7.1.1数系的扩充与复数的概念 教案（表格式）

一、教学基本信息
课程名称 数系的扩充和复数的概念 授课人
二、指导思想和理论依据
1.生本教育在课堂中的运用: 生本教育的课堂教学模式宗旨是一切为了学生,学生在教师的引导下能自主地学习,在课堂学习过程中学会感悟,体会数学和生活的关系,在与知识“相遇”中,使知识融入生活.教师在“点化”学生的精神生命中“点化”自己,学生和教师在生本课堂环境中共同提升生命质量. 数学史在课堂中的渗透: 法国数学家亨利·庞加莱曾说:“如果我们想要预知数学的未来,最合适的途径是研究这门科学的历史和现状”.因此数学教学中,把一些重要的数学史介绍给学生,使学生了解数学发展的基本规律和基本思想,感受数学发展的曲折,调动学生学习数学的积极性和创造性,使学生在获得新知的同时获得顽强学习的勇气,进而塑造完美的人格.
三、教学背景分析
1.教材分析: 本节课的学习,一方面让学生回忆数系扩充的过程,体会虚数引入的必要性和合理性.另一方面,让学生理解复数的有关概念及其几何意义,为今后的学习奠定基础.因此,本节课具有承前启后的作用,是本章的重点内容. 2.学生情况分析: (1)知识层面:学生对数的概念已经扩充到了实数,也已清楚各数集之间的包含关系等内容,但知识是零碎的、分散的,对数的生成发展的历史缺乏整体认识.数系的扩充体现了数的发现和创造的过程,同时也体现了数发展的客观需求和现实背景;而复数的引入则是中学阶段数系的最后一次扩充.对于高中生来说,学习一些复数的基础知识可以促使他们对数的概念有一个较为完整的认识,也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具,同时还为他们进一步学习高等数学打下了基础. (2)思维层面:学生抽象思维处于发展期,经过引导能够透过现象进行概括和总结,在本节课的设计中,培养学生从不同角度、多维的考虑问题,通过综合、分析、推理找出本质和规律. (3)情感层面:学生处于青春期,比较突出的表现出成人感,希望体现自己的独立性,渴望得到认可.在课堂中给予学生展示自己的平台,通过自主探究、解决问题让学生体验学习带来的成就感.
四、教学目标
1.知识与技能目标: 了解数系的发展过程; 初步理解复数的有关概念及几何意义; 初步理解复数相等的充要条件. 2.过程与方法目标: 经历数概念的发展和数系的扩充,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用; 通过借助复数几何意义来加深对复数及其有关概念的理解,渗透数形结合的数学思想方法. 3.情感、态度与价值观目标: 在经历数概念的发展和数系扩充的过程中,激发学生对数学的兴趣,培养他们的钻研与探索精神.
五、教学重点、难点
教学重点: 初步理解复数及有关概念,初步理解复数的几何意义; 教学难点: 对虚数的理解.
教法与手段
1.教学方法: 发生教学法: 发生教学法的基础是数学史,是数学史融入数学教育的一种方式.发生教学法要求教师了解所教主题的历史;理解该主题历史进化的关键步骤;在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题,使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论;按从易到难得顺序给出系列问题,后面的问题建立在前面问题的基础上,采取有序的问题驱动模式,揭示知识产生的动机,借以促进学生的学习. 2.教学手段:Pad、多媒体
七、教学流程示意
活动:教师导入. 目的:利用精炼的语言迅速将学生的思维带入课堂. 活动:(1)学生自主学习数系扩充过程的分享及成果展示. (2)学生归纳数系扩充的过程. 目的:一堂课的教学不仅仅在于课堂,更在于课堂外的延伸.采取课前预习,抽签决定的方式,将所有学生的积极性调动起来,将所有学生置身于数学的历史长河中,使得学生对数学的发展史产生了浓厚的兴趣. 活动:学生展示历史上的问题,将其化为熟悉的一元二次方程无解问题. 目的:利用历史中真切存在的问题引起学生的好奇心,让学生感知通过学习探究,他们也可以解决数学家解决的问题;引导学生透过问题的表面看到本质,为下一步探究解决途径打下伏笔. 活动:(1)学生展示历史小故事引出虚数单位i. (2)将i同实数四则运算引出虚数. (3)给出复数的定义. (4)探究复数的相关概念及其几何意义. 目的:针对提出的问题如何找到解决问题的方法和知识是本节课的关键,在新知探索的过程中,教师提出环环相扣的问题,引导学生思考、讨论、归纳;通过教材整合,调整知识点的顺序,符合学生的认知过程;利用新媒体手段,加大课堂容量,将知识理解和巩固结合为一体. 活动:利用本节课所学知识解决之前提出的问题. 目的:利用新知解决提出的问题,将知识得以利用,让学生体验解决问题的成功感,激发学生的探究精神. 活动:教师引导学生归纳本节课的收获. 目的:为了避免课堂小结流于形式,将总结知识点这一常规形式转换为学生分享自己课堂中的疑惑及其解决方法,体现出本节课中学生的成长与提高. 活动:学生pad独立完成检测题目. 目的:检测学生对课堂知识的掌握情况.
八、教学过程(表格描述)
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 时间 情况预设
一、 数 系 的 扩 充 (一)数系的扩充 课前给同学们布置了利用网络资源预习数系扩充过程的作业,学生展示预习成果. 教师点评. 回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关. 学生展示数系的扩充过程 学生提前预习,通过网络、书籍等多种手段查阅资料,把课前预习作为课堂教育的延伸;通过预习活动向学生渗透数系的发展史,提高学生的数学素养. 3′ 问题预设: 学生在学习阶段已经经历了从自然数集到实数集的数系扩充,但对数系扩充的整个过程没有整体性感知. 解决方案: 通过学生展示,将数系扩充的过程和过程中的历史小故事串联在一起,切身体会数系扩充的过程.
二、 提 出 问 题 师:昨天还让同学们预习了复数的概念,你在预习过程中发现了哪些问题.是否得到了解决. 学生展示历史中提出的问题. 找出最简单的无实数解的一元二次方程. 通过前置学习,利用网络资源,把课前预习作为课堂教育的延伸. 2′
三、探 究 途 径 三、探 究 途 径 三、探 究 途 径 三、探 究 途 径 (二)虚数单位i 师:当我们遇到原有知识解决不了的问题时,可以适当的引入一些新规定,譬如我们这里引入的虚数单位i. 规定:i表示虚数单位; i =-1; i可以和实数四则运算 复数的概念 师:规定了虚数单位i,数系的大家族又多了一个新成员,i想融入其中就要和实数进行运算.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,让数i和实数相加、相乘. 问题1虚数单位i和实数相加、相乘得到的数有没有统一的表达形式 复数:形如a+bi的数 复数通常用字母z表示,即 z=a+bi(a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 由复数组成的集合成为复数集,用字母C表示,记为 练习1 概念辨析 形如bi的数一定是纯虚数. 当a=0或b=0时,复数z=a+bi=0. 当b=0时,复数z=a+bi是实数. z=-2i+3的虚部是-2. z=0只有实部没有虚部. z=-7-6i的虚部是-6i. 教师点评: 对复数的概念要清楚; 想要正确的认出复数的实部与虚部,需要将复数先化成a+bi的标准形式. 例1 实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是 (1)实数;(2)虚数; 纯虚数. 师:下面用韦恩图的形式来认识一下现有的数集关系. 在复数集中任取两个复数: a+bi和c+di,我们规定： a+bi=c+di当且仅当 a=c且b=d 例2 如(x+y)+(y-1)i =(2x+3y)+(2y+1)i 实数x,y的值是( ). A x=4,y=-2 B x=2,y=-4 C x=4,y=-4 D x=2,y=-2 问题2 3+2i和-3+2i 3i+1和1+3i 这两组对数相等吗 点评:每一个复数对应的确定的实部和虚部,可以看做一个有序的实数对(a,b),例如3+2i对应(3,2),反之每一个有序数对对应着一个确定的复数. (四)复数的几何意义 问题3类比实数的几何表示是数轴上的点,复数的几何表示是什么 复数的几何表示:平面直角坐标系中的点 师:表示复数的平面叫做复平面,x轴称为实轴,对应实部;y轴称为虚轴,对应虚部. 例如,原点(0,0)表示实数0, 实轴上的点(2,0)表示实数2 虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数-i,点(-2,3)表示复数-2+3i. 复数的几何意义:平面向量 点评:通过有序数对(a,b)将复数和复平面上的点及平面向量建立起一一对应的关系.同向量一样,复数有运算法则和模,这些内容我们下节课探究. 练习2复数和复平面上的点连连看 练习3在复平面中,复数-2i+1对应的点位于( ). A 一象限 B 二象限 C三象限 D 四象限 问题4在复平面中,实数对应的点位于什么位置 纯虚数对应的点位于什么位置 小结:例如复数相等的充要条件从几何上解释为复平面上的同一个点,要求横坐标和纵坐标分别相等.通过数形结合进一步理解复数的概念. 学生整理笔记 学生思考,并通过具体的数归纳特点. 学生整理笔记. 学生pad作答 学生口述过程,教师板书. 学生利用pad画图 学生pad作答 学生回答 学生思考、讨论 学生整理笔记 学生通过pad作答 学生小组讨论. 从历史的角度展示虚数单位i的引入过程,让学生从前人身上学到解决问题的方法. 通过具体的数字归纳出虚数的形式,减少学生对虚数理解上的干扰,复数的概念展现给学生,符合学生的认知规律. 通过辨析题加深对复数概念的理解. 巩固复数的概念. 利用韦恩图加深对复数集内部结构的理解. 巩固复数相等的充要条件 将复数与有序数对相联系,为下面要学习的几何意义做铺垫. 通过复数的几何意义,从形的角度将复数落实在实处,体会复数是真切存在的;也将数形结合的思想贯穿数学教学之中. 强化学生对复数几何意义的理解. 通过复数的几何意义进一步探究复数的分类. 1′ 1′ 3′ 1′ 2′ 1′ 1′ 2′ 4′ 2′ 3′ 2′ 问题预设: 虚数单位i是从未接触过的,学生对其既不熟悉,也不容易理解. 解决方案: 通过i和实数四则运算,通过具体的数深化学生对i的理解和认识. 问题预设: 学生不易理解a+bi形式. 解决方案: 通过具体的数归纳出复数的代数形式. 问题预设: 学生回答错误. 解决方案: 学生自我纠错. 问题预设: 学生口述解题步骤不完整. 解决方案: 其他学生补充,最后教师落实. 问题预设: 学生出错. 解决方案: 学生自己纠错,找出错因.
四、解 决 问 题 师:经历了将实数集扩充到复数集的艰辛过程,我们提出的问题是否得到了解决 师:通过数系扩充到复数系,一元二次方程无实解的问题在复数集中得到了解决,复数在其他方面有更广泛的应用等待同学们的探索. 学生解出答案 提出问题,寻找途径,最终落实到解决问题上,让学生体会问题得以解决的成功感. 1′
五、总 结 新 知 师:从知识、学习方法、数学思想三个方面谈谈自己的收获. 学生分享自己的收获. 通过归纳总结的过程,促使学生形成知识体系,锻炼学生抽象概括能力 1′
六、课 堂 检 测 师:课前预习、课堂探究、课下复习检测是学习的基本环节,请同学们进入检测环节. 学生独立完成 利用相关题目,巩固所学知识,检测知识达成度. 2′ 问题预设: 有学生出错. 解决方案: 学生自己改错.
九、板书设计
3.1.1数系的扩充和复数的概念 一、虚数单位i 例1 二、复数的概念 三、几何意义
十、教学设计特点
1.体现数学的文化内涵 本节课教者从学生已有的知识基础出发,再现历史上数学家卡尔丹的问题,让学生经历与数学大师一起发现问题、思考问题、解决问题的过程,感受到数学家就在自己的身边,数学大师并不神秘,他们也曾有解不开的难题,小小的“i”硬是经过了两个世纪的努力才被人接受;数学发现并不神秘,大师们通常是在别人习以为常的现象中发现新问题并穷追不舍;数学并不神秘,只要我们“更新观念”,跳出原有的旧框框,一片更为广阔的数学天地便尽收眼底.数学的文化内涵在历史的脉络中体现的淋漓至尽,学生感受的是浓浓的数学文化气息. 2.加深对数学思想方法的理解 学生在理解、把握数学知识中,不仅仅是记忆形式上的数学知识,更重要的是领会以数学知识为载体的数学思想方法等．通过对数的发展历史的研究,可以把握数学知识、思想、方法的来龙去脉．从实数系到复数系,如何扩充的 教者通过设计问题串,引领学生追溯数的发展历史,类比前几次数系的扩充,让学生在知识发生过程中进行“火热的思考”,实现“再创造”. 3.架起感性认识到理性认识的桥梁 从虚数的“生长”过程来看,即使是数学家的认识也是逐步深入的．这是数学家几代人共同努力的产物:是一个从无到有、从疑惑到接受、从模糊到清晰、从片面到完善的过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程,才能体验到数学家的创造过程;才能感知到数学家的认知过程;才能感悟到数学家的思维过程．只有学生亲身“经历”这一历史过程,才能消除学生对虚数的疑惑:“虚数是什么 为什么要引入 怎么引入 引入后有什么用 ”.只有学生亲身“经历”这一历史过程,才能感受到虚数不是神秘莫测、绝对权威的,是一种创造. 4.培养学生科学品质和创新精神 复数的产生和发展是数学家们辛勤耕耘的结果,是思想观念的突破.它体现了数学家的科学品质和创新精神.象这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论,既然没有实数解,为什么还要讨论它 既然负数不能开平方,又为什么要承认是有意义的 这是一种心理上的矛盾、认知上的冲突,更是观念上的碰撞.历史的再现对学生的影响作用是巨大的,他们体会到了虚数的引入是一种创造,一种发明,一种思维上的突破,一种观念上的更新．他们从数学家不懈努力的历程看到了一种精神、一种力量、一种思维方法.
十一、教学反思
通过这次视导活动,从备课到上课再到课后的反思,我思考了一个关键点,什么是一堂好课 一堂好课没有绝对的标准,但有一些基本的要求.大致表现在几个方面: 有意义、即扎实（教师讲的学生都知道,何必再上课 ） 一节课中,学生的学习是有意义.初步的意义是他学到了新的知识;再进一步是锻炼了他的能力;再往前发展是在这个过程中有良好的积极的情感体验,使他产生更进一步学习的强烈要求;再发展一步,在这个过程中他越来越会主动的投入到学习中去.这样学生会学到新东西,学生上课,“进来以前和出去的时候是不是有了变化”,没有变化就没有意义.一切都很顺,教师讲的东西都知道了,那你何必再上这个课呢？所以第一点是有意义的课,也就是说,它是一节扎实的课. 二、有效率,即充实（课堂上学生都应该有事情做） 表现在两个方面：一是对面上而言,这堂课下来,对全班学生中的多少学生是有效的,包括好的、中间的、困难的,他们有多少效率;二是效率的高低,有的高一些,有的低一些,但如果没有效率或者只是对少数学生有效率,那么这节课都不能算是比较好的课.从这个意义上,这节课应该是充实的课.整个过程中,大家都有事情干,通过你的教学,学生都发生了一些变化,整个课堂是充实的,能量是大的. 三、有生成性,即丰实（上课不能完全预先设计） 这节课不完全是预设的,而是在课堂中有教师和学生的真实的、情感的、智慧的、思维的、能力的投入,有互动的过程,气氛相当活跃.在这个过程中既有资源的生成,又有过程状态生成.这样的课可称为丰实的课. 四、常态性,即平实（哪怕部长听课,也要“目中无人”） 受公开课的影响太深,当有人听课的时候,容易出的毛病是准备过度.教师课前很辛苦、学生很兴奋,到了课堂上成了准备好的东西来表演.大量的准备,课堂上没有新的东西生成出来,是准备好的东西的再现.当然,课前的准备有利于学生的学习.但课堂有它独特的价值,这个价值就在于它是公共的空间,这个空间需要有思维的碰撞、相应的讨论,最后在这个过程中师生相互地生成许多新的东西.不管谁坐在你的教室里,哪怕是部长,都要旁若无人,是为孩子、为学生上课.不是给听课的人听的,要“无他人”,所以 我把这样的课称为平实的课(平平常常,实实在在的课).这种课是平时都能上的课,而不是很多人帮你准备,然后才能上的课. 五、有待完善,即真实（只要是真实的就会有缺憾） 课不可能十全十美．十全十美的课作假的可能性很大.只要是真实的就是有缺憾的,有缺憾是真实的一个指标.公开课要上成是没有一点点问题的课,那么这个预设的目标本身就是错误的,这样的预设给教师增加了很多的心理压力,然后作大量的准备,最后的效果是出不了“彩”.