第4章 4.1　数列的概念(第2课时) 学案

4.1　数列的概念(第2课时)
素养目标 学科素养
　　1.会判断一个实数是否为某个数列的项．2．掌握数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．理解Sn与an的关系，能运用这个关系解决相关问题．(重点) 　　1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
中央电视台某节目中曾经出现过这样的一道题目：观察以下几个数的特点，按照其中的规律说出括号里的数是几．2,5,10,17，(　)，37，…↓an＝n2＋1
1．数列的递推公式与前n项和公式
递推公式 一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的递推公式
前n项和定义 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
前n项和公式 数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的前n项和公式
2．数列中an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)递推公式也是表示数列的一种方法．(√)
(2)所有数列都有递推公式．(×)
(3)an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(×)
1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9－2n，则下列各数中是{an}的项的是(　　)
A．7 B．0
C．3 D．5
ACD　解析：对于A,7＝9－2n，解得n＝1，故A满足；对于B,0＝9－2n，解得n＝ N*，故B不满足；对于C,3＝9－2n，解得n＝3，故C满足；对于D,5＝9－2n，解得n＝2，故D满足．故选ACD．
2．下表是用列表法定义的函数f(x)．在数列{an}中，an＋1＝f(an)(n∈N*)，且a1＝2，则a3等于(　　)
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 3 4 6 2 1 5
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：a2＝f(a1)＝f(2)＝4，a3＝f(a2)＝f(4)＝2.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为________．
an＝　解析：an＝而S1＝1－2＋2＝1，
当n≥2时，Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2－2＝2n－3，
当n＝1时，不满足上式，故an＝
4．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
解：∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
【例1】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项．
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
解：(1)根据an＝3n2－28n，
得a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
即3n2－28n＋49＝0，解得n＝7或n＝(舍)，
∴－49是该数列的第7项．
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝，均不是正整数，
∴68不是该数列的项．
【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
解：(1)令an<0，即n2－7n－8<0，
得－1又n∈N*，∴n＝1,2,3，…，7，
数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
(2)(方法一)an＝n2－7n－8是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为n＝＝3.5，
∴当1≤n≤3时，{an}单调递减；
当n≥4时，{an}单调递增，
∴当n＝3或n＝4时，a3，a4是数列中的最小项，
且最小项a3＝a4＝－20.
(方法二)设an为数列{an}的最小项．
则
即
解得3≤n≤4，
故当n＝3或n＝4时，a3，a4是数列中的最小项，且最小项a3＝a4＝－20.
利用数列的通项公式可以求数列中的各项，可以判断一个数是否为数列的项；借助于通项公式可以研究数列的单调性、最值、周期性等性质．
在数列{an}中，an＝－2n2＋9n＋3.
(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
(2)求数列中的最大项．
解：(1)令an＝－107，即－2n2＋9n＋3＝－107,2n2－9n－110＝0，
解得n＝10或n＝－(舍去)．所以a10＝－107.
(2)an＝－2n2＋9n＋3＝－22＋，
由于n∈N*，所以最大项为a2＝13.
【例3】已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n>1)，写出数列{an}的前5项．
解：由题意，得a2＝3a1＋，而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.
同理a3＝3a2＋＝10，
a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给递推公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给递推公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．
解：由a1＝2，an＋1＝2an，得
a2＝2a1＝2×2＝4＝22，
a3＝2a2＝2×4＝8＝23，
a4＝2a3＝2×8＝16＝24，
a5＝2a4＝2×16＝32＝25，
…，
猜想an＝2n(n∈N*)．
【例4】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－1，求数列{an}的通项公式．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝，求数列{an}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝51－1＝4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－1)－(5n－1－1)＝5n－5n－1
＝4×5n－1.
由于a1＝4也适合an＝4×5n－1，因此数列{an}的通项公式是an＝4×5n－1.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
由于a1＝2不适合an＝－，因此数列{an}的通项公式是an＝
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝________________.
　解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，
∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.
又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式，
∴an＝
1．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的(　　)
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
C　解析： 数列可化为，，，，，…，所以an＝＝，
令＝2＝，解得n＝26，所以2是这个数列的第26项．故选C．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＋a3＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
B　解析：已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，
所以S1＝a1＝2，S2＝a1＋a2＝5，S3＝a1＋a2＋a3＝10，所以a2＝3，a3＝5，所以a1＋a3＝7.故选B．
3．已知数列{an}中，an＝3n＋4，若an＝13，则n等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A　解析：由an＝3n＋4＝13，解得n＝3.故选A．
4．已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，求数列{an}的通项公式．
解：Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.由于a1＝3不适合an＝2n.
故an＝
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0
解：(1)由an＝n2－n－30，得a1＝1－1－30＝－30，
a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24.
设an＝60，则60＝n2－n－30，
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴60是此数列的第10项．
(2)令an＝n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，∴a6＝0.
令n2－n－30>0，解得n>6或n<－5(舍去)．
∴当n>6(n∈N*)时，an>0.
令n2－n－30<0，解得0∴当01．判断给定的项是不是数列中的项，实质就是一个解方程的过程．若解得的n是正整数，则该项是此数列中的项；否则，就不是此数列中的项．
2．求数列的最大(小)项的两种方法：
(1)先判断数列的增减情况，再求数列的最大(小)项；
(2)设ak是最大(小)项，则对任意的k∈N*，且k≥2都成立，解不等式组即可．
3．an与Sn的关系：an＝
课时分层作业(二)
数列的概念(第2课时)
(40分钟　80分)
知识点1　数列的递推公式
1．(5分)数列，，，，…的递推公式可以是(　　)
A．an＝(n∈N*)
B．an＝(n∈N*)
C．an＋1＝an(n∈N*)
D．an＋1＝2an(n∈N*)
C　解析：后一项是前一项的，∴an＋1＝an.
2．(5分)已知数列{an}对任意m，n∈N*，满足am＋n＝am·an，且a3＝8，则a1＝(　　)
A．2 B．1
C．±2 D．
A　解析：令m＝n＝1，则a2＝a1·a1＝a.
令m＝1，n＝2，则a3＝a1·a2＝a＝8，∴a1＝2.
知识点2　an与Sn的关系
3．(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于(　　)
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
D　解析：∵Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，S1＝a1＝1适合上式，∴an＝2n－1.
4．(5分)某数列的前n项和为Sn＝n3＋2n－1，则a1＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
C　解析：∵Sn＝n3＋2n－1，当n＝1时，a1＝1＋2－1＝2.故选C．
知识点3　通项公式的应用
5．(5分)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
D　解析：由n2－8n＋15＝3得n2－8n＋12＝0，
∴n＝2或n＝6.∴3是{an}中的第2项或第6项．
6．(5分)数列，，2，，…，则2是该数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
B　解析：由an＝＝2，解得n＝7.
7．(5分)(多选)设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}的前n项和的最大值为(ABC)
A．S1 B．S2
C．S3 D．S4
8.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，若它的第k项满足3　　　　　　　　　　　　　
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．7或8
B　解析：当n＝1时，S1＝－4，即a1＝－4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－5n)－[(n－1)2－5(n－1)]＝2n－6.
令3<2k－6<7，解得9．(5分)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 020＝(　　)
A．1 B．－1
C．－2 D．2
B　解析：a1＝1，a2＝2，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝2，a9＝a8－a7＝1，…，
∴{an}的周期为6，∴a2 020＝a6×336＋4＝a4＝－1.
10．(5分)已知数列{an}满足a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于(　　)
A． B．
C．－ D．
C　解析：a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.
11．(5分)设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大(　　)
A．第10项
B．第11项
C．第10项或第11项
D．第12项
C　解析：由an＝－n2＋10n＋11≥0得(n＋1)(n－11)≤0，解得1≤n≤11.故数列前11项为非负数，且a11＝0，故从首项到第10项或11项的和最大．故选C．
12.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n·2n－1，则a3＋a4＋a5＝________.
152　解析：a3＋a4＋a5＝S5－S2＝(5×25－1)－(2×22－1)＝152.
13.(10分)在数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间内有没有数列中的项？若有，有几项？
(1)解：a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0(3)解：有．令<<，则故n＝1，即在区间内有且只有1项，为a1.
14.(10分)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，试求数列{an}的最大项．
解：假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.