8.1基本立体图形基础 练习卷（Word版含解析）

树兰高级中学《基本立体图形》基础练习卷
知识点：1、棱台是各条侧棱延长会汇聚到一点。
2、圆锥是直角三角形的一条直角边为轴，另一条直角边为底圆半径旋转而得到。
3、斜二测画法在在直观图里成45度，表示直角坐标系成90度。
4、三视图有两个三角形表示是个椎体，另外俯视图为半圆，表示是底面是圆。
5、过球的截面是个圆形。
6、通过圆锥或者是圆锥的轴截面是轴垂直于底面的平面。
7、长方体或者是正方体的对角线是球的直径。
8、圆锥的展开图和立体中相应的对应关系，立体中底圆的周长是展开图的弧长，立体中的母线长是展开图中的半径差。
9、正四棱锥是底面为正方形，定点在底面的投影是底面的中心。
10、求经过几何体表面积最短路径实际上是求展开图的最短距离。
11、内切和外接要注意截面图中的几何关系。
12、台体要注意高和斜高的区别，高是几何体的高线，斜高是面上的高线。
单选题
1、下列几何体是棱台的是(　　)
2、一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是(　　)
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥的组合体
3、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(　　)
A.14 B．10
C．28 D．14
4、侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B．a2
C.a2 D．a2
5、如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(　　)
A. B．
C. D．
6、一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
7、若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为(　　)
A．8 B．
C． D．
8、设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　)
A.3πa3 B．πa3
C．2πa3 D．2πa3
多选题
9、两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．7
10、已知一个正方形的直观图是如图所示的一个平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积可能是(　　)
A．16 B．64
C．8 D．32
11、圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1100π
C．高是10 D．体积是
12、正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是(　　)
A．3＋ B．3－
C．2＋ D．－2
填空题
13、给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆．其中说法正确的是________(填序号).
14、如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．
15、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．
16、长方体AC1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
四、解答题
17、已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
18、如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
19、养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(仓库底面不用建)；
(3)哪个方案更经济些？
20、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
21、若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
参考答案
单选题
1、下列几何体是棱台的是(　　)
答案　D
解析　A，C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A，C不满足题意；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意；D符合棱台的定义．故选D.
2、一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是(　　)
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥的组合体
答案　D
解析　过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆锥．故选D.
3、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(　　)
A.14 B．10
C．28 D．14
答案　C
解析　如图，将直观图还原为平面图．∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′∥x′轴，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．又D′C′＝2，A′B′＝5，A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.
4、侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B．a2
C.a2 D．a2
答案　A
解析　因为底面边长为a，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为，故S侧＝3×a×＝a2，而S底＝a2，故S表＝a2.
5、如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(　　)
A. B．
C. D．
[答案]　B
[解析]　由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为
××π×12×＝.
6、一平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
[答案]　B
[解析]　
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π×()3＝4π.
7、若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为(　　)
A．8 B．
C． D．
答案　B
解析　若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若底面周长为2，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积也为.故选B.
8、设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为(　　)
A.3πa3 B．πa3
C．2πa3 D．2πa3
[答案]　B
[解析]　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，
长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的体积V＝πR3＝πa3.
二、多选题
9、两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离可能是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．7
答案　AD
解析　如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝＋＝7.故选AD.
易错点：容易忽略球的对称性，从而漏解。
10、已知一个正方形的直观图是如图所示的一个平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积可能是(　　)
A．16 B．64
C．8 D．32
答案　AB
解析　直观图中一条边长为4，此边可能在x′轴上，也可能在y′轴上．若在x′轴上，则原正方形的边长为4，面积为16；若在y′轴上，则原正方形的边长为8，面积为64.故选AB.
11、圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　)
A．母线长是20 B．表面积是1100π
C．高是10 D．体积是
答案　ABD
解析　如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，
所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π，故选ABD.
12、正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是(　　)
A．3＋ B．3－
C．2＋ D．－2
答案　CD
解析　设四棱锥的高为h，外接球的半径为R，由4πR2＝24π，得R＝.如图1所示，OH2＋HC2＝OC2，即(h－)2＋2＝6，得h＝2＋.如图2所示，OH2＋HC2＝OC2，即(－h)2＋2＝6，得h＝－2.
填空题
13、给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤过球面上任意两点只能作一个以球心为圆心的圆．其中说法正确的是________(填序号).
答案　①②
解析　①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线的延长线一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体；⑤不正确，当这两点是球的直径的两端点时，可以作无数个以球心为圆心的圆．
14、如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则四边形OABC的形状是________．
答案　菱形
解析　如图，在四边形OABC中，有BC＝OA＝O′A′＝6 cm，AB＝OC，OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm，
∴OC＝ ＝ ＝6 cm，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．
15、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．
[答案]　8
[解析]　设AC＝a，CC1＝b，则BD＝C1D＝，BC1＝，又△BC1D是直角三角形，所以2＝a2＋b2，得b2＝2a2，所以BD＝C1D＝a，又S△BDC1＝BD·C1D＝×a2＝6，所以a2＝8，b＝4，所以此三棱柱的体积V＝a2b＝×8×4＝8.
16、长方体AC1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________．
答案　3
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.如图(1)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝＝，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；
如图(2)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝3，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3；
如图(3)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝2，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2<，所以从A到C1沿长方体表面的最短距离为3.
四、解答题
17、已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
解　如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，记为h0，所以
S侧＝3××(20＋30)h0＝75h0.
上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2).
由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325，
所以h0＝(cm).
又O′D′＝××20＝(cm)，OD＝××30＝5(cm)，
记棱台的高为h，则h＝O′O＝
＝ ＝4(cm)，
由棱台的体积公式，可得棱台的体积
V＝(S上＋S下＋)
＝×＝1900(cm3).
18、如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
解　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4.∴△AEF周长的最小值为4.
19、养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(仓库底面不用建)；
(3)哪个方案更经济些？
解　(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，
则仓库的体积V1＝Sh＝×π××4＝ m3.
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
则仓库的体积V2＝Sh＝×π××8＝96π m3.
(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m.
圆锥的母线长l＝＝4 m，
则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π m2.
如果按方案二，仓库的高变成8 m，
圆锥的母线长为l＝＝10 m，
则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π m2.
(3)∵V2>V1，S220、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为r，则容器内水的体积为
V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′＝π··h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.
21、若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
解　如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，
连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝，
在Rt△BEE1中，
BE1＝＝2，
所以2R＝2，则R＝，
所以球的体积V球＝πR3＝4π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.