4.3.2等比数列的前n项和公式(第2课时) 学案

4.3.2　等比数列的前n项和公式(第2课时)
素养目标 学科素养
1.掌握等比数列前n项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 1.逻辑推理；2．数学运算
情境导学
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？
1．等比数列前n项和的性质
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．
(2)如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q.
2．分组求和
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×n＋m，则m＝－2.(√)
(2)若数列{an}是公比q≠1的等比数列，则其前n项和公式可表示为－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)．(√)
2．若an＝2n－n，则{an}的前n项和为2n＋1－2－.
3．数列1，3，5，…，(2n－1)＋，…的前n项和为n2＋1－.
1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于(　　)
A．140 B．120
C．210 D．520
A　解析：∵S2＝20，S4－S2＝40，且(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，∴S6－S4＝80.
又∵S4＝60，∴S6＝140.
2．若数列{an}是等比数列，且其前n项和Sn＝3n＋1－3k，则实数k等于________．
1　解析：∵Sn＝3n＋1－3k＝3×3n－3k，∴3＝3k，即k＝1.
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－2＋，则r＝________.
－　解析：因为Sn＝2n－2＋＝×2n＋，
∴＝－，即r＝－.
4．数列{2n－1}的前n项和为________．
2n＋1－2－n　解析：Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n＋1－2－n.
【例1】(1)若等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)
A．28 B．32
C．21 D．28或－21
(2)在等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________.
(3)等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(1)A　(2)24　(3)2　解析：(1)∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7,91－S4成等比数列，
由(S4－7)2＝7×(91－S4)，得S4＝28或S4＝－21.
又∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28.
(2)设A＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
B＝a1＋a3＋a5＋…＋a79，
则＝q＝3，即A＝3B．
又A＋B＝S80＝32，∴A＝32，解得A＝24.
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.
(3)根据题意得
∴
∴q＝＝＝2.
等比数列前n项和的常用性质：
(1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.
(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．
在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，则前30项的和S30＝________.
70　解析：(方法一)设数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠1)，则
两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.
∴＝－10.
∴S30＝＝－10×(1－8)＝70.
(方法二)∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，
∴S30－30＝，
即S30＝70.
【例2】已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，a2－a1，…，an－an－1，…，此数列是首项为1，公比为的等比数列．求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋＋2＋…＋n－1
＝.
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝＋＋…＋
＝n－
＝＋×n－1.
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…”，如何求其前n项和？
解：设该数列的第n项为an，则
an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以该数列的前n项和
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)－n
＝－n＝2n＋1－n－2.
探究题1　在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S10－S4＝________.
解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)．
∵a2，a4＋2，a5成等差数列，
∴2a4＋4＝a2＋a5.
∴2×2×q3＋4＝2×q＋2×q4.
∴q4－2q3＋q－2＝0.
∴(q－2)(q3＋1)＝0.
∴q＝2或q＝－1(舍)．
∴S10－S4＝－＝2 016.
探究题2　在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为|a2|的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意得a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，
从而d＝－3.
所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)由(1)得a2＝－4，所以|a2|＝4.
而数列{an＋bn}是首项为1，公比为4的等比数列，
所以an＋bn＝4n－1，即－3n＋2＋bn＝4n－1，
所以bn＝3n－2＋4n－1，
于是Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n－1)＝＋＝＋.
探究题3　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－.
(2)由(1)可得a1－a12＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝.
探究题4　已知正项等比数列{an}(n∈N*)，首项a1＝3，前n项和为Sn，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)，
即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，
化简得4a5＝a3，从而4q2＝1，解得q＝±.
因为an>0，所以q＝，所以an＝3×n－1.
(2)由(1)知，nan＝3nn－1.
Tn＝3×1＋3×2×＋3×3×2＋…＋3nn－1，
Tn＝3×1×＋3×2×2＋…＋3(n－1)·n－1＋3nn，
两式相减得 Tn＝3×1＋3×＋3×2＋…＋3×n－1－3nn
＝3×－3nn＝6－.
所以Tn＝12－.
解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．
已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
解：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，
所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)(a7＋1)，
得(a1＋5)2＝(a1＋1)(a1＋13)，
解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1.
(2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)，
所以＝，
所以Tn＝
＝
＝－.
1．已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1且bi>0(i＝1,2，…，n)，若a1＝b1，a11＝b11，则(　　)
A．a6>b6
B．a6＝b6
C．a6D．a6b6
A　解析：由题意可得四个正数满足a1＝b1，a11＝b11，
由等差数列和等比数列的性质可得a1＋a11＝2a6，b1b11＝b.
由基本不等式可得2a6＝a1＋a11＝b1＋b11≥2＝2b6，当且仅当b1＝b11时等号成立．
又公比q≠1，故b1≠b11，上式取不到等号，∴2a6>2b6，即a6>b6.故选A．
2．已知等比数列{an}的公比q>1，且a1a4＝8，a2＋a3＝6，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n B．2n－1
C．2n－1 D．2n－1－1
C　解析：等比数列{an}中，有a1a4＝a2a3＝8，
而a2＋a3＝6，可得a2＝2，a3＝4或a2＝4，a3＝2.
根据公比q>1可知{an}是递增数列，所以a2＝2，a3＝4，
可得q＝＝2，a1＝＝1，所以{an}的前n项和Sn＝＝＝2n－1.故选C．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 019 D．－2 019
A　解析：由题得a1q(a1＋a1q＋a1q2＋a1q3)＝a1q3(a1＋a1q)，
即q(1＋q＋q2＋q3)＝q3(1＋q)，
所以1＋q＋q2＋q3＝q2(1＋q)，所以q＝－1.
所以＝＝1.故选A．
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明：由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，所以＝3，所以是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列，所以an＋＝·3n－1.
(2)解：由(1)知{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则Sn＝－，所以Sn＝.
1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论．
(2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,02．函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n项和Sn＝·(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．
3．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．
课时分层作业(十)
等比数列的前n项和公式(第2课时)
(50分钟　100分)
知识点1　等比数列前n项和的性质
1．(5分)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
D　解析：在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an.
2．(5分)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
D　解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝，a2a3＝aq3＝－，
∴＋＋＋＝＝＝＝＝－.
3.(5分)等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
2　解析：设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.
由题意得＝，∴1＋q＝3，
∴q＝2.
4.(5分)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.
11　解析：∵S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.
知识点2　分组求和
5．(5分)数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为(　　)
A．n＋ B．n－1＋
C．n－1＋ D．n＋
B　解析：∵数列的通项
an＝＋＋…＋＝＝1－，
∴前n项和
Sn＝＋＋…＋
＝n－
＝n－1＋.
6．(5分)设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为(　　)
A．978 B．557
C．467 D．979
A　解析：设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn＝an＋bn，∴
解得∴cn＝2n－1＋(1－n)．
∴{cn}的前10项和为＋＝978.
知识点3　等差数列与等比数列的综合问题
7．(5分)已知数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝(　　)
A．1 033 B．1 034
C．2 057 D．2 058
A　解析：∵an＝n＋1，bn＝2n－1，
∴ab1＋ab2＋…＋ab10＝a1＋a2＋a4＋…＋a29
＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)
＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋＝1 033.
8．(5分)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
D　解析：∵S1，S2，S4成等比数列，∴S＝S1·S4，
∴(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，∴a1＝－.
9．(5分)(多选)已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和．若a2a3＝8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则(　　)
A．a1＝－1 B．公比q＝－2
C．a4＝8 D．S5＝31
CD　解析：∵a2a3＝8a1，∴a1q3＝8，即a4＝8.
∵a4＋2a5＝40，∴a4(1＋2q)＝40，∴q＝2，a1＝1.
∴S5＝＝31.
10.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．－3 B．5
C．－31 D．33
D　解析：设{an}的公比为q，
∵S3＝＝2，
S6＝＝18，
∴1＋q3＝9，∴q＝2，
∴＝＝1＋q5＝33.
11．(5分)设等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则(　　)
A．A＋B＝C B．B2＝AC
C．A＋B－C＝B2 D．A2＋B2＝A(B＋C)
D　解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即(B－A)2＝A(C－B)，
∴A2＋B2＝A(B＋C)．
12．(5分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{log2an}的前12项和等于(　　)
A．66 B．55
C．45 D．6
A　解析：∵Sn＝2n－1，∴Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，两式相减得an＝2n－1(n≥2)．
又a1＝S1＝1，∴an＝2n－1.
∴log2an＝n－1.
∴{log2an}是等差数列，首项为0，公差为1.
∴前12项和为66.
13．(5分)已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列的前n项和为Tn，则T5＝(　　)
A． B．31
C． D．
A　解析：∵a1＝1，a6＝8a3，∴q＝2.
∴是等比数列，首项为1，公比为，
∴T5＝＝.
14.(5分)在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，若S5＝1，则S10＝________.
33　解析：∵S5＝＝1，∴a1＝.
∴S10＝＝×1 023＝33.
15.(5分)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋r，则r＝________.
－2　解析：∵Sn＝2×3n＋r，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－2×3n－1＝4×3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝6＋r.
∵{an}为等比数列，∴6＋r＝4.∴r＝－2.
16.(12分)已知等差数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，且a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)等比数列{bn}(n∈N*)，若b2＝a2，b3＝a5，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
解：(1)由S3＝9，得3a2＝9，所以a2＝3.
又因为a3＝5，所以公差d＝2.
从而an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.
(2)由(1)可得b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，所以公比q＝3.
从而bn＝b2qn－2＝3n－1，则an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，
分组求和可得Tn＝n2＋(3n－1).
17.(13分)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列．
证明：∵a1，a7，a4成等差数列，∴2a7＝a1＋a4，
∴2q6＝1＋q3，∴q3＝－或q3＝1.
若q3＝1，则2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1.
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．
若q3＝－，
则2S3＝，S6＝，S12－S6＝.
∵2＝·，即S＝2S3·(S12－S6)，
∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．
重难强化训练(二)
等比数列
(60分钟　120分)
练易错
易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误
[防范要诀]
等比数列中任一项an≠0，且q≠0.
[对点集训]
1.(5分)已知等比数列{an}的前三项为a,2a＋2,3a＋3，则a＝________.
－4　解析：由(2a＋2)2＝a(3a＋3) a＝－1或a＝－4.但当a＝－1时，第二、三项均为零，故a＝－1舍去，得a＝－4.
　　　　　　　　　　　　　　　
2.(10分)已知数列{an}中an≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
证明：由已知，有2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②＝＋.③
由③得＝，∴a4＝.④
由①得a2＝.⑤
由④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.
又a1，a3，a5≠0，∴a1，a3，a5成等比数列．
易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误
[防范要诀]
(1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；
(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．
[对点集训]
3.(5分)如果1，a，b，c,16成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
4　16　解析：∵b2＝1×16＝16，且b＝1×q2>0，
∴b＝4.又∵b2＝ac，∴ac＝16.
4.(5分)等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则a6＝________.
729　解析：∵＝q3＝27，∴q＝3，
∴a6＝a2q4＝9×81＝729.
5.(5分)已知－2，a1，a2，－8成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，则＝________.
　解析：∵－2，a1，a2，－8成等差数列，
∴得
又∵－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，
∴b＝－2×(－8)＝16，
∴b2＝4或b2＝－4.
由等比数列隔项同号可得b2＝－4，
∴＝＝.
易错点3| 忽视对公比q的讨论
[防范要诀]
等比数列的公比q≠0，数列中各项都不为零；当公比q≠1时，Sn＝；当公比q＝1时，Sn＝na1.
[对点集训]
6.(5分)等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝________.
　解析：当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.
∴Sn＝
7.(10分)在首项为a1且公比为q的等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若S3＝4，S6＝36，求an.
解：∵S6≠2S3，∴q≠1.
由得
由得＝9，即1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①式得a1＝.
∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝.
练疑难
8．(5分)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)
A．1 B．0
C．1或0 D．－1
A　解析：∵{Sn}是等差数列，∴2S2＝S1＋S3，
∴2(a1＋a2)＝a1＋(a1＋a2＋a3)，∴a2＝a3，
∴q＝＝1.
9．(5分)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
C　解析：∵{an}为等比数列，∴a3a5＝a，∴a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则a1q3＝2，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝.
10．(5分)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　)
A．－
B．－2
C．－1或
D．1或－
D　解析：∵a1，a3，a2成等差数列，∴2a3＝a1＋a2，
∴2q2－q－1＝0.∴q＝1或－.
11．(5分)在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值为(　　)
A．13 B．－76
C．46 D．76
B　解析：∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S22＝(－4)×11＝－44，S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，
∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
12．(5分)已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　)
A．126 B．130
C．132 D．134
C　解析：∵{an}是正项等比数列，
∴{bn}是等差数列．
又∵b3＝18，b6＝12，∴d＝－2，b1＝22，
∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋，
∴当n＝11或12时，Sn最大，
∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132.
13．(5分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an(n∈N*)，则数列{an}的前2 019项的和S2 019等于(　　)
A．31 010－2
B．31 010－3
C．32 009－2
D．32 009－3
A　解析：因为a1＝1，a2＝3，＝3，
所以S2 019＝(a1＋a3＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝＋＝31 010－2.
14．(5分)数列{an}的通项公式是an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 020等于(　　)
A．1 010 B．2 020
C．504 D．0
A　解析：a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴数列{an}的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，….
故S2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.
15.(5分)在等比数列{an}中，a3＝4，S3＝12，数列{an}的通项公式an＝________.
4或n－5　解析：当q＝1时，a3＝4，
a1＝a2＝a3＝4，
S3＝a1＋a2＋a3＝12，∴q＝1符合题意．an＝4.
当q≠1时，
解得q＝－，an＝a3qn－3＝n－5，
故an＝4或an＝n－5.
16.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在直线y＝x＋上．若bn＝3an＋，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：依题意得＝n＋，即Sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2n－；
当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，
所以an＝2n－(n∈N*)，则bn＝3an＋＝32n，
由＝＝32＝9，可知{bn}为等比数列，b1＝32×1＝9，故Tn＝＝.
17.(12分)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a2＝6，a3＋a4＝72.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an－n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝6，a3＋a4＝72，
∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，
∴q＝3或q＝－4.
又∵an>0，∴q>0，∴q＝3，a1＝＝2.
∴an＝a1qn－1＝2×3n－1(n∈N*)．
(2)∵bn＝2×3n－1－n，
∴Sn＝2(1＋3＋32＋…＋3n－1)－(1＋2＋3＋…＋n)＝2×－＝3n－1－.
18.(13分)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
解：(1)∵an＋1＝2Sn＋1，∴an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)．
∵a2＝2S1＋1＝5，∴an＝a23n－2＝5·3n－2(n≥2，n∈N*)，当n＝1，a1＝2不满足上式，
∴an＝
(2)由(1)知nan＝
Tn＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n－1)·3n－3＋5·n·3n－2，①
3Tn＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n－1)3n－2＋5·n·3n－1，②
①－②得－2Tn＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n－2)－5n·3n－1＝6＋5×－5n·3n－1，
∴Tn＝＋·3n－1.