4.3.1等比数列的概念(第2课时) 学案

4.3.1　等比数列的概念(第2课时)
素养目标 学科素养
1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质．2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算；2．逻辑推理
情境导学
一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！
1．等比数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；
若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a＝am·an.
(2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{a}，仍为等比数列．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.(×)
(2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，则数列{an＋bn}也一定是等比数列．(×)
(3)若数列{an}是等比数列，则{λan}也是等比数列．(×)
2．等比数列性质的应用
一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为，，aq，aq3(公比为q2)．
(1)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为__1__.
(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
D　解析：当下标成等差数列时，对应的项成等比数列．
2．在等比数列{an}中，若a2a8＝9，则a3a7＝(　　)
A．3 B．±3
C．9 D．±9
C　解析：∵2＋8＝3＋7，∴a3a7＝a2a8＝9.
3．在等比数列{an}中，若a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11＝(　　)
A．48 B．72
C．144 D．192
D　解析：∵＝q9＝8(q为公比)，
∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.
4．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为________．
　解析：因为a4a6＝a，所以a4a5a6＝a＝3，解得a5＝3.因为a1a9＝a2a8＝a，所以log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.
5．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.
　解析：因为a19＋a20＝a9q10＋a10q10＝(a9＋a10)q10＝aq10＝b，所以q10＝，a99＋a100＝q90(a9＋a10)＝a9＝.
【例1】(1)在等比数列{an}中，若a3＝，a9＝2，则a15＝________.
(2)已知公比为q的等比数列{an}，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
(3)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则等于________．
(1)8　(2)1　(3)或
解析：(1)∵a3a15＝a，∴a15＝＝＝8.
(2)∵a5＋a9＝q，∴a4＋a8＝1，
∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝1.
(3)设公比为q.
∵a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，
∴或∴q10＝＝或，
∴＝q10＝或.
等比数列的常用性质：
(1)设{an}为等比数列，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.若m＋n＝2p，则aman＝a.
(2)若{an}为等比数列，m，n∈N*，则＝qm－n.
(3)若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列．
(4)若数列{an}是公比为q的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
(5)等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.
在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝45，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.
根据题意，得
解得或
∴q＝5或q＝5－.
∴an＝3×5或an＝3×5.
【例2】2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.
(1)哪一年两林场木材的总存量相等？
(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？
解：(1)由题意可得
16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，
解得n＝2，
故到2019年两林场木材的总存量相等．
(2)令n＝5，则a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，
故到2021年不能翻一番．
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．
一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
45　解析：3分钟后占据内存22 KB，两个3分钟后占据内存23 KB，三个3分钟后占据内存24 KB，……，n个3分钟后占据内存为2n＋1 KB．令2n＋1＝64×210＝216，得n＝15.所以15×3＝45(分钟)，故开机后45分钟，该病毒占据内存64 MB．
探究题1　已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2的值为(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
A　解析：∵a1，a2，a5成等比数列，
∴a＝a1a5＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3.
探究题2　已知等比数列{an}，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)
A．3＋2 B．1－
C．1＋ D．3－2
A　解析：∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2.
∴a1q2＝a1＋2a1q，即q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q＝1＋.
∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
探究题3　有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．
解：(方法一)设前三个数分别为，a，aq(a≠0)，则第四个数为2aq－a.
由题意得解得
∴这四个数分别为，3,6,9.
(方法二)设后三个数分别为a－d，a，a＋d(a≠0)，则第一个数为.
由题意得
化简得解得
∴这四个数分别为，3,6,9.
(方法三)设前三个数分别为a，aq，aq2(a≠0)，则第四个数应为2aq2－aq.
由题意得
化简得解得
∴这四个数分别为，3,6,9.
探究题4　三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．
解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d.∵a－d＋a＋a＋d＝6，
∴a＝2，即三个数分别为2－d,2,2＋d.
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，
解得d＝6或d＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，
解得d＝－6或d＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则有22＝(2＋d)(2－d)，
解得d＝0(舍去)．
综上可知，这三个数是－4,2,8或8,2，－4.
探究题5　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，
可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，
解得d1＝2，d2＝－10.
∵等差数列{bn}的各项为正，
∴d>0，
∴d＝2，∴b1＝3.
∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
巧设等差数列、等比数列的方法：
(1)若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d；若三个数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2(a≠0，q≠0)．
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2(a≠0，q≠0)．
等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解：设等差数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
因此，S20＝200或S20＝330.
1．在等比数列{an}中，a3＝－9，a7＝－1，则a5的值为(　　)
A．3或－3 B．3
C．－3 D．不存在
C　解析：a＝a3·a7＝9，所以a5＝－3或a5＝3(舍去)．
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a8＝(　　)
A．243 B．128
C．81 D．64
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∴q＝＝＝2，∴a1＋a2＝3a1＝3，即a1＝1，
∴a8＝a1q7＝128.
3．等比数列{an}不具有单调性，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列{an}的公比q＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．－3
A　解析：∵a5是a4和3a3的等差中项，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1.又等比数列{an}不具有单调性，故q＝－1.故选A．
4．等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，则P与Q的大小关系是(　　)
A．P≥Q B．PC．P≤Q D．P>Q
D　解析： P＝(log0.5a5＋log0.5a7)＝log0.5＝log0.5a6，Q＝log0.5≤log0.5＝log0.5a6 (当且仅当a3＝a9时取等号)．
∵{an}各项均为正数且q≠1，∴a3≠a9，
∴QQ.故选D．
5．设{an}是等比数列，a1＝1，a3＝a2.求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝.
因为a1＝1，所以an＝n－1.
1．等比数列的性质及其应用
一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量这一点很重要．
2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在三个(四个)数成等比数列问题中，应注意灵活设项．
课时分层作业(八)
等比数列的概念(第2课时)
(60分钟　110分)
知识点1　等比数列的性质
1．(5分)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
B　解析：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4.
∵a2·am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B．
2．(5分)已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3a9＝2a，a2＝1，则a1＝(　　)
A． B．
C． D．2
B　解析：∵a3a9＝a，∴a6＝a5，∴q＝.
∵a2＝a1q＝1，∴a1＝.
3．(5分)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于(　　)
A．－213 B．213
C．26 D．－26
A　解析：a1·a2·…·a13＝(a7)13＝(－2)13＝－213.
知识点2　等比数列的实际应用
4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为(　　)
A．8a，b B．64a，b
C．128a，b D．256a，b
C　解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和，
∴对折7次后的厚度为27·a＝128a，
面积为7·b＝.
5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
C　解析：由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，公比为1.1的等比数列，则an＝a·1.1n.
∴a·1.1n>2a.∵1.17<2,1.18>2，∴n＝8.
知识点3　等比数列的综合应用
6．(5分)已知等差数列{an}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
D　解析：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
∴d2＝a1d.
又d≠0，a1≠0，∴d＝a1，∴an＝a1＋(n－1)d＝na1≠0，
∴＝＝3.故选D．
7．(5分)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{an}前6项的和为(　　)
A．－20 B．－18
C．－16 D．－14
B　解析：∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1·a4.
∴(a1＋4)2＝a1·(a1＋6)．∴a1＝－8.
∴S6＝6×(－8)＋＝－18.
8．(5分)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值为(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
A　解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，
∴log3an＋1－log3an＝1，∴log3＝1，
∴＝3，∴{an}是等比数列，公比为3.
∴log(a5＋a7＋a9)＝log[(a2＋a4＋a6)·q3]＝log(9×27)＝－5.
9．(5分)已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝(　　)
A．34 B．39
C．51 D．68
D　解析：∵a6＝a2a10＝a，
∴a6＝1.∴a7＝2a6＝2.
∴b9＝4.∴S17＝＝17b9＝17×4＝68.
10.(5分)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q≠±1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．9 B．10
C．11 D．12
C　解析：∵am＝a1a2a3a4a5＝a＝q10＝a11，
∴m＝11.
11．(5分)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．84
C．72 D．189
B　解析：设等比数列{an}的公比为q，由4a1,2a2，a3成等差数列，得4a1＋a3＝4a2，即12＋3q2＝4×3q，解得q＝2，∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3×(22＋23＋24)＝84.
12．(5分)(多选)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则(　　)
A．q2＝3 B．a＝4
C．a4a6＝2 D．n＝14
BD　解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，a＝4，a＝12，AC不正确．
又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.故选BD．
13.(5分)已知数列{an}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.
±36　解析：设等比数列{an}的公比为q，
∵＝q6＝＝8，
∴q3＝±2.
∴a6＋a8＝(a3＋a5)·q3＝18×(±2)＝±36.
14.(5分)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
16　解析：∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
15.(10分)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，求a1.
解：设{an}的公比为q(q≠1)，
∵a1a2a3＝a＝－，∴a2＝－.
∵a2，a4，a3成等差数列，∴2a4＝a2＋a3.
∴2×·q2＝－＋·q，
解得q＝－或q＝1(舍)．
∴a1＝＝1.
16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．
解：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则解得或
故所求四个数依次为－，，－2,8或8，－2，，－.
17.(10分)已知数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
(1)求证：当0(2)若对任意k∈N*，都有ak，ak＋2，ak＋1成等差数列，求q的值．
(1)证明：∵an＝qn－1，
∴an＋1－an＝qn－qn－1＝qn－1(q－1)．
当00，q－1<0，
∴an＋1－an<0，
∴{an}为递减数列．
(2)解：∵ak，ak＋2，ak＋1成等差数列，
∴2ak＋2＝ak＋ak＋1.
∴2qk＋1－(qk－1＋qk)＝0，
即qk－1·(2q2－q－1)＝0.
∵q≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.
18.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，且bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：由Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2，两式相减，得
Sn＋2－Sn＋1＝4(an＋1－an)，即an＋2＝4an＋1－4an，
∴＝＝＝2.
当n＝1时，由S2＝4a1＋2得a2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3，
∴{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知等比数列{bn}中，首项b1＝3，公比q＝2，
∴an＋1－2an＝3×2n－1，则－＝，
∴因此数列是首项为，公差为的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝n－，
∴an＝(3n－1)·2n－2.