}是常数列．
②若an＜0，则
当＜1时，数列{an}是递增数列；
当＞1时，数列{an}是递减数列；
当＝1时，数列{an}是常数列．
1．若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是(　　)
A．an＝2n B．an＝n2
C．an＝n D．an＝log2n
C　解析：由于函数f(x)＝x是减函数，故数列an＝n是递减数列，选C．
B　解析：令n＝4，a4＝42－7×4＋6＝－6，故选B．
2．若通项公式为an＝n2＋bn的数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．
(－3，＋∞)　解析：由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．
1．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6，则a4＝(　　)
A．2 B．－6
C．－2 D．1
B　解析：令n＝4，a4＝42－7×4＋6＝－6，故选B．
2．下列说法正确的是(　　)
A．数列1，－2，－3，－4，…是一个递减数列
B．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8}
C．{an}和an是相同的概念
D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的
A　解析：A正确；数列－2,3,6,8 不能表示为集合{－2,3,6,8}，数列有次序，集合和元素顺序无关，故B错误；{an}表示数列的全部的项，而an表示数列的第n项，不是同一个概念，故C错误；数列的通项公式可以有多个，故D错误．故选A．
3．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
A　解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，
∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A．
1．判断所给对象是否为一个数列，关键看它们是不是按照一定次序排列的数．
2．数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，按单调性可分为递增数列、递减数列、常数列．
3．已知数列的前几项，按“从特殊到一般”进行归纳．
4．已知一个数列的通项公式，只需将项数n代入即可求出其中的任意一项．
课时分层作业(一)
数列的概念(第1课时)
(60分钟　100分)
知识点1　数列的概念
1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B　解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式an＝(－1)n＋1，也可以是an＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B．
2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是(　　)
A．按一定次序排列的一列数叫作数列
B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式
C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D．同一个数列的任意两项均不可能相同
ABC　解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．
3．(5分)下列说法错误的是(　　)
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
B　解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．故选B．
知识点2　数列的通项公式
4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是(　　)
A．an＝(－1)n·(2n－1)
B．an＝(－1)n·(2n－1)
C．a1＝(－1)n＋1·(2n－1)
D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)
A　解析：将n＝1代入四个选项，可知C中a1＝1，D中，a1＝1.排除C，D．
当n＝3时，代入B项可得a3＝－5，排除B．故选A．
5．(5分)数列{8n－1}的最小项等于(　　)
A．－1 B．7
C．8 D．不存在
B　解析：数列{8n－1}的最小项为a1＝8×1－1＝7.故选B．
6．(5分)已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)，则数列的第4项为(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：由题意，根据数列{an}的通项公式，得a4＝＝.
知识点3　数列的函数特性
7．(5分)已知数列{an}满足a1>0，对一切n∈N＋，＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．不确定
B　解析：因为＝，所以数列{an}为等比数列，an＝a1n－1.
又a1>0，则an>0，所以＝<1，an＋18．(5分)若数列{an}的通项公式an＝，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．以上都不是
A　解析：因为an＝＝＝2－，所以an－an－1＝－＝－＝>0.因此数列{an}是递增数列．故选A．
9．(5分)数列{an}的通项公式是an＝－n2＋4n＋21(n∈N*)，这个数列最大的项是(B)
A．第1项 B．第2项
C．第3项 D．第4项
10.(5分)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A．递增数列
B．递减数列
C．先递增后递减数列
D．常数列
A　解析：由已知得an＋1－an＝3>0，故{an}为递增数列．
11．(5分)数列0，，，，，…的通项公式为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
C　解析：原数列可变形为，，，，，…，
∴an＝.
12．(5分)在数列{an}中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项(　　)
A．不是原数列的项
B．是原数列的第10项
C．是原数列的第11项
D．是原数列的第12项
C　解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n项在新数列中是第1＋4(n－1)＝4n－3项．
由4n－3＝41，得n＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C．
13．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C．，0，，0 D．2,0,0
A　解析：a1＝＝＝1；
a2＝＝＝0；
a3＝＝＝1；
a4＝＝＝0.故选A．
14.(5分)已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
2　解析：由题意得∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1.又a<0，∴a＝－1.
又a＋m＝2，∴m＝3，
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
15.(5分)已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项．
16　解析：因为an＝＝1＋.又n∈N*，所以当n＝16时，an最大.
16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．
(1)an＝；
(2)an＝(－1)n－1·.
解：(1)当n＝1时，a1＝＝2；当n＝2时，a2＝＝；当n＝3时，a3＝＝2；当n＝4时，a4＝＝；当n＝5时，a5＝＝.
(2)当n＝1时，a1＝(－1)1－1×＝；当n＝2时，a2＝(－1)2－1×＝－；当n＝3时，a3＝(－1)3－1×＝；当n＝4时，a4＝(－1)4－1×＝－；当n＝5时，a5＝(－1)5－1×＝.
17.(13分)已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋dn－1，且a2＝，a4＝，求an和a10.
解：∵a2＝，a4＝，代入通项公式an中得解得c＝，d＝2，
∴an＝＋，∴a10＝＋＝.