4.2.2等差数列的前n项和公式(第2课时) 学案

4.2.2　等差数列的前n项和公式(第2课时)
素养目标 学科素养
1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点、难点)2．会用裂项相消法求和．(重点) 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？
1．数列{|an|}的前n项和问题
根据通项公式判断数列{an}是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题．
2．等差数列前n项和的性质
(1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
(2)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数．(×)
(2)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(√)
(3)若两个等差数列的前n项和分别为An，Bn，则一定有＝.(×)
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______，Sn的最小值为______.
0　－10　解析：a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，即a1＋2d＝－2，解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝.当n＝4或5时，Sn最小，为－10.
　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且＝，则＝________.
　解析：＝＝＝＝.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
10或11　解析：令an≥0得－n2＋10n＋11≥0，
即n2－10n－11≤0，∴－1≤n≤11.
∵n∈N*，∴该数列前10项为正，第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大．
4．已知等差数列{an}，an＝2n－9，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.
52　解析：由an≥0得n≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋a10)＝－S4＋S10－S4＝S10－2S4＝20－2×(－16)＝52.
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
∵a1＝101也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0，得n≤.
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2－
＝n2－n＋3 502.
∴Tn＝
已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤：
(1)确定{an}的通项公式；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{an}的前n项和公式求解；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
解：∵数列{an}的公差d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
令an<0，即3n－63<0，解得n<21.
∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．
设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和，
当n≤20时，
S′n＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n>20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋×3－2×＝n2－n＋1 260.
∴数列{|an|}的前n项和
S′n＝
【例2】等差数列{an}中，Sn为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，数列{an}前多少项和最大？
解：(方法一)∵
∴17a1＋d＝9a1＋d，
解得d＝－2.
从而Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大．
(方法二)由方法一得d＝－2.
∵a1＝25>0，
由得
∴当n＝13时，Sn有最大值．
求等差数列前n项和Sn最值的方法：
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)运用二次函数的图象求最值．
1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15 B．S16
C．S15或S16 D．S17
A　解析：∵a1＝29，S10＝S20，
∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.
∴当n＝15时，Sn取得最大值．
2．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n＝8 时Sn 取得最大值，则d的取值范围为________．
　解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，
可得即解得－1【例3】等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为其前n项和，求＋＋…＋.
解：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴＝＝＝.
∴＋＋…＋＝＋…＋＋
＝＝－.
把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．
常见的拆项公式(其中n∈N*)：
①＝－.
②＝.
③＝.
④若等差数列{an}的公差为d，
则＝，
＝.
⑤＝.
⑥＝－.
⑦＝(－)．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.
　解析：设等差数列的首项为a1，公差为d.
由题意有解得
数列的前n项和Sn＝na1＋d＝n×1＋×1＝，
裂项可得＝＝2，
所以
＝2
＝2
＝.
探究题1　已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且＝，求的值．
解：∵S2n－1＝(a1＋a2n－1)＝(2n－1)an，
T2n－1＝(b1＋b2n－1)＝(2n－1)bn，
∴＝＝＝＝.
探究题2　已知数列{an}为等差数列，若<－1，且前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为________．
11　解析：∵<－1，且Sn有最大值，
∴a6>0，a7<0且a6＋a7<0，
∴S11＝＝11a6>0，
S12＝＝6(a6＋a7)<0，
∴使Sn>0的n的最大值为11.
探究题3　等差数列{an}中，Sm＝n，Sn＝m，求Sm＋n.
解：设等差数列{an}的公差为d.
∵Sm＝ma1＋d＝n，①
Sn＝na1＋＝m，②
①－②得(m－n)a1＋d＝n－m，
∴a1＋d＝－1.
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)
＝－(m＋n)．
设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7
C．12 D．13
C　解析：因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零．又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a2＋a8＝－6，则Sn的最小值等于(　　)
A．－34 B．－36
C．－6 D．6
B　解析：设数列{an}的公差为d，
∵a2＋a8＝－6，∴2a1＋8d＝－6.
又a1＝－11，∴d＝2，
∴Sn＝na1＋＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，
∴当n＝6时，Sn有最小值S6＝－36.故选B．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝10，则S6等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．42
B　解析：由于{an}是等差数列，故S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，即2(10－4)＝4＋S6－10，解得S6＝18.故选B．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　解析：因为S4＝2(a2＋a3)≥10，所以a2＋a3≥5.又S5＝5a3≤15，所以a3≤3.而a4＝3a3－(a2＋a3)，故a4≤4，当且仅当a2＝2，a3＝3时等号成立，所以a4的最大值为4.故选C．
4．已知等差数列{an}的公差为1，a1＋a2＋a3＋…＋a99＝102，试求a3＋a6＋…＋a99的值．
解：由题意，等差数列{an}的公差为1，且a1＋a2＋a3＋…＋a99＝102，
则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a98)＋(a3＋a6＋…＋a99)＝3(a3＋a6＋…＋a99)－33×2d－33d＝3(a3＋a6＋…＋a99)－99，
所以a3＋a6＋…＋a99＝＝67.
5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．
(1)设11月n日当天新感染人数为an，求{an}的通项公式(用t表示)；
(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数．
解：(1)由题意得， 当n≤t时是公差为50，首项为20的等差数列，
此时an＝20＋50(n－1)＝50n－30(1≤n≤t)．
当n≥t＋1时是公差为－30，首项为50t－30的等差数列，此时an＝50t－30－30(n－t) ＝－30n＋80t－30(t＋1≤n≤30)，
故an＝
(2)由(1)可知，
前t日患者共有St＝＝(25t2－5t)人．
又第t＋1日有－30(t＋1)＋80t－30＝(50t－60)人，
第30日有－30×30＋80t－30＝(80t－930)人．故t＋1日至第30日共30－t天的时间里共有S′t＝＝－65t2＋2 445t－14 850.
故1到30日共有St＋S′t＝25t2－5t－65t2＋2 445t－14 850＝－40t2＋2 440t－14 850.
故－40t2＋2 440t－14 850＝8 670 t2－61t＋588＝0即(t－12)(t－49)＝0，又1≤t≤30 ，故t＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.
故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．
1．已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤
(1)确定{an}的通项公式；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{an}的前n项和公式求解；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．
2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
3．利用裂项相消法求数列前n项和．
课时分层作业(六)
等差数列的前n项和公式(第2课时)
(60分钟　100分)
知识点1　求数列{|an|}的前n项和
1．(5分)设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝(　　)
A．139 B．153
C．144 D．178
B　解析：∵an＝2n－7，∴a1＝－5，d＝2.∴Sn＝n2－6n.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋a15＝－S3＋(S15－S3)＝S15－2S3＝153.
2.(5分)在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值为________．
60　解析：∵a1>0，a10·a11<0，
∴d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋a2＋…＋a10－(a11＋a12＋…＋a18)＝S10－(S18－S10)＝60.
知识点2　等差数列前n项和的最值问题
3．(5分)已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为(　　)
A． B．
C．1 D．0
C　解析：∵a2＝0，a4＝－2，∴d＝－1，
∴an＝2－n.
∴Sn的最大值为S1＝S2＝1.
4．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝26－2n，若使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为(　　)
A．12 B．13
C．12或13 D．14
C　解析：由an≥0，得n≤13，∴S13＝S12最大.
5.(5分)已知等差数列{an}，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________．
6或7　解析：∵d>0，∴|a5|＝|a9|可化为－a5＝a9.
即a5＋a9＝2a7＝0.∴a7＝0，∴a6<0，a8>0.
∴S6＝S7最小．
知识点3　利用裂项相消法求数列的和
6．(5分)在数列{an}中，an＝＋＋…＋(n∈N*)．又bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn为(A)
A． B．
C． D．
得分
7.(5分)设数列{an}满足对任意的n∈N*，Pn(n，an)满足PnPn＋1＝(1,2)，且a1＋a2＝4，则数列的前n项和Sn为________．
　解析：∵Pn(n，an)，Pn＋1(n＋1，an＋1)，
∴PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－an＝2.
∴{an}为等差数列，d＝2.
∵a1＋a2＝2a1＋d＝4，∴a1＝1.∴an＝2n－1.
∵＝＝
×，
∴Sn＝×
＝×＝.
知识点4　等差数列前n项和性质的应用
8．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则的值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．5
C　解析：∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，
∴＝＝＝＝＝＝4.故选C．
9．(5分)已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　)
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．第8项
C　解析：∵S13<0，S12>0，∴d<0.
∵S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
∵S12＝＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0且|a6|>|a7|.
∴a7的绝对值最小.
10.(5分)(多选)设{an}是等差数列，Sn是前n项的和，且S5S8，则(　　)
A．d>0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
BD　解析：由S5∴a6>0.
又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0.
同理由S7>S8可得a8<0.若S9>S5，则a6＋a7＋a8＋a9>0，
∴2(a7＋a8)>0.
由题设a7＝0，a8<0，显然A，C项是错误的．
11．(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
D　解析：∵＝＝＝＝＝7＋.
当n＋1＝2,3,4,6,12，即n＝1,2,3,5,11时，是整数．
12．(5分)(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
BC　解析：∵在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，∴a3＋a9＝0，∴a6＝0.又d<0，∴a5>0，a7<0，
∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.
13.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大值的n为________．
10　解析：由S19>0，S20<0，可知{an}为递减的等差数列．设其公差为d，则d<0.由S19＝>0，S20＝<0，得a1＋a19＝2a10>0，a1＋a20＝a10＋a11<0，所以a10>0，a11<0.所以使Sn取得最大值的n为10.
14.(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n－1，则数列{|an|}的前n项和为________．
n2＋2n　解析：由题可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，则有Sn＝－a1－a2－…－an＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝＝n2＋2n.
15.(10分)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn>.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意有解得
从而{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)因为bn＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋＝1－.
令1－>，解得n>1 010，故取n＝1 011.
16.(10分)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．
(1)证明数列{an}为等差数列，并求an.
(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大值，并求出取最大值时n的值．
解：(1)由已知，得2Sn＝a＋an，且an>0.
当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1.
当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1.
所以2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，即2an＝a－a＋an－an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
且an＝n.
(2)由(1)可知an＝n.设cn＝an·bn，
则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，{cn}的最大项为6.
故{an·bn}的最大值为6，此时n＝2或n＝3.
17.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16.
(1)求n为何值时，Sn取得最大值；
(2)求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：(1)在等差数列{an}中，a1＝25，a4＝16，
∴公差d＝＝－3.∴an＝－3n＋28.
令an＝－3n＋28≥0且n∈N*，得n≤9.
∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n＝9时，Sn取得最大值．
(2)∵数列{an}是等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20＝＝10a11＝10×(－3×11＋28)＝－50.
(3)由(1)得，当n≤9时，an>0；当n>9时，an<0.
∴当n≤9时，Tn＝a1＋a2＋…＋an
＝25n＋×(－3)＝－n2＋n.
当n>9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝2S9－Sn＝2×(9×25－36×3)－＝n2－n＋234.
所以Tn＝
重难强化训练(一)
数列和等差数列(60分钟　100分)练易错
易错点1| 忽视数列是特殊的函数
[防范要诀]
数列的通项an及前n项和Sn都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．
[对点集训]
1．(5分)设an＝－n2＋5n－6，则数列{an}中的最大项的值是(　　)
A． B．
C． D．0
D　解析：此二次函数图象对称轴n＝ N*.
∴ 当n＝2或3时，an取最大值，a2＝a3＝0.
2．(5分)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于任意n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
D　解析：∵an＋1>an，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2，
即k>－(2n＋1)对于任意n∈N*都成立，
当n＝1时，－(2n＋1)取最大值－3，
∴k>－3.
3.(5分)已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
10或11　解析：令an≥0得－n2＋10n＋11≥0，
即n2－10n－11≤0，∴－1≤n≤11.
∵n∈N*，∴该数列前10项为正，第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大．
易错点2| 不能正确进行an与Sn互化
[防范要诀]
凡是已知Sn的表达式或Sn与an的关系式，都需要用到当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；另外，也不要忽视检验n＝1是否也适合an.
[对点集训]
4．(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
C　解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴Sn－1＋Sn＝an(n≥2)，
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，S1＋S2＝a2，∴2a1＝0即a1＝0.
∴{an}是常数列，各项均为0.
5.(5分)已知数列{an}满足Sn＝n2＋1，则通项公式an＝________.
　解析：∵Sn＝n2＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2与上式不符合．
∴an＝
易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误
[防范要诀]
使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差．
[对点集训]
6.(5分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．
解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝.但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列.
7.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0.求{an}的通项公式．
解：∵Sn＝(an＋1)2.
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an＋1)2－(an－1＋1)2.
∴a－a－2an－2an－1＝0.
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)．
∴{an}为等差数列，公差为2.
当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋1)2.∴a－2a1＋1＝0.
∴a1＝1.∴an＝2n－1.
练疑难
8．(5分)在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3的值是(　　)
A． B．
C． D．1
A　解析：∵在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，
∴a2×1＝a1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a2＝2，
a3×2＝a2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a3＝.
9．(5分)若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
B　解析：依题意得2 lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，∴2x＝5或2x＝－1(舍)，
∴x＝log25.
10．(5分)已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　)
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第13项
C　解析：∵an＝n－7＋2＝()2－7＋2
＝2－.
令＝，则n＝＝12.25.∵n∈N*，
∴当n＝12时，an最小．
11．(5分)已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　)
A．d>
B．d<
C．D．D　解析：由题可得a1＝，且
根据等差数列的通项公式可得
从而解得12．(5分)等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，则下列结论正确的是(　　)
A．S30是Sn的最大值
B．S30是Sn的最小值
C．S30＝0
D．S60＝0
D　解析：等差数列的前n项和公式可写为Sn＝an2＋bn的形式，由S20＝S40知Sn关于直线n＝30对称，但因为不知道a的符号，所以无法判断S30是最大或是最小．由S20＝S40可知S60＝0，故选D．
13.(5分)数列{an}满足递推关系an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，a1＝5，则使得数列为等差数列的实数m的值为________．
－　解析：a1＝5，a2＝3×5＋32－1＝23，
a3＝3×23＋33－1＝95，
依题意得，，成等差数列，
∴2·＝＋，
∴m＝－.经检验m＝－满足题设.
14.(10分)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)由题意，得
即解得
所以Sn＝3n＋×(－1)＝－n2＋n.
(2)由(1)，得＝－n＋，
所以－＝－(n＋1)＋－＝－，即数列是首项为＝3，公差为－的等差数列，
故Tn＝3n＋×＝－n2＋n.
15.(10分)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
(1)解：∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，
即an－＝－2n(看成关于an的方程)．
∴a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±.
∵an＞0，
∴an＝－n.
(2)证明：作商比较，∵＝＝＜1.
又an＞0，∴an＋1＜an，故数列{an}是递减数列.
16.(10分)数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2.
(1)若a2＝a7，求数列{an}的最小项；
(2)若不等式an≥a4恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)由a2＝a7得k＝－9，即an＝n2－9n＋2＝2－.
因为n∈N＋，所以当n＝4或5时，{an}的最小项为a4＝a5＝－18.
(2)an＝n2＋kn＋2＝2＋2－，
因为不等式an≥a4恒成立，所以3.5≤－≤4.5，
解得－9≤k≤－7.
所以实数k的取值范围为{k|－9≤k≤－7}．