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8.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，
∵7亩坏田是500元，
∴每亩坏田元，
∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，
∴，
故选：B．
2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：B．
3．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
解：设原两位数的个位为 十位为 则这个两位数为
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为 则
整理得：
为正整数，且
或或或
所以这个两位数为：
故选C
4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由题意可得，
，
故选：A．
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：D．
二、填空题
6．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______________．
【答案】x（x+12）＝864
【解析】
∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
7．若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则______．
【答案】2
【解析】
解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同，
∴方程组的解满足四个方程，
解方程组得，；
分别代入和得，
，，
解得，，；
；
故答案为：2．
8．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
【答案】
【解析】
设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得：，
故答案是：．
9．我国明代数学读本《算法统宗》中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．问：索子与竿子分别长多少托？若设索子长托，竿子长托，则列方程组为______．
【答案】
【解析】
解：设索子长x托，竿子长y托，
根据题意，可列方程组为，
故答案为：．
10．已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝4，则m＝__．
【答案】
【解析】
解：，
①﹣②得：2x+2y＝2m+3，化简得x+y＝m+
∵x+y＝4，
∴m+＝4，
解得：m＝，
故答案为：．
三、解答题
11．对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个，，所以154的“格致数”为387．
(1)填空：当时，______；当时，______；
(2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除；
(3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M．（完全平方数：如，，，，……，我们称0、1、4、9、16……叫完全平方数）
【答案】(1)
解：由新定义可得：
当时，
故答案为：
(2)
解：设“万象数”为 则其为
则
而
所以其“格致数”
所以其“格致数”都能被9整除.
(3)
解：是的倍数，
是的倍数，
是的倍数，
，，，a，b，c为整数，
或或或或
或或或或或
而，
的值为：或或或或或
是完全平方数，
的值为：或.
【解析】
（1）根据新定义分别求解即可；
（2）设“万象数”为 则其为 则再计算其“格致数”，再利用乘法的分配律进行变形即可证明结论；
（3）由是的倍数，可得是的倍数，结合的范围可得 从而得到或或或或 再求解方程符合条件的解，可得的值，结合是完全平方数，从而可得答案.
12．已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
【答案】
解：方程组，
把②代入①得：，
解得：，代入①中，
解得：，
把，代入方程得，，
解得：．
【解析】
求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
13．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
【答案】
解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【解析】
设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
14．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【答案】
（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
由题意列方程得，
解得，
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2）．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
【解析】
（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可．
（2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可．
15．单县职业中专“综合实践活动”棋类社团前两次购买的两种材质的围棋采购如表（近期两种材质的围棋的售价一直不变）：若该社团计划再采购这两种材质的围棋各5盒，则需要多少元；
塑料围棋 玻璃围棋 总价（元）
第一次（盒） 10 30 1150
第二次（盒） 30 20 1350
【答案】
解：设塑料围棋的单价为x元/盒，玻璃围棋的单价为y元/盒，
依题意得：
，
解得：，
∴5x+5y=5×25+5×30=275．
答：该社团计划再采购这两种材质的围棋各5盒，共需要275元．
【解析】
设塑料围棋的单价为x元/盒，玻璃围棋的单价为y元/盒，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再将其代入(5x+5y)中即可求解．
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数学（人教版）
七年级 下册
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
第八章 二元一次方程组
8.3 实际问题与二元一次方程组
学习目标
1.用二元一次方程组解决实际问题.
2.体会数学建模的思想.
重点：理解题意,寻求题中等量关系列方程.
难点：寻找“关键词”,列出等量关系.
列方程组解应用题的步骤：
1. 审题
2. 设未知数
3. 列二元一次方程组
4. 解二元一次方程组
5 .检验
6. 答
回顾旧知
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需要饲料675kg克；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约需要饲料940kg。饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需饲料18至20kg，每只小牛1天约需要饲料7至8kg。请你通过计算检验李大叔的估计是否正确？
1、怎样检验他的估计呢？
2、题目中包含怎样的等量关系？
探究新知
怎样判断李大叔的估计是否正确？
求出每头大牛和每头小牛一天各自大约需用饲料量
(1)30头大牛和15头小牛1天需用饲料675kg；
(2)42头大牛和20头小牛1天需用饲料940kg；
每头大牛和每头小牛一天各自大约需用饲料量
题目中有哪些未知量？
题目中有哪些等量关系？
(3)12头大牛和5头小牛1天需用饲料940kg—675kg；
探究新知
大牛所吃饲料 小牛所 吃饲料 合计
以前所用饲料
后来所用饲料
分析：设平均每头大牛1天需用饲料x kg ，每头小牛需用饲料y kg。
30x
（30+12）x
15y
（15+5）y
675
940
新增加的饲料
12x
5y
265
探究新知
解：设平均每头大牛和每头小牛各约需饲料xkg和ykg．
根据题意，列方程组：
解这个方程组，得：
这就是说，平均每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料５kg。饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高。
化简，得
探究新知
长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有3段，你们认为他估计的是否准确？为什么呢？那2米和1米的各应取多少段？
探究新知
解:设应取2米的x段,1米的y段,则
答：小明估计不准确。２米的应取８段，1米的应取２段。
解得:
依题意得
探究新知
长青化工厂用汽车从A地购买一批原料运回工厂，
制成产品后用火车运到B地。工厂与A地相距80千米，
与B地相距150千米。公路运价为1.5元/（吨·千米），
铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输支出公路运费
15000元，铁路运费97200元。求工厂从A地购得的原料
有多少吨？制成的产品有多少吨？
分析：题中的量很多，并且相互关联，这时，我们可画一张示意图，把题中的条件在图中标出来，这样比较直，能帮助我们比较顺利地找出题中的相等关系。
合作探究
A地
B地
长青化工厂
公路80km
铁路150km
原料
产品
1.5元/（吨·千米）
1.2元/（吨·千米）
公路运费：15000元 铁路运费：97200元
长青化工厂用汽车从A地购买一批原料运回工厂，制成产品后用火车运到B地。工厂与A地相距80千米，与B地相距150千米。公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输支出公路运费15000元，铁路运费97200元。求工厂从A地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？
合作探究
长青化工厂用汽车从A地购买一批原料运回工厂，制成产品后用火车运到B地。工厂与A地相距80千米，与B地相距150千米。公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），
这两次运输支出公路运费15000元，铁路运费97200元。求工厂从A地购得的原料有多少吨？制成的产品有多少吨？
解：制成的产品为x 吨，设购得的原料为y吨，
根据题意得
｛
1.5 × 80 ×y =15000
1.2×150 ×x =97200
解得：
｛
x=540
y=125
答：购得的原料为125吨， 制成的产品为540 吨。
画示意图是解决道路运输问题的手段之一。
合作探究
探究 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地. 公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
合作探究
问题1 公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)是什
么意思？
如：把2吨货物从A地运到100千米外的B地，
经公路运输需要支付：
公路运价：经公路运输1吨货物行驶1千米需1.5元
铁路运价：经铁路运输1吨货物行驶1千米需1.2元
1.5×2×100=300元，
1.2×2×100=240元
运输费 = 运价 × 质量 × 路程
经铁路运输需要支付：
合作探究
问题2 两次运输共支出公路运费15000元指的是什么？
原料的公路运费+产品的公路运费=15000
问题3 两次运输共支出铁路运费97200元指的又是什么？
原料的铁路运费+产品的铁路运费=97200
合作探究
问题4 这道题求的是什么？
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
问题5 要解决这个问题我们必须先知道什么？
销售款 原料费 运输费
销售款=产品单价×产品数量
原料费=原料单价×原料数量
运输费=铁路运费+公路运费
合作探究
设产品为x吨，原料为y吨。
1.2·y ·120
1.5·y·10
1.5·x ·20
1.2·x ·110
运输费 = 运价 × 质量 × 路程
产品x吨 原料y吨 合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
15000
1.2×110x
1.2×120y
97200
8000x
1000y
设产品为 x 吨，原料为 y 吨。
解：设产品为x吨，原料为y吨，由题意得
解得:
销售款为：
8000×300=2400000（元）
原料费为：
1000×400=400000（元）
运输费为：
15000+97200=112200（元）
2400000-（400000+112200）=1887800（元）
答：销售款比原料费与运输费的和多1887800元。
一艘轮船顺流航行45千米需要3小时，逆流航行65千米需要5小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解:设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，根据题意，得
答：船在静水中的速度及水流的速度分别为14千米/时、1千米/时.
解这个方程组得，
即
合作探究
用方程组解决实际问题有哪些步骤？
（1）设未知数，一般求什么就设什么
（2）找两个等量关系
（3）列方程组
（4）解方程组
（5）检验并做答
总结归纳
解决实际问题的基本过程
实际问题
设未知数、列方程（组）
数学问题
二元一次方程组
解方程
（组）
数学问题的解
二元一次方程组的解
检 验
实际问题的答案
建模
课堂小结
1、某工人原计划在限定时间内加工一批零件.如果每小时加工10个零件,就可以超额完成3 个;如果每小时加工11个零件就可以提前1h完成.问这批零件有多少个 按原计划需多少小时 完成
解:设这批零件有x个，按原计划需y小时完成,根据题意得
解这个方程组得，
答：这批零件有77个，按原计划需8小时完成。
当堂检测
2.一个长方形的周长是200 cm,长比宽的3倍少4 cm,求长和宽各是多少.
3.A市至B市的航线长9750千米，一架飞机从A市飞往B市需12.5小时，它逆风飞行同样的航线需13小时.求飞机的平均速度以及风速.
当堂检测
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8.3 实际问题与二元一次方程组
一、单选题
1．《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
2．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______________．
7．若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则______．
8．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
9．我国明代数学读本《算法统宗》中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．问：索子与竿子分别长多少托？若设索子长托，竿子长托，则列方程组为______．
10．已知关于x、y的方程组的解满足x+y＝4，则m＝__．
三、解答题
11．对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个，，所以154的“格致数”为387．
(1)填空：当时，______；当时，______；
(2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除；
(3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M．（完全平方数：如，，，，……，我们称0、1、4、9、16……叫完全平方数）
12．已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
13．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
14．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
15．单县职业中专“综合实践活动”棋类社团前两次购买的两种材质的围棋采购如表（近期两种材质的围棋的售价一直不变）：若该社团计划再采购这两种材质的围棋各5盒，则需要多少元；
塑料围棋 玻璃围棋 总价（元）
第一次（盒） 10 30 1150
第二次（盒） 30 20 1350
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