(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[基础训练A组]
一、选择题
1．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（ ）
A． B． C． D．
2．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机
各台，则不同的取法共有（ ）
A．种 B.种 C.种 D.种
3．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）
A． B． C． D．
4．共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，
不同的选法总数是（ ）
A. B． C． D．
5．现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、
物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生人，女生人 B．男生人，女生人
C．男生人，女生人 D．男生人，女生人.
6．在的展开式中的常数项是（ ）
A. B． C． D．
7．的展开式中的项的系数是（ ）
A. B． C． D．
8．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．从甲、乙，……，等人中选出名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.
2．名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.
3．由这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.
4．在的展开式中，的系数是 .
5．在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，
则 ， .
6．在的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？
7．用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则 .
8．从中任取三个数字，从中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？
三、解答题
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
（1）高三年级学生会有人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
2．个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头，
（2）甲不排头，也不排尾，
（3）甲、乙、丙三人必须在一起，
（4）甲、乙之间有且只有两人，
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，
（6）甲在乙的左边（不一定相邻），
（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，
（8）甲不排头，乙不排当中。
3．解方程
4．已知展开式中的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数量小的项.
5．（1）在的展开式中，若第项与第项系数相等，且等于多少？
（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为，
则求展开式中二项式系数最大项。
6．已知其中是常数,计算(共19张PPT)
知识网络
本 章 归 纳 整 合
两个计数原理
分步乘法计数原理与分类加法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分类中有分步，两个原理往往交错使用．
要点归纳
1．
排列与组合
主要是排列数与组合数计算公式、性质的应用以及排列组合应用题．
排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．
对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．
有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：(1)元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
2．
组合应用题的难点是与几何图形有关的问题，此时一般要与两个原理结合应用，还要结合图形的实际意义．
排列与组合综合应用题中也有很多重点和难点，比如分配问题，一般方法是先分组，后分配，分组问题又要注意均匀分组和不均匀分组的区别，均匀分组在各组逐一满足后还要除以均匀分组组数的全排列；而有公共元素的分配问题，则可以利用图示法求组数，这样可以避免分组中的重复．
二项式定理
这部分常考知识、题型、主要方法以及注意点大体如下：
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；
3．
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果，在求各项系数的绝对值的和时，则要先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
专题一 两个计数原理
选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步要抓住两个原理的本质．分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首选要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．
有3封信，4个信筒．
(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法？
解 (1)分3步完成寄出3封信的任务；第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务，根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．
【例1】
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式与方法解题．
(1)在求解排列与组合应用问题时，应注意：
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
③分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
④列出式子计算并作答．
(2)处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程
“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过
专题二 排列组合的应用
解题训练注意积累分类和分步的基本技能．
(3)解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：
①特殊元素优先安排的策略；
②合理分类和准确分步的策略；
③排列、组合混合问题先选后排的策略；
④正难则反、等价转化的策略；
⑤相邻问题捆绑处理的策略；
⑥不相邻问题插空处理的策略；
⑦定序问题除法处理的策略；
⑧分排问题直排处理的策略；
⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
⑩构造模型的策略．
某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个公司中抽调出10辆车，并且每个车队中至少抽取1辆车，那么共有多少种不同的抽调方式？
【例2】
(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？
(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？
【例3】
二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．
二项式定理的应用主要有以下几个方面：
(1)近似求值．利用二项式定理进行近似计算，关键在于构造恰当的二项式(p＋q)n(其中|q|＜1)，并根据近似要求，对展开式的项合理取舍．
(2)解决整除问题．通常把底数化为两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系，再利用二项式定理展开，只考虑前面或后面的一两项就可以．
专题三 二项式定理及应用
(3)求和．求二项展开式系数和的基本方法是赋值法．在解决有些数列求和的问题时，要注意对问题实施转化，为应用二项式定理创造条件．
(4)解不等式或证明组合恒等式．用二项式定理证明不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式的证明方法论证．而证明组合恒等式的关键在于构造不同的二项式，比较系数进行证明．
【例4】
若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，
求(1)a1＋a2＋…＋a7的值；
(2)a1＋a3＋a5＋a7的值；
(3)a0＋a2＋a4＋a6的值．
解 (1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，
则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128 ①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129；
(2)令x＝－1，则
－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7 ②，
【例5】
求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．
【例6】
排列、组合试题从形式上看有以下几种最为常见的问题：数字问题，人或物的排列问题，几何问题，选代表或选样品的问题，集合的子集个数问题．试题的难度与教材习题相当，为体现高考的选拔功能，少数题有难度，多为几何问题．
二项式定理试题每年一道，题型为以下几种：求展开式中的某一项或某一项系数的问题；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题；二项式某一项为字母，求这个字母的值的问题；求近似值的问题，试题难度不大，与教材习题相当．
命题趋势
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高考真题第一章 计数原理
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·大纲全国高考，理7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )．
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
解析 可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有
C＝＝6(种)．
②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C＝4(种)．
∴共有6＋4＝10(种)．
答案 B
2．(2011·浙江高考，理9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 5本书的全排列有A种排法，其中语文书相邻的排法有AA种，数学
书相邻的排法有AA种，语文书数学书各自同时相邻的排法有AAA种，
故所求概率为：eq \f(A－（AA＋AA－AAA）,A)＝.
答案 B
3．(2011·陕西高考，理4)二项式(4x－2－x)6(x∈R)的展开式中的常数项是 ( )．
A．－20 B．－15 C．15 D．20
解析 设第r＋1项为常数项，
Tr＋1＝C22x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C212x－3rx，
∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为T5＝(－1)4C＝15.
答案 C
4．(2011·课标全国高考，理8)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ( )．
A．－40 B．－20 C．20 D．40
解析 在中令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.原式＝
x·＋，故常数项为x·C(2x)2＋·C(2x)3·＝
－40＋80＝40.
答案 D
5．(2011·福建高考，理6)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于 ( )．
A．80 B．40 C．20 D．10
解析 由二项式定理可知(1＋2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C15－r(2x)r
＝C·2r·xr，令r＝2，得T3＝C·22·x2＝40x2.∴x2的系数等于40.
答案 B
6．(2011·天津高考，理5)在的二项展开式中，x2的系数为 ( )．
A．－ B. C．－ D.
解析 Tr＋1＝C·＝C·(－2)rx3－r.令3－r＝2，得
r＝1，x2的系数为C·(－2)＝－.
答案 C
7．(2011·北京高考，理12)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
解析 可用间接法，这个四位数每一位上的数字只能是2或3，则共有24个，
而这其中要求数字2或3至少出现一次，所以全是2和全是3不满足，即满
足要求的四位数有24－2＝14个．
答案 14
8．(2011·上海高考，理12)随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．
解析 因为每位同学出生在各个月份的概率相等，所以9位同学的出生月份
均不相同这一事件包含的基本事件数为A，所有基本事件的个数为129，故
至少有2位同学在同一月份出生的概率为P＝1－eq \f(A,129)≈0.985.
答案 0.985
9．(2011·大纲全国高考，理13)(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
解析 (1－)20的通项公式：Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，
∴T3＝C(－)2＝Cx，T19＝C＝Cx9.
∴C－C＝0.
答案 0
10．(2011·山东高考，理14)若展开式的常数项为60.则常数a的值为________．
解析 由二项式定理可知Tr＋1＝Cx6－r＝C(－)rx6－3r，
令6－3r＝0，得r＝2，
∴T3＝C(－)2＝60.
∴15a＝60.∴a＝4.
答案 4
11．(2011·浙江高考，理13)设二项式(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析 Tr＋1＝Cx6－r＝(－a)rCx6－r，
所以6－r＝3时，r＝2，所以A＝C(－a)2＝15a2，6－r＝0时，r＝4，
所以B＝C(－a)4＝15a4，所以15a4＝4×15a2，
所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.
答案 2
12．(2011·广东高考，理10)x的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)
解析 的通项Tr＋1＝Cx7－r＝(－2)rCx7－2r令7－2r＝3，得r＝2，
因而展开式中含x3项的系数为(－2)2·C＝＝84.故x7
的展开式中x4的系数为84.
答案 84
13．(2011·安徽高考，理12)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________．
解析 (x－1)21的通项为Tr＋1＝Cx21－r(－1)r，
∴T12＝Cx10(－1)11＝－Cx10.
∴a10＝－C.
T11＝Cx11(－1)10＝Cx11.
∴a11＝C.
∴a10＋a11＝－C＋C＝0.
答案 0(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[提高训练C组]
一、选择题
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，
其中男、女学生均不少于人的选法为（ ）
A． B．
C． D．
3．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）
A． B． C． D．
4．设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素
组成的子集数为，则的值为（ ）
A. B．
C． D．
5．若，
则的值为（ ）
A. B．
C． D．
6．在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（ ）
A. B．
C． D．
7．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
8．由十个数码和一个虚数单位可以组成虚数的个数为（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题
1．将数字填入标号为的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？
2．在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有 个.
3．从,这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数的系数则可组成不同的函数_______个,其中以轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.
4．若的展开式中的系数为，则常数的值为 .
5．若则自然数_____.
6．若,则.
7．的近似值（精确到）是多少？
8．已知,那么等于多少
三、解答题
1．个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种 (2) 个空位只有个相邻的坐法有多少种 (3) 个空位至多有个相邻的坐法有多少种
2．有个球,其中个黑球,红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，共有多少种不同的排法？
3．求展开式中按的降幂排列的前两项.
4．用二次项定理证明能被整除.
5．求证：.
6．(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；
(2)已知的展开式中, 的系数是的系数与的系数的等差中项,求;
(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.
离散型随机变量解答题精选（选修2--3）
1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过次而接通电话.
解：设{第次拨号接通电话}，
（1）第次才接通电话可表示为于是所求概率为
（2）拨号不超过次而接通电话可表示为：于是所求概率为
2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，
所以
（2）易知 ∴
3． 奖器有个小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，现摇出个小球，规定所得奖金（元）为这个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为元，
当摇出的个小球均标有数字时，；
当摇出的个小球中有个标有数字，1个标有数字时，；
当摇出的个小球有个标有数字，个标有数字时，。
所以，
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是元
4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，
数学为，英语为，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为，
则
（Ⅰ）
答：三科成绩均未获得第一名的概率是
（Ⅱ）（）
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是
5．如图，两点之间有条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由到可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
解：（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
答：（I）线路信息畅通的概率是. （II）线路通过信息量的数学期望是
6．三个元件正常工作的概率分别为将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件正常工作”分别为事件，则
（Ⅰ）不发生故障的事件为.
∴不发生故障的概率为
（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：
图1中发生故障事件为
∴不发生故障概率为
图2不发生故障事件为，同理不发生故障概率为
7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为，而乙机床废品率为，而它们
的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.
解：设事件“从甲机床抽得的一件是废品”；“从乙机床抽得的一件是废品”.
则
（1）至少有一件废品的概率
（2）至多有一件废品的概率
8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.
设甲独立解出此题的概率为，乙为.
则
9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元．设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交元保险金，若以 表示公司每年的收益额，则是一个随机变量，其分布列为：
因此，公司每年收益的期望值为．
为使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即，
故可得．
即顾客交的保险金为 时，可使公司期望获益．
10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是．
（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
解：(1)这批食品不能出厂的概率是： ．
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：．
11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
解：（I）参加单打的队员有种方法.
参加双打的队员有种方法.
所以，高三（1）班出场阵容共有（种）
（II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，
所以，连胜两盘的概率为
12．袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率.
(1)摸出个或个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的个球中有个白球、个白球分别为事件，则
∵为两个互斥事件 ∴
即摸出的个球中有个或个白球的概率为
（Ⅱ）设摸出的个球中全是白球为事件，则
至少摸出一个黑球为事件的对立事件
其概率为
练习：
1． 抛掷颗骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果为____________。
2． 设某项试验的成功概率是失败概率的倍，用随机变量描述次试验的成功次数，
则_______________。
3．若的分布列为：
0 1
P p q
其中，则____________________，____________________，(数学选修2--3) 第一章 计数原理
[综合训练B组]
一、选择题
1．由数字、、、、组成没有重复数字的五位数，
其中小于的偶数共有（ ）
A．个 B．个
C．个 D． 个
2．张不同的电影票全部分给个人,每人至多一张,则有
不同分法的种数是( )
A． B．
C． D．
3．且,则乘积等于
A． B．
C． D．
4．从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，
并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（ ）种.
A. B．
C． D．
5．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ）
A． B．
C． D．
6．把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
7．的展开式中，的系数是，
则的系数是（ ）
A. B．
C． D．
8．在的展开中，的系数是（ ）
A. B．
C． D．
二、填空题
1．个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？
2．以这几个数中任取个数，使它们的和为奇数，则共有 种不同取法.
3．已知集合,,从集合,中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有_____个.
4．且若则______.
5．展开式中的常数项有
6．在件产品中有件是次品，从中任意抽了件，至少有件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）.
7．的展开式中的的系数是___________
8．，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.
三、解答题
1．集合中有个元素，集合中有个元素，集合中有个元素，集合满足
（1）有个元素； （2）
（3）， 求这样的集合的集合个数.
2．计算：（1）；
（2）.
（3）
3．证明：.
4．求展开式中的常数项。
5．从中任选三个不同元素作为二次函数的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线
6．张椅子排成,有个人就座,每人个座位,恰有个连续空位的坐法共有多少种 章末质量评估(一)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．知识竞赛中给一个代表队的4人出了2道必答题和4道选答题，要求4人各答一题，共答4题，此代表队可选择的答题方案的种类为 ( )．
A．A B．A C．CA D．CA
解析 从4道选答题中选2道的选法为C，2道必答题和2道选答题让4人
各答一题的方法为A，故选C.
答案 C
2．已知{1，2} Z {1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有 ( )．
A．2个 B．6个 C．4个 D．8个
解析 由题意知集合Z中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，
取1个，取2个，取3个，故共有C＋C＋C＋C＝8(个)．
答案 D
3．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项系数是8，则它的第三项的二项式系数为 ( )．
A．24 B．18 C．16 D．6
解析 T2＝Can－1(2b)1＝C·2an－1·b，所以2n＝8，n＝4，所以C＝C＝6.
答案 D
4．某汽车生产厂家准备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每个展位摆放一辆车，并且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有 ( )．
A．CA种 B．CA种
C．CA种 D．CA种
解析 考查分步计数原理和排列数公式，在1号位汽车选择的种数为C，其
余位置的排列数为A，故种数为CA，选C.
答案 C
5．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为 ( )．
A．A B．43 C．34 D．C
解析 四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项冠军都有3种可能，
由分步乘法计数原理知共有3×3×3×3＝34种．
答案 C
6．在的展开式中，常数项为15，则n等于 ( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 ∵Tr＋1＝C(x2)n－r＝(－1)rCx2n－3r，
∴又常数项为15，∴2n－3r＝0，
即r＝n时，(－1)rC＝15，∴n＝6.故选D.
答案 D
7．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有 ( ).
A B
C
D
A.72种 B．48种 C．24种 D．12种
解析 涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法．
∴共有4×3×2×3＝72种涂法．
答案 A
8．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 ( )．
A．－5 B．5 C．－10 D．10
解析 (1－x)5中x3的系数为－C＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C·
(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.
答案 D
9．从正方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 ( )．
A．C－12 B．C－8 C．C－6 D．C－4
解析 在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体．
答案 A
10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有 ( )．
A．252种 B．112种
C．70种 D．56种
解析 分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人、
另一个住2人，所以不同的分配方案共有CA＋CA＝35×2＋21×2＝112
种．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．
解析 (间接法)共有C－C＝34种不同的选法．
答案 34
12．若(3x＋1)n(n∈N*)的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x2项的系数是________．
解析 令x＝1，得(3＋1)n＝256，解得n＝4，(3x＋1)4的展开式中x2项的系
数为C32＝54.
答案 54
13．在5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析 两老一新时，有C×CA＝12种排法；两新一老时，有CC×A＝
36种排法，即共有48种排法．
答案 48
14．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝________．
解析 由(2x－1)6＝C(2x)6＋C(2x)5·(－1)＋…＋C(－1)6，
可知x6，x5，…，x0的系数正、负相间，且
|a0|＋|a1|＋…＋|a6|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6.
令x＝－1，有a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6
＝(－3)6＝36.
答案 36
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，而且是它后一项系数的，求展开式中二项式系数最大的项．
解 由题意设展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·2k＝2C·2k－1，,C·2k＝\f(5,6)C·2k＋1，))解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，T4＝C(2)3＝280x，T5＝C(2)4＝560x2.
16．(10分)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种？
(1)甲不能跑第一棒和第四棒；
(2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
解 (1)法一 优先考虑特殊元素甲，让其选位置，此时务必注意甲是否参赛，因此需分两类：
第1类，甲不参赛有A种排法；
第2类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有A种排法；其余5人占3个位置有A种排法，故有AA种方案．所以有A＋AA＝240种参赛方案．
法二 先着眼于整体，后局部剔除不合要求的参赛方案．首先，6个人占4个位置有A种占法；其次，甲跑第一棒和第四棒的不合要求的参赛方案有2A种．
所以有A－2A＝240种参赛方案．
(2)显然第一、四棒为特殊位置，与之相伴的甲、乙则为特殊元素，这时特殊元素与特殊位置的个数相等，对此我们仍从三方面进行思考，以在对比中积累经验．
法一 优先考虑特殊位置．
第1类，乙跑第一棒有AA＝60种排法；
第2类，乙不跑第一棒有AAA＝192种排法．
故共有60＋192＝252种参赛方案．
法二 (间接法)
共有A＝360种参赛方案，其中不合要求的有：
①甲跑第一棒，乙跑第四棒，有AAA＝12种排法；
②甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有AAA＝48种排法；
③甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有AAA＝48种排法．
综上知有360－12－48－48＝252种参赛方案．
17．(10分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m、n∈N＋)，若其展开式中关于x的一次项系数的和为11，试问m、n为何值时，含x3的系数最小？这个最小值是多少？
解 据题意可得C＋C＝11，
∴m＋n＝11，含x3的系数为
C＋C＝＋
＝
＝
＝＝＋.
∴当m＝5，n＝6或m＝6，n＝5时，x3的系数最小为30.
18．(12分)有6名男医生，4名女医生．
(1)选3名男医生，2名女医生，让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗，共有多少种不同方法？
(2)把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生，则有多少种不同分法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，又有多少种不同方案？
解 (1)分三步完成．
第一步：从6名男医生中选3名有C种方法；
第二步：从4名女医生中选2名有C种方法；
第三步：对选出的5人分配到5个地区有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有N＝CCA＝14 400(种)．
(2)医生的选法有以下两类情况：
第一类：一组中女医生1人，男医生4人，另一组中女医生3人，男医生2人．共有CC种不同的分法；
第二类：两组中人数都有女医生2人男医生3人．因为组与组之间无顺序，故共有CC种不同的分法．
因此，把10名医生分成两组，每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有CC＋CC＝120种．
若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正副组长两人，则共有
＝96 000种不同方案．
19．(12分)(2012·广州高二检测)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
解 (1)分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有C种情况；
第二步在五个奇数中取四个，可有C种情况；
第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有CCA＝100 800个．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有CCAA＝14 400个．
(3)上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有
CCAAA＝5 760个．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，共有ACA＝28 800个．
