直线与圆的位置关系教学实录
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文档简介
《直线与圆的位置关系》课堂实录
【学习内容】2011年高考数学一轮复习直线与圆的位置关系。
【学习目标】
知识目标：会判断直线与圆及圆与圆的位置关系；能用代数方法和几何方法解决弦长等直线和圆的综合问题；
能力目标：体会掌握两种数学思想：方程思想及数形结合思想。
情感目标：培养和加强合作意识，探究意识。
【学习重点】直线与圆的位置关系的判定及应用。
【学习难点】方程思想与数形结合思想的理解与应用。
【考情分析】考题多为基础题，以选择题和填空题的形式出现，有时也有综合性较强的解答题，考查方程思想和数形结合思想，要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算。
【教具准备】前置学案、多媒体。
【学习过程】
课前展示：（课代表提前安排，各小组展示自己小组的学习成果。）根据学案完成情况，共分4个小组：巩固题组问题一；巩固型题组问题二；升华提高问题1；升华提高问题2。
导入：
师：研究直线与圆的位置关系之前，让我们先欣赏几张美丽的图片。（幻灯片展示日出、月亮升起的图片），我们从刚才的几张图片中可以看到直线和圆的位置关系，同学们一起说，是哪些位置关系？
生：相切，相离，相交。
师：光知道这些远远不够，同学们看大屏幕（展示学习重点和难点）。希望同学们这节课就像升起的太阳和月亮一样，大胆展示，积极讨论，敢于质疑，好不好？
一：知识梳理：（课代表带领同学们复习基础知识，生生互动）
1、直线与圆位置关系的判定及应用；
2、弦长问题
3、圆与圆的位置关系
师：（强调）以上问题1和2都涉及两种方法，代数法和几何法，其中几何法是我们经常用的，一般不用代数方法。好，讨论问题之前，同学们先看看这部分知识的高考考情（多媒体展示考情分析）
二：分组讨论：
师：再现型题组，巩固性题组问题一及变式练习，问题二例题2，高考体验1—5题，以上问题难度不大，只有少部分同学在个别题目上出现问题，请同学们根据多媒体展示的答案分组讨论，尽量自己解决疑问。
讨论完成后（5分钟左右），学生提出质疑：10年山东高考题；其他同学给出解答：学生甲：代数方法；学生乙：几何方法；学生丙：几何方法补充（学生乙考虑不全面）。
老师总结：选择填空题一般用数形结合的方法，能画图先把图形画出来。
三、学生讲解，全班参与。
1、巩固性题组问题一例题2：
学生1：本题涉及圆的弦长问题，我们考虑用几何方法，即r-d法，通过勾股定理列出方程求出直线的斜率。有问题吗？
学生2：我们小组认为应讨论斜率不存在的情况（展示板演斜率不存在的情况）；（学生鼓掌表示认可）
老师强调：没错，
2、巩固性题组问题二变式练习：
学生1：用圆心到直线的距离和半径比较大小的方法，用到了作差法，函数与方程的思想。
学生2：这种方法太麻烦，我还有更好的办法，只需确定直线过定点（3,1），而该点在圆内，所以直线一定与圆相交。（学生鼓掌）
学生1：确实比我的方法简单，谢谢这位同学，下面看第二问，这里圆的半径是定值，根据r-d方法可知当弦心距最大的时候弦长最短，而弦心距最大的情况是当定点（3,1）与圆心的连线与弦垂直的时候（学生画图数形结合加以说明）
老师总结：结合图形，利用图形中点线的位置关系及图形的几何特征解题能简化运算。
3、升华提高问题1：
学生1：同学们还记得刚才王元同学带领我们复习的弦长公式吗？那里用到了设而不求的方法，通过构造一元二次方程，结合韦达定理来整体代换处理的，这个问题正是利用了这种方法，先根据题目条件得到x1x2+y1y2=0,然后利用韦达定理，把x1x2+y1y2用m表示代人即可解得m的值，这里涉及了方程的思想方法，同学们体会到了吗？（学生鼓掌）
学生2提出质疑：我们认为解出m的值以后应该验证是否满足>0，因为直线与圆有两个交点。
师：同学们觉得有没有必要？
生：有必要！
老师总结：讲得非常好 ，这种问题在后面的直线与圆锥曲线的综合问题中仍然有重要应用。实际就是两步转化：先把题目给的几何位置关系或向量关系转化为坐标表示；再把坐标的关系转化为参数表示，从而列出关于参数的方程求出参数。（多媒体展示解题步骤总结）
4、升华提高问题2：
学生1：同学们先看第一问，我们看到要讨论的表达式实际表示圆上的点与原点的连线的斜率，所以用数学结合的方法（画图讲解），很容易找到取最值的情况；第2问的处理方法类似于线性规划问题的方法，只不过可行域是圆周，通过考察目标函数值的几何意义知道它与直线的纵截距的相关性，然后平移直线找最优解即可；第三问也是考察几何意义，发现它表示圆上的点到原点距离的平方，所以我们只需考察哪个点到原点距离最大或最小即可。同学们还有不同意见吗？
学生2：我们认为第3问用代数方法也很简单，把表示成4x-1的一次函数，确定定义域后求最值。
师：同学们觉得这种方法怎么样？
生：好（鼓掌）！
老师总结：同学们的办法都非常好。刚才这个问题总的来说用数形结合的方法更简捷；不过考试的题目中选择填空题数形结合用得较多，解答题代数方法考察的更多，希望同学们注意！
另外，刚才有个问题，怎样找圆上的点到圆外的定点距离最大或最小呢（画出图形）？
生：连接定点与圆心，连线与圆的两个交点。
师：那如何证明这一点呢？请同学们讨论。
学生：分组讨论（3分钟）后展示板演。
师：那我还有一个问题（画图）：已知定直线与定圆相离，如何在定圆上找一个点，让它到定直线的距离最大或最小？
学生：分组讨论后展示。
师：很好，看来利用图形处理一些最值问题更方便。那请同学给大家讲解一下高考体验的最后一题。
学生甲讲解完成后老师总结：画出图形，根据所讨论的问题的几何意义数形结合，找的临界情况，从而找到最优解。（多媒体展示解题步骤总结）
好，同学们，小组内合作交流，把本节课的问题整理总结一下。（学生分组交流消化整理）
四：课堂小结：
课代表总结本节课内容：两个问题，两种方法；总结同学们表现：表现较好的小组，表现好的同学。
师：感谢课代表的精彩总结，尤其提到的两种思想方法---方程思想和数形结合的思想，请同学们体会掌握。好,本节课就到这里，同学们，下课！
【学习内容】2011年高考数学一轮复习直线与圆的位置关系。
【学习目标】
知识目标：会判断直线与圆及圆与圆的位置关系；能用代数方法和几何方法解决弦长等直线和圆的综合问题；
能力目标：体会掌握两种数学思想：方程思想及数形结合思想。
情感目标：培养和加强合作意识，探究意识。
【学习重点】直线与圆的位置关系的判定及应用。
【学习难点】方程思想与数形结合思想的理解与应用。
【考情分析】考题多为基础题，以选择题和填空题的形式出现，有时也有综合性较强的解答题，考查方程思想和数形结合思想，要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算。
【教具准备】前置学案、多媒体。
【学习过程】
课前展示：（课代表提前安排，各小组展示自己小组的学习成果。）根据学案完成情况，共分4个小组：巩固题组问题一；巩固型题组问题二；升华提高问题1；升华提高问题2。
导入：
师：研究直线与圆的位置关系之前，让我们先欣赏几张美丽的图片。（幻灯片展示日出、月亮升起的图片），我们从刚才的几张图片中可以看到直线和圆的位置关系，同学们一起说，是哪些位置关系？
生：相切，相离，相交。
师：光知道这些远远不够，同学们看大屏幕（展示学习重点和难点）。希望同学们这节课就像升起的太阳和月亮一样，大胆展示，积极讨论，敢于质疑，好不好？
一：知识梳理：（课代表带领同学们复习基础知识，生生互动）
1、直线与圆位置关系的判定及应用；
2、弦长问题
3、圆与圆的位置关系
师：（强调）以上问题1和2都涉及两种方法，代数法和几何法，其中几何法是我们经常用的，一般不用代数方法。好，讨论问题之前，同学们先看看这部分知识的高考考情（多媒体展示考情分析）
二：分组讨论：
师：再现型题组，巩固性题组问题一及变式练习，问题二例题2，高考体验1—5题，以上问题难度不大，只有少部分同学在个别题目上出现问题，请同学们根据多媒体展示的答案分组讨论，尽量自己解决疑问。
讨论完成后（5分钟左右），学生提出质疑：10年山东高考题；其他同学给出解答：学生甲：代数方法；学生乙：几何方法；学生丙：几何方法补充（学生乙考虑不全面）。
老师总结：选择填空题一般用数形结合的方法，能画图先把图形画出来。
三、学生讲解，全班参与。
1、巩固性题组问题一例题2：
学生1：本题涉及圆的弦长问题，我们考虑用几何方法，即r-d法，通过勾股定理列出方程求出直线的斜率。有问题吗？
学生2：我们小组认为应讨论斜率不存在的情况（展示板演斜率不存在的情况）；（学生鼓掌表示认可）
老师强调：没错，
2、巩固性题组问题二变式练习：
学生1：用圆心到直线的距离和半径比较大小的方法，用到了作差法，函数与方程的思想。
学生2：这种方法太麻烦，我还有更好的办法，只需确定直线过定点（3,1），而该点在圆内，所以直线一定与圆相交。（学生鼓掌）
学生1：确实比我的方法简单，谢谢这位同学，下面看第二问，这里圆的半径是定值，根据r-d方法可知当弦心距最大的时候弦长最短，而弦心距最大的情况是当定点（3,1）与圆心的连线与弦垂直的时候（学生画图数形结合加以说明）
老师总结：结合图形，利用图形中点线的位置关系及图形的几何特征解题能简化运算。
3、升华提高问题1：
学生1：同学们还记得刚才王元同学带领我们复习的弦长公式吗？那里用到了设而不求的方法，通过构造一元二次方程，结合韦达定理来整体代换处理的，这个问题正是利用了这种方法，先根据题目条件得到x1x2+y1y2=0,然后利用韦达定理，把x1x2+y1y2用m表示代人即可解得m的值，这里涉及了方程的思想方法，同学们体会到了吗？（学生鼓掌）
学生2提出质疑：我们认为解出m的值以后应该验证是否满足>0，因为直线与圆有两个交点。
师：同学们觉得有没有必要？
生：有必要！
老师总结：讲得非常好 ，这种问题在后面的直线与圆锥曲线的综合问题中仍然有重要应用。实际就是两步转化：先把题目给的几何位置关系或向量关系转化为坐标表示；再把坐标的关系转化为参数表示，从而列出关于参数的方程求出参数。（多媒体展示解题步骤总结）
4、升华提高问题2：
学生1：同学们先看第一问，我们看到要讨论的表达式实际表示圆上的点与原点的连线的斜率，所以用数学结合的方法（画图讲解），很容易找到取最值的情况；第2问的处理方法类似于线性规划问题的方法，只不过可行域是圆周，通过考察目标函数值的几何意义知道它与直线的纵截距的相关性，然后平移直线找最优解即可；第三问也是考察几何意义，发现它表示圆上的点到原点距离的平方，所以我们只需考察哪个点到原点距离最大或最小即可。同学们还有不同意见吗？
学生2：我们认为第3问用代数方法也很简单，把表示成4x-1的一次函数，确定定义域后求最值。
师：同学们觉得这种方法怎么样？
生：好（鼓掌）！
老师总结：同学们的办法都非常好。刚才这个问题总的来说用数形结合的方法更简捷；不过考试的题目中选择填空题数形结合用得较多，解答题代数方法考察的更多，希望同学们注意！
另外，刚才有个问题，怎样找圆上的点到圆外的定点距离最大或最小呢（画出图形）？
生：连接定点与圆心，连线与圆的两个交点。
师：那如何证明这一点呢？请同学们讨论。
学生：分组讨论（3分钟）后展示板演。
师：那我还有一个问题（画图）：已知定直线与定圆相离，如何在定圆上找一个点，让它到定直线的距离最大或最小？
学生：分组讨论后展示。
师：很好，看来利用图形处理一些最值问题更方便。那请同学给大家讲解一下高考体验的最后一题。
学生甲讲解完成后老师总结：画出图形，根据所讨论的问题的几何意义数形结合，找的临界情况，从而找到最优解。（多媒体展示解题步骤总结）
好，同学们，小组内合作交流，把本节课的问题整理总结一下。（学生分组交流消化整理）
四：课堂小结：
课代表总结本节课内容：两个问题，两种方法；总结同学们表现：表现较好的小组，表现好的同学。
师：感谢课代表的精彩总结，尤其提到的两种思想方法---方程思想和数形结合的思想，请同学们体会掌握。好,本节课就到这里，同学们，下课！